1 ´Epreuvedemath´ematiquesn Concoursblancjuin2021

ECS 1

Lyc´ ee H´ el` ene Boucher

Concours blanc juin 2021

Epreuve de math´ ´ ematiques n ^o 1

Mardi 1

juin 2021

Dur´ee : 4 heures

Le sujet comporte 5 pages dont cette page de garde.

Les calculatrices et toute documentation sont interdites.

Si un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des

initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Les diff´erents probl`emes sont ind´ependants et pourront ˆetre abord´es dans l’ordre souhait´e.

Les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et les r´esultats encadr´es.

La pr´esentation et la r´edaction entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.

Probl`eme 1

On lance ind´efiniment une pi`ece ´equilibr´ee.

On s’int´eresse au rang du lancer auquel on obtient pour la premi`ere fois deux Pile cons´ecutifs.

On mod´elise cette exp´erience al´eatoire par un espace probabilis´e (Ω,A,P). On note alorsX la variable al´eatoire ´egale au rang du lancer o`u, pour la premi`ere fois, on observe deux Pilecons´ecutifs.

Si on n’obtient jamais deux Pilecons´ecutifs, on conviendra que X vaut−1.

Par exemple, si on obtient dans cet ordre : Pile, Face, Face, Pile, Pile, Pile, Face,... alors X prend la valeur 5.

Pour tout entier nsup´erieur ou ´egal 1, on pose les ´ev´enements suivants :

• F_n:Obtenir Face aun-i`eme lancer

• P_n:Obtenir Pile aun-i`eme lancer

Les lancers sont suppos´es ind´ependants, si bien que les ´ev´enements (Pn)_n>1sont mutuellement ind´ependants.

Pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 2, on pose les ´ev´enements suivants :

• Un : Au cours des n premiers lancers, on obtient au moins une fois la succession de deux piles cons´ecutifs

• Bn=Pn−1∩Pn.

Enfin, pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 2, on note :

un=P(Un) et an=P(X =n).

Partie A

1. Exprimer les ´ev´enements [X = 2], [X= 3] et [X= 4] `a l’aide de certains ´ev´enements P_k et F_k. En d´eduire les valeurs de a2,a3 eta4.

2. Montrer que, pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 2 :u_n=

n

X

k=2

a_k.

3. (a) Recopier et compl´eter la fonction Scilab ci-dessous afin qu’elle simule les lancers de la pi`ece jusqu’`a l’obtention de deux Pilecons´ecutifs, et qu’elle renvoie le nombre de lancers effectu´es.

function y=simulX() tirs=0

pile=0

while pile ...

if rand() < 1/2 then pile=pile+1 else

pile=...

end

tirs=...

end y=tirs endfunction

(b) ´Ecrire une fonction Scilab d’entˆete function s=moyenne(n) qui simule n fois l’exp´erience ci- dessus et renvoie la moyenne des r´esultats obtenus.

(c) On calcule moyenne(n) pour chaque entier n de J1,200K, et on trace les r´esultats obtenus dans le graphe suivant. Donner les instructions Scilab qui ont permis d’obtenir ce graphique. Que pouvez-vous conjecturer sur la variable al´eatoire X?

Partie B

4. (a) Montrer que pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 2 :

P(U_n+1) =P(U_n) +P(B_n+1)−P(U_n∩B_n+1) (b) Montrer que pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 4 :

Un∩Bn+1 = (Un−2∩Fn−1∩Pn∩Pn+1)∪(Pn−1∩Pn∩Pn+1). (c) En d´eduire que pour tout entiern sup´erieur ou ´egal `a 4 :

u_n+1=u_n+1

8(1−un−2).

5. D´emontrer que la suite (u_n)_n>4 est croissante, puis qu’elle converge vers 1.

6. En d´eduire que :

P(X=−1) = 1−P

+∞

[

n=2

U_n

!

= 0

Etude de l’esp´ ´ erance de X .

Dans cette partie, on pose pour tout entier n>2 : v_n= 1−u_n et S_n=

n

X

k=2

kP(X=k).

7. Montrer que pour tout entiernsup´erieur ou ´egal `a 4 : v_n−v_n+1 = 1

8vn−2

8. Justifier que pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 2 :

P(X=n+ 1) =v_n−v_n+1

9. D´emontrer alors par r´ecurrence que, pour tout entier nsup´erieur ou ´egal `a 2 : S_n= 6−8v_n+2−nv_n

10. En d´eduire que la suite (Sn)_n>2 est croissante et major´ee.

11. Montrer queX admet une esp´erance.

12. (a) D´emontrer que la suite (nv_n)_n>2 converge vers un r´eel λ.

(b) Montrer que si λest non nul, alors la s´erie de terme g´en´eral v_n est divergente.

A l’aide de l’´` egalit´e d´emontr´ee `a la question 7, obtenir une contradiction.

(c) Donner alors la valeur de l’esp´erance de X.

Probl`eme 2

L’objet de ce probl`eme est l’´etude et le calcul de l’int´egrale de Dirichlet : I =

Z +∞

0

sin(t) t dt.

Convergence

On d´efinit I₁= Z π

0

sin(t)

t dtetI₂ = Z +∞

π

sin(t) t dt.

1. Montrer queI₁ est convergente.

2. Montrer que pour toutA∈[π,+∞[, Z A

π

sin(t)

t dt=−1

π −cos(A)

A −

Z A π

cos(t) t² dt . 3. En d´eduire que l’int´egraleI₂ est convergente.

4. Conclure en ce qui concerne l’int´egrale de Dirichlet.

Une suite auxiliaire

Pour tout n∈Non d´efinit

Jn= Z π/2

0

sin ((2n+ 1)t) sin(t) dt.

5. Montrer que pour toutn∈N,J_n est convergente.

6. Montrer que pour tousa,b∈R, 2 cos

a+b 2

sin

a−b 2

= sin(a)−sin(b).

On pourra penser par exemple aux formules d’Euler.

7. ´Etablir que pour toutn∈N,J_n+1−J_n= 0.

8. En d´eduire que pour toutn∈N,J_n= π 2.

Une fonction auxiliaire

On d´efinit la fonctionf :h 0,π

2 i

parf(t) =





 1 t − 1

sin(t) sit∈i 0,π

2 i

0 si t= 0

. 9. Montrer quef est continue sur h

0,π 2 i

. 10. Montrer quef est d´erivable sur

i 0,π

2 i

et que pour tout t∈i 0,π

2 i

,f⁰(t) = t²cos²(t)−sin²(t) t²sin²(t) . 11. Montrer quef⁰(t)−−→

t→0 −1 6.

12. En d´eduire quef est de classeC¹ sur h

0,π 2 i

. 13. Montrer que

n→+∞lim 1 2n+ 1

Z π/2 0

f⁰(t) cos ((2n+ 1)t) dt= 0.

14. En d´eduire que

n→+∞lim Z π/2

0

f(t) sin ((2n+ 1)t) dt= 0.

Calcul final

Pour tout n∈Non d´efinit

Kn= Z π/2

0

sin ((2n+ 1)t)

t dt.

15. Montrer que pour toutn∈N, l’int´egraleK_n est convergente.

16. Montrer queK_n−−−−−→

n→+∞ I.On pourra penser `a un changement de variable.

17. `A l’aide des r´esultats de la partie pr´ec´edente, montrer queKn−Jn−−−−−→

n→+∞ 0.

18. En d´eduire la limite de (Kn) puis la valeur de l’int´egraleI de Dirichlet¹.

1. Peter Lejeune-Dirichlet est attir´e par les math´ematiques et utilise son argent de poche `a 12 ans pour acheter des livres de sa science pr´ef´er´ee. Il suit les cours d’Ohm `a Bonn, mais part `a Paris pour avoir une meilleure formation, lesDisquisitiones de Gauß sous le bras. En 1825, il pr´esente `a l’acad´emie des sciences une d´emonstration partielle du th´eor`eme de Fermat pour n= 5 [...]. Il retourne ensuite en Allemagne, obtient un poste `a Berlin en 1828, ´epouse une sœur de Felix Mendelssohn. C’est grˆace `a Dirichlet que Berlin devient un grand centre de math´ematiques. Le travail `a Berlin est tr`es lourd et Dirichlet accepte avec joie en 1855 l’invitation `a occuper la chaire de Gauß `a G¨ottingen. En 1858, il a un malaise cardiaque `a Montreux, il revient difficilement `a G¨ottingen ; sa femme meurt brutalement ; il ne lui survit pas longtemps. (

”doch sah ich nie so sch¨one Rosen in G¨ottingen, in G¨ottingen“ G¨ottingen, Barbara)

Dirichlet clarifie les probl`emes de convergence des s´eries de Fourier en 1829, en se limitant aux fonctions de classe C<sup>1</sup>; il met en ´evidence le lien entre les discontinuit´es de la fonction et la notion d’int´egrale, sans r´esoudre le probl`eme, et donne l’exemple fameux d’une fonction ´egale `a une constante sur les rationnels, `a une autre sur les irrationnels. Ses r´esultats en th´eorie des nombres sont tr`es importants : d´emonstration du th´eor`eme de la progression arithm´etique (1837, conjectur´e par Legendre) :´etant donn´es deux entiersaetbpremiers entre eux, il existe une infinit´e de nombres premiers de la formeak+b; sa d´emonstration introduit de l’analyse en th´eorie des nombres : c’est inattendu. [...] Un travail sur le syst`eme solaire le conduit en 1856-57 au probl`eme, dit de Dirichlet [...]. Rappelons enfin un principe tr`es simple qui porte aussi son nom : sin+ 1 objets sont dansntiroirs, un tiroir au moins contient au moins deux objets. (Histoire des math´ematiques, Jean-Pierre Escoffier).