ECS 1
Lyc´ ee H´ el` ene Boucher
Concours blanc mars 2021
Epreuve de math´ ´ ematiques n o 1
Mardi 9 mars 2021
Dur´ee : 4 heures
Le sujet comporte 5 pages dont cette page de garde.
Les calculatrices et toute documentation sont interdites.
Si un candidat rep`ere ce qui peut lui sembler ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des
initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Les diff´erents probl`emes sont ind´ependants et pourront ˆetre abord´es dans l’ordre souhait´e.
Les r´eponses devront ˆetre soigneusement justifi´ees et les r´esultats encadr´es.
La pr´esentation et la r´edaction entreront pour une part importante dans l’appr´eciation de la copie.
Probl`eme 1
A Calcul matriciel
On d´efinit les matricesM =
0 1
2 1 2 1
2 0 1
2 1
2 1 2 0
et J =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
.
Le but de cette partie est de proposer plusieurs m´ethodes de calcul de Mn (sans tenir compte de leur efficacit´e !). Il est donc interdit d’utiliser des r´esultats d’une m´ethode pour la mise en œuvre d’une autre.
Premi` ere m´ ethode
1. Calculer J2,J3 puis donner pour tout k∈Nune expression de Jk. 2. En exprimantM = 1
2(J−I) et `a l’aide de la formule du binˆome de Newton, ´etablir une expression de Mn pour toutn∈N.
Deuxi` eme m´ ethode
3. Le but de cette question est de montrer pour toutn∈Nla propri´et´e (Pn) :il existexn, yn∈Rtelles queMn=xnJ+ynI .
(a) Donnerxn etyn dans les cas n= 0 etn= 1.
(b) Soit n ∈ N et supposons la propri´et´e (Pn). Montrer la propri´et´e (Pn+1) et ´etablir des relations entrexn, yn etxn+1, yn+1.
4. Le but de cette question est de d´eterminer les expressions de (xn) et (yn).
(a) Montrer que (yn) est une suite g´eom´etrique de raison
−1 2
puis que pour toutn∈N,xn+1−xn= 1
2
−1 2
n
.
(b) En d´eduire des expressions dexn,yn puis deMn pour toutn∈N.
Troisi` eme m´ ethode
5. Le but de cette question est de montrer pour toutn∈N l’existence de constantes un etvn telles que Mn=unM+vnI.
(a) Donnerun etvn dans les cas n= 0 etn= 1.
(b) Calculer M2 et donneru2 etv2
(c) ´Etablir la propri´et´e par r´ecurrence et montrer que pour tout n∈N, on a
vn+1 = 1 2un un+1= 1
2un+vn .
6. Le but de cette question est de d´eterminer les expressions de (un) et (vn).
(a) Montrer que (un) v´erifie la relation :∀n∈N,un+2= 1
2un+1+1 2un. (b) En d´eduireun puis vn pour toutn∈N.
Quatri` eme m´ ethode
Pour λ∈R, on consid`ere le syst`eme lin´eaire (S)
1 2y+ 1
2z=λx 1
2x+1 2z=λy 1
2x+1 2y=λz
7. D´eterminer en fonction de λ le rang de la matrice
−λ 1 2
1 2 1
2 −λ 1
2 1
2 1
2 −λ
. Que peut-on en d´eduire sur le
nombre de solutions du syst`eme (S) ?
8. R´esoudre le syst`eme (S) dans les cas λ=−1
2 etλ= 1.
9. Soit P =
1 0 1
0 1 1
−1 −1 1
. D´eterminer une matrice diagonale Dtelle que M P =P D.
10. Montrer queP est inversible.
11. Pour toutn∈N, calculerDn puis montrer queMn=P DnP−1.
Que les diff´erents calculs de cette partie aient abouti ou non, on pourra utiliser dans la suite :
pour toutn∈N∗, Mn=
−1 3
−1 2
n−1
+1 3 −1
3
−1 2
n
+1
3 −1
3
−1 2
n
+1 3
−1 3
−1 2
n
+1 3 −1
3
−1 2
n−1
+ 1 3 −1
3
−1 2
n
+1 3
−1 3
−1 2
n
+1
3 −1
3
−1 2
n
+1 3 −1
3
−1 2
n−1
+1 3
.
B Mise en situation
Nous sommes au Schnitzelwirt, restaurant de sp´ecialit´es autrichiennes. Hans, Jo˜ao et Yun s’y retrouvent chaque semaine pour manger ensemble. Aujourd’hui cependant, ils prennent une d´ecision, chacun ayant `a cœur de faire d´ecouvrir aux autres les sp´ecialit´es culinaires de son pays d’origine. `A partir de maintenant, ils se retrouveront toujours de mani`ere hebdomadaire, mais dans l’un des trois restaurants suivants : le Schnitzelwirt, le restaurant autrichien o`u ils viennent de manger, le Recanto do Mocot´o, restaurant br´esilien et le Guangdong Gourmet, restaurant de sp´ecialit´es chinoises.
Le choix du restaurant chaque semaine se fera de mani`ere al´eatoire, selon diff´erentes r`egles que nous allons ´etudier s´epar´ement dans chaque partie de ce probl`eme. On suppose que cette exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e fini (Ω,P(Ω),P).
Etant donn´´ e n∈N, nous d´efinissons les ´ev´enements suivants :
• An :ils mangent autrichien la n-i`eme semaine,
• Bn :ils mangent br´esilien lan-i`eme semaine,
• Cn :ils mangent chinois lan-i`eme semaine.
On note an=P(An),bn =P(Bn) et cn=P(Cn). Le fait qu’ils viennent de manger autrichien est consid´er´e comme l’´ev´enementA0. Ainsi, on aa0= 1, b0 = 0 etc0= 0.
Premier mode de s´ election
Dans cette partie, on consid`ere un mode de s´election al´eatoire : chaque semaine, les trois amis tirent au sort de mani`ere ´equiprobable le restaurant o`u ils se retrouveront.
12. On rappelle qu’en Scilab l’ex´ecution derand()renvoie un nombre al´eatoire entre 0 et 1. Proposer une instruction Scilab qui afficheA,B ou C avec la mˆeme probabilit´e.
13. SoitN ∈N∗. On noteXla variable al´eatoire qui compte le nombre de fois o`u ils auront mang´e chinois apr`esN semaines. D´eterminer la loi deX et donner son esp´erance.
14. Transformer l’instruction de la question 12 en une fonction X(N) prenant en entr´ee le nombre N et renvoyant le nombre de fois qu’on est tomb´e surC en effectuantN fois le tirage au sort.
Deuxi` eme mode de s´ election
Dans cette partie, on consid`ere que les trois amis respectent la logique suivante : chaque semaine, ils choisissent de mani`ere ´equiprobable leur restaurant parmi les deux o`u ils n’ont pas mang´e la semaine pass´ee.
Ainsi, par exemple pour la semaine 1, ils tirent au sort entre le restaurant br´esilien et le restaurant chinois.
15. Donneran,bn etcn pour les cas n= 1 etn= 2.
16. Soitn∈N. Reproduire et compl´eter l’arbre suivant `a l’aide des probabilit´esad hocsur chaque branche.
Cn
Cn+1
. . .
Bn+1
. . .
An+1
. . . . . .
Bn
Cn+1
. . .
Bn+1
. . .
An+1
. . . . . .
An
Cn+1
. . .
Bn+1
. . .
An+1
. . .
. . .
17. Pour tout n ∈ N , exprimer an+1, bn+1 et cn+1 en fonction de an, bn et cn. En d´eduire une matrice A∈ M3(R) telle que
an+1
bn+1 cn+1
=A×
an
bn cn
.
18. Montrer que pour toutn∈N,
an bn cn
=An×
a0 b0 c0
.
19. D´eterminer la limite lorsque ntend vers +∞ dean,bnet cn. Commenter.
C Une autre tranche de vie
De leur cˆot´e, ´El´eonore et Fabrice sortent du cin´ema o`u ils se retrouvent tous les vendredis et d´ecident qu’`a partir de maintenant, leur rendez-vous hebdomadaire sera consacr´e parfois `a un film, parfois `a une exposition. On suppose que cette exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e fini (Ω,P(Ω),P).
Etant donn´´ e n∈N, nous d´efinissons les ´ev´enements suivants :
• En :ils vont voir une exposition lan-i`eme semaine,
• Fn :ils vont voir un film lan-i`eme semaine.
On note en = P(En), fn = P(Fn). Le fait qu’ils sortent du cin´ema est consid´er´e comme l’´ev´enement F0. Ainsi, on af0 = 1,e0 = 0.
Ils respectent la r`egle suivante : la semaine suivant un film, ils choisissent de mani`ere ´equiprobable entre film et expo. La semaine suivant une expo, ils vont au cin´ema avec la probabilit´e 2
3. 20. D´eterminer en etfn dans les casn= 1 etn= 2.
21. `A l’aide d’un arbre analogue `a celui de la question 16, montrer que (fn) v´erifie la relation :
∀n∈N, fn+1 =−1 6fn+2
3.
22. En d´eduire l’expression de fn en fonction den puis sa limite lorsquentend vers +∞.
23. Les tickets de cin´ema leur reviennent `a 14 euros, les entr´ees au mus´ee leur en coˆutent 21. Soit Xn la variable al´eatoire de la somme d´epens´ee la n-i`eme semaine. D´eterminer la loi deXnet la limite de son esp´erance lorsquentend vers +∞. Commenter.
