ECS 1
Lyc´ ee H´ el` ene Boucher
Concours blanc juin 2021
Epreuve de math´ ´ ematiques n o 2
Vendredi 4 juin 2021
Dur´ee : 4 heures
Le sujet comporte 5 pages dont cette page de garde.
Les calculatrices et toute documentation sont interdites.
Si un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Les diff´erents probl`emes sont ind´ependants et pourront ˆetre abord´es dans l’ordre souhait´e.
Les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et les r´esultats encadr´es.
La pr´esentation et la r´edaction entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.
Probl`eme 1
A Pr´ eliminaires (les trois questions sont ind´ ependantes)
1. Pour tout entier naturel nnon nul, on pose un=
n
X
k=1
1
k −ln(n).
(a) Compl´eter le script Scilab suivant pour qu’il calcule et affiche un pour une valeur de n entr´ee par l’utilisateur.
n=input(’entrez une valeur pour n :’) ...
disp(u)
(b) Justifier que, pour tout entier naturel knon nul, on a 1
k+ 1 6ln(k+ 1)−ln(k)6 1 k. (c) Utiliser la question pr´ec´edente pour montrer que, pour tout nde N∗, on a :
06un61 2. Dans cette question,x d´esigne un r´eel ´el´ement de [0,1[.
(a) Pour toutnde N∗ et pour touttde [0,x], simplifier la somme
n
X
p=1
tp−1. (b) En d´eduire que, pour toutn∈N∗, on a
n
X
p=1
xp
p =−ln(1−x)− Z x
0
tn 1−tdt (c) Montrer que lim
n→+∞
Z x
0
tn
1−tdt= 0.
(d) ´Etablir alors que la s´erie de terme g´en´eral xp
p est convergente et que
+∞
X
p=1
xp
p =−ln(1−x)
3. On consid`ere deux suites r´eelles (an)n∈N et (bn)n∈N `a termes positifs et on suppose que les s´eries de termes g´en´erauxan etbn sont convergentes, de somme respectivesA=
+∞
X
n=1
anet B=
+∞
X
n=0
bn. Pour tout entier naturel nnon nul, on pose cn=
n
X
k=1
akbn−k.
(a) Montrer que :∀n∈N∗,
n
X
k=1
ck 6
n
X
k=1
ak
! n X
k=0
bk
! 6
2n
X
k=1
ck. (b) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral cn converge et que l’on a :
+∞
X
n=1
cn=
+∞
X
n=1
an
! +∞
X
n=0
bn
!
(c) Soit x un r´eel ´el´ement de [0,1[. On suppose dans cette question que l’on a ak = xk
k (k∈N∗) et bk=xk (k∈N).
i. Justifier que les s´eries de termes g´en´erauxan etbn sont convergentes et `a termes positifs.
ii. Compl´eter le scriptScilabsuivant pour qu’il calcule et affiche la valeur decnpour une valeur den entr´ee par l’utilisateur.
n=input(’entrez une valeur pour n :’) x=input(’entrez une valeur pour x :’) ...
iii. Donner l’expression decn sous forme d’une somme.
B Etude d’une fonction d´ ´ efinie comme somme d’une s´ erie
Dans cette partie on d´esigne toujours parx un r´eel [0,1[.
4. (a) Utiliser la troisi`eme question du pr´eliminaire pour ´etablir que :
+∞
X
n=1 n
X
k=1
1 k
! xn=
+∞
X
n=1
xn n
! +∞
X
n=0
xn
!
(b) En d´eduire que :
+∞
X
n=1 n
X
k=1
1 k
!
xn= −ln(1−x) 1−x
5. (a) Montrer que, pour tout r´eel u strictement positif, on a ln(u)6u.
(b) En d´eduire que la s´erie de terme g´en´eral (ln(n))xn, avec n≥1, est convergente.
6. On pose :f(x) =
+∞
X
n=1
(ln(n))xn.
(a) ´Etablir, en utilisant le r´esultat de la question 1.(c) que :−ln(1−x) 1−x − x
1−x 6f(x)6 −ln(1−x) 1−x . (b) Montrer finalement l’´equivalent suivant :f(x) ∼
x→1−
−ln(1−x) 1−x . 7. (a) ´Etudier les variations de la fonctionf.
(b) Dresser le tableau de variations def (valeur en 0 et limite en 1− comprises).
8. (a) En remarquant quef(x) =
+∞
X
n=2
(ln(n))xn, montrer que l’on a 06f(x)6 x
(1−x)2 −x.
(b) En d´eduire que f est continue `a droite en 0 et d´erivable `a droite 0. Donner la valeur du nombre d´eriv´e `a droite en 0 def.
(c) On admet que f est continue sur [0; 1[. Donner la nature de l’int´egrale Z 1
0
f(x) dx.
Probl`eme 2
Soit f :I → R une fonction de classe C2 sur un intervalle I de R. L’objet de ce probl`eme est l’´etude d’une m´ethode num´erique pour approcher une solution def(x) = 0 : la m´ethode de Newton1.
On suppose qu’il existe α∈I tel quef(α) = 0 et f0(α)6= 0.
1. Dans des textes parus en 1736 se trouve un bel expos´e de la fameuse m´ethode dite des tangentes (ou de Newton) pour r´esoudre de fa¸con approch´ee une ´equation de la formef(x) = 0. Mais on s’aper¸coit que Newton avait bas´e sa m´ethode sur des approximations donn´ees par les d´eveloppements en s´eries des fonctions, sans utiliser de consid´eration g´eom´etrique comme les expos´es actuels le font. (Petites histoires des math´ematiques, Jean-Pierre Escofier)
G´en´eralit´es
1. Montrer qu’il existe un intervalle [a,b] contenantα tel quef0 ne s’annule pas sur [a,b].
2. ´Enoncer la formule de Taylor avec reste int´egral `a l’ordre n(i.e. avec partie r´eguli`ere polynomiale de degr´e n) pour une fonction g: [a,b]→R(de r´egularit´e `a pr´eciser).
D´efinition de (xn)
Soit x0 ∈[a,b] (quelconque a priori, pr´ecis´ee ult´erieurement). Pour tout n∈N, supposons la valeur de xn∈[a,b] connue.
3. On note (Tn) la tangente au graphe def au point d’abscissexn. Donner l’´equation de (Tn) en fonction de f etxn.
4. Montrer que (Tn) coupe l’axe des abscisses. On appelle xn+1 l’abscisse de ce point d’intersection.
Montrer quexn+1 =xn− f(xn) f0(xn). Un exemple
On examine l’´equation x2 = 2 et on construit la suite (xn) comme pr´ec´edemment avec la fonction f :x7→x2−2 et en posantx0 = 1.
5. Montrer que la relation de la question 4 s’´ecrit alors xn+1=xn−x2n−2
2xn pour toutn.
6. Montrer, pour toutn∈N, quexn>1 puis que |xn+1−√ 2|6 1
2|xn−√ 2|2. 7. En d´eduire que pour toutn∈N,|xn−√
2|6 1 22n. 8. Combien de d´ecimales exactes de
√
2 obtient-on (au minimum) avec x5? 9. Impl´ementation pratique.
(a) Compl´eter les instructions Scilab, notamment recopier et compl´eter la fonctionnewtpour qu’elle renvoie le terme xn de la suite ´etudi´ee, avec x0comme premier terme.
function y = f(x) y = x^2 - 2 endfunction
function y = fp(x) y = 2*x
endfunction
function x = newt(x0, n) x = ...
for k = ...
x = ...
end endfunction
(b) Proposer une suite d’instructions pour tracer l’´evolution de l’´ecart entrexnet√
2 en fonction de n, pour des valeurs de nallant de 2 `a 10.
(c) Modifier la fonctionnewt pour qu’elle prenne en entr´eex0,netepset qu’elle renvoie le nombre d’it´erations n´ecessaires pour avoir une valeur approch´ee de√
2 `a pr´ecisioneps. On admettra que xn convient lorsque|xn−xn−1|est inf´erieur `a la pr´ecision requise.
Pr´ecision
La fonction f est de nouveau quelconque. On a toujours α et l’intervalle J = [a,b] comme d´efinis en pr´eambule ou en question 1. On notei= inf{|f0(x)|, x∈[a,b]} ets= sup{|f00(x)|, x∈[a,b]}. On pose alors c(J) = s(b−a)
4i .
10. Justifier quei etssont bien d´efinis et que i >0.
11. Justifier que siJ0⊂J, alorsc(J0)< c(J).
Supposons qu’on dispose d’un intervalleJ = [a,b], toujours comme dans la question 1, et tel quec(J)<1 (on notera cette valeur simplement c`a l’avenir). On choisit pour x0 celle des deux extr´emit´es de l’intervalle (a oub) qui est la plus proche de α et on construit (xn) avec la relation de la question 4.
12. Soit n∈N. On suppose quexn∈J. (a) Montrer quexn+1 est bien d´efini.
(b) `A l’aide d’une formule de Taylor, montrer que
f(xn)−f0(xn)(xn−α) 6 s
2|xn−α|2. (c) En d´eduire que|xn+1−α|6 c
b−a|xn−α|2.On pourra penser quei6f0(xn).
13. Montrer que pour toutn∈N,|xn−α|6 |x0−α|
c c2n etxn∈J. 14. Revenons sur l’exemple def :x7→x2−2 et α=√
2.
(a) L’intervalle [1,2] satisfait-il les hypoth`eses de cette partie ? (b) Donner pour toutn∈Nune majoration de |xn−√
2|et comparer avec les r´esultats de la partie pr´ec´edente (par exemple combien de d´ecimales exactes au minimum avecn= 5).
