Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.
Objectifs :
Niveau a eca n
C3.a 1 Savoir utiliser les formules de probabilité
C3.b 1 Savoir déterminer si deux événements sont
indépendants
C3.c 1 R.O.C sur l'indépendance
Activité d'approche n°1 : probabilités conditionnelles
(Source d'inspiration : Déclic)
Dans une entreprise, le nombre d'employés, de cadres et de cadres supérieurs est donné dans le tableau ci-dessous :
Employés Cadres Cadres supérieurs
Femmes 220 38 12
Hommes 200 62 38
On choisit un salarié au hasard, et on considère les événements suivants : E : « le salarié est un employé »
C : « le salarié est un cadre »
S : « le salarié est un cadre supérieur » H : « le salarié est un homme »
F : « le salarié est une femme »
1. Donner la probabilité des événements E,C,S,H et F.
...
...
...
...
...
2. On choisit au hasard un homme dans cette entreprise. Quelle est la probabilité que ce soit un cadre supérieur ?
...
...
...
Cette probabilité est une probabilité conditionnelle : on cherche la
Elle est notée : P
H(S).
3. Calculer P
H(E) et P
H(C).
...
...
4. Calculer P(E H) .
...
...
5. Calculer P(H).
...
...
6. Établir la relation entre P
H(E), P(EH) et P(H).
...
...
7. Compléter les deux arbres pondérés ci-dessous :
8. Comment retrouver P(E) avec le deuxième arbre ?
...
...
...
9. Comment retrouver P(H) avec le premier arbre ?
...
...
...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°3 : Probabilités conditionnelles et loi binomiale.
I) Probabilités conditionnelles
Définition n°1 (probabilité conditionnelle)
La probabilité de l’événement B sachant que l'événement A est réalisé se note
…... et s'appelle la probabilité conditionnelle.
Propriété n°1 (Probabilité conditionnelle)
Soit A et B deux événements, A étant de probabilité non nulle. La probabilité de l'événement B sachant que l'événement A est réalisé s'obtient par la formule : P
A(B) = ...
... et P(AB) =
…...
Exemple n°1
Deux ateliers produisent des paires de chaussures. Le premier atelier produit 6000 paires. Le deuxième produit 4000 paires. 120 paires sont défectueuses et proviennent du premier atelier.
1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse sachant qu'elle provient du premier atelier ?
…...
...
...
2.Compléter l'arbre pondéré :
Propriété n°2 (propriétés des arbres pondérés) Dans un arbre pondéré :
● la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut ….
● la probabilité d'un chemin vaut le …... des probabilités qui compose ce chemin.
Définition n°2 (Partition d'un ensemble)
Un ensemble de parties d'un ensemble est une partition de cet ensemble si :
● aucune de ces parties est vide.
● l'union de toutes les parties redonne .
● l'intersection de chacune des partie avec n'importe quelle autre partie est vide.
Exemple n°2 :
Dans un jeu de 32 cartes, si l'on répartit les cartes suivant les couleurs, on fait une partition du jeu.
Proposer une autre partition :
...
...
...
Propriété n°3 (formule des probabilités totales) Soit A
1, A
2,.., A
nune partition de l'ensemble Alors la probabilité d'un événement B vaut :
P(B)=P(A
1 B)+………...+...+P………+P………
Exemple n°3 :
On reprend l'exemple n°1. On sait maintenant que, si on ne prélève que des paires venant du deuxième atelier, la probabilité qu'une paire soit défectueuse est de 0,3.
1. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse et provienne du deuxième atelier ?
…...
...
...
...
2. Quelle est la probabilité qu'une paire soit défectueuse ?
…...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs
C3.a_Niv1 :Savoir utiliser les formules de probabilité.
Exercice n°1 Ex.1 p.302 Exercice n°2
Ex.9 p.302 Exercice n°3
Ex.13 p.303 Exercice n°4
Ex.21 p.304 Exercice n°5
Correctif : il faut lire « Les pourcentages d’objets défectueux sont respectivement 2 %, 3 % et 4 % de chacune des trois productions ».
Ex.36 p.305 Exercice n°6*
Ex.44 p.306
Activité d'approche n°2 : indépendance d'événements
Dans une urne, on a 4 boules vertes et 3 boules rouges.
1. On tire au hasard une première boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, et on tire au hasard une deuxième boule.
a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
b. Que peut-on dire de P
V(R) et de P(R) ?
...
...
...
c. À quoi est égal P(R V) ?
...
d. Comparer P(RV) et P(R) × P(V).
...
La réalisation ou non de l'événement V ne modifie pas la probabilité de l'événement R : on dit qu'ils sont indépendants.
2. On recommence l'expérience, mais sans remise : on tire au hasard une
première boule, on note sa couleur, on la met de côté, et on tire au hasard une deuxième boule.
a. Compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
b. Que peut-on dire de P
V(R) et de P(R) ?
...
...
...
c. À quoi est égal P(RV) ?
...
d. Comparer P(R V) et P(R) × P(V).
...
Cours n°2
II) Événements indépendants
Définition n°3
Deux événements A et B sont indépendants si …... =...
Exemple n°4
On tire deux cartes sans remise d'un jeu de 32 cartes. A est
l'événement : « les deux cartes tirées sont des as ». T est l'événement
« les deux cartes tirées sont noirs». Calculer P(A) et P(T). Les événements A et T sont-ils indépendants ?
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°4
Soient A et B deux événements de probabilité non nulle.
Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P
...(...)=P(...) (ou que P
...(...)=P(...))
Démonstration :
Dire que A et B sont indépendants revient à dire que P(AB)
=...×...
P(A)×P
A(B)
=...×...
…... =...
Propriété n°5
Soient A et B deux événements indépendants.
Alors A et B sont indépendants.
Démonstration : R.O.C.
P(AB)=P(B)×P
B(A)=P(B)×(1 – …...).
Mais A et B sont indépendants, donc : P
...(....) =P(....) Et 1 – P(...)=P(....), donc P(AB)=...
Donc A et B sont indépendants.
Interrogation n°2 Objectifs
C3.b_Niv1 :Savoir déterminer si deux événements sont indépendants C3.c_Niv1 :R.O.C sur l'indépendance
Exercice n°7 Ex.20 p.303 Exercice n°8
Ex.52 p.307 Exercice n°9*
Sujet C p.315 Exercice n°10**
Sujet D p.316 Exercice n°11***
Ex.98 p.319
Résultats ou indices
Ex.1 (1 p.302) : 1. Non, P(V). 2. Oui, P
U(V). 3. Oui, P
V(U). 4. Non P(U∩V)
Ex.2 (9 p.302) : 1. 2. P(A)=0,55 ; P(A∩B)=0,2
3. P
B(A)=0,6. PA(B )= 4 11 .
Ex.3 (13 p.303) : 1. P(A∩B)=0,45 2. P(A∩B)=0,12 2. P(B)=0,57 Ex.4 (21 p.304) : 1. P(I)= 8
15 ;P(M)= 1
3 2. P(I)= 7
15 ;P(I∩M)= 1
5 ;P(I∩M)= 2
15 3. P
M(I)= 3 5 ; P
I(M)= 2
7 .
Ex.5 (36 p.305) : 1. 2. P(D)=0,025 3. P
D(C)=0,16.
Ex.6 (44 p.306) : 1. 2.a. P(D∩R)=0,12 ; b. P(F∩R)=0,02 c.
P(R)=0,68 3.P
R(M)=0,375 4.P
R(F)= 19
34 .
Ex.7 (20 p.303) : 1.0,9215 2. Idem.
Ex.8 (52 p.307) : 1.P(A)=0,5, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,25. A et B sont indépendants. 2. A et C ne sont pas indépendants. B et C ne sont pas indépendants.
Ex.9 (C p.315) : 2.a. P(R∩S)=0,045 ; b. P(R∩S)=0,855 ; c. 0,91854
Ex.10 (D p.318) : 1.a. b.P
A(B)=0,6 et P
A(B)=0,9
2.a.P(A∩B)=0,08 ; b.P(B)=0,16 3. P
B(A)=0,5
Ex.11 (98 p.319) : 1.a. p
1=0,821;p
2=
Object 11
, b.
2.a. P(O)≈P(Rh+∩O)+P(Rh-∩O)... = 0,44 2.b.P
O(Rh+)= 0,35
0,44 3. P(O)=0,44 et P
Rh+(O)≈0,426. Donc...
4.a. p
n=1
–0,56
nb. Pour n12.
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser [format : Cn°chap.n°cours] : ……...…
………
………...
* Je veux repasser le contrôle n°....………..
Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser [format : Cn°chap.n°cours] : ……...…
………
………...
* Je veux repasser le contrôle n°....………..
Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser [format : Cn°chap.n°cours] : ……...…
………
………...
* Je veux repasser le contrôle n°....………..
Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser [format : Cn°chap.n°cours] : ……...…
………
………...
* Je veux repasser le contrôle n°....………..
Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser [format : Cn°chap.n°cours] : ……...…
………
………...
* Je veux repasser le contrôle n°....………..
Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser [format : Cn°chap.n°cours] : ……...…
………
………...
* Je veux repasser le contrôle n°....………..
Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser [format : Cn°chap.n°cours] : ……...…
………
………...
* Je veux repasser le contrôle n°....………..
Travail à faire pour la prochaine fois : - Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.
Date : …...
