Concours blanc 3 : &eacutepreuve 2

Math´ ematiques Concours blanc n

3

Epreuve n

2 Mars 2019

Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h

La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.

Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel

´

electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.

Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.

L’objet du probl`eme est l’´etude de la dur´ee de fonctionnement d’un syst`eme (une machine, un organisme, un service. . .) d´emarr´e `a la date t = 0 et susceptible de tomber en panne `a une date al´eatoire. Apr`es une partie pr´eliminaire sur les propri´et´es de la loi exponentielle, on introduira dans la deuxi`eme partie, les notions permettant d’´etudier des propri´et´es de la date de premi`ere panne. Enfin, dans une troisi`eme partie on examinera le fonctionnement d’un syst`eme satisfaisant certaines propri´et´es particuli`eres.

Les trois parties sont dans une large mesure ind´ependantes. Toutes les variables al´eatoires intervenant dans le probl`eme sont d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A,P). Pour toute variable al´eatoireY, on noteraE(Y) son esp´erance lorsqu’elle existe.

On adoptera les conventions suivantes. On dira qu’une fonctionf continue surR^∗+et continue `a droite en 0 est continue sur R+. En outre, siT est une variable al´eatoire positive dont la loi admet la densit´ef continue surR+, sa fonction de r´epartition est d´efinie par

F_T(t) =P(T ≤t) = Z t

0

f(u)du

F_T est alors d´erivable surR^∗+, et d´erivable `a droite en 0. On conviendra d’´ecrire F<sub>T</sub><sup>0</sup>(t) =f(t) pour tout t ∈R+, F<sub>T</sub><sup>0</sup>(0) d´esignant donc dans ce cas la d´eriv´ee `a droite en 0.

1 G´ en´ eralit´ es sur la loi exponentielle

On rappelle qu’une variable al´eatoire suit la loi exponentielle de param`etre µ(µ > 0) si elle admet pour densit´e la fonctionfµ d´efinie par

fµ(x) =

µ e^−µx si x≥0, 0 si x <0.

1. SoitX une variable al´eatoire suivant la loi exponentielle de param`etreµ.

(a) Donner l’esp´eranceE(X) et la variance V(X).

(b) Justifier que pour tout entier natureln,Xⁿadmet une esp´erance et d´eterminer une relation de r´ecurrence entre E(Xⁿ⁺¹) etE(Xⁿ) pour tout entier natureln.

(c) En d´eduireE(Xⁿ) pour toutn >0.

(d) Retrouver la valeur deV(X) `a l’aide de la question pr´ec´edente.

2. Propri´et´e caract´eristique

(a) Soientµ >0 etX une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etreµ.

Justifier que pour tout r´eel xpositif ou nul, le nombre P(X > x) est non nul.

Montrer que pour tous r´eels positifsxety,

P[X>x](X > x+y) =P(X > y)

(b) R´eciproquement, soitXune variable al´eatoire positive admettant une densit´ef continue et strictement positive sur R+, et telle que pour tous r´eels positifsxet y,

P[X>x](X > x+y) =P(X > y) 1

i. SoitR(x) =P(X > x). Justifier queR(x) est non nul pour tout r´eel positif.

ii. On poseµ=f(0). Montrer que pour toutxr´eel positif, on a la relationR⁰(x) +µR(x) = 0.

iii. Calculer la d´eriv´ee de x7→R(x)e^µx surR+

iv. D´eduire queX suit une loi exponentielle dont on pr´ecisera le param`etre.

3. Soient deux r´eels strictement positifs µ1 et µ2. Soient X1 et X2 deux variables al´eatoires ind´ependantes suivant respectivement les lois exponentielles de param`etresµ₁ etµ₂ .

(a) On poseY = max(X1, X2). D´eterminer la fonction de r´epartitionFY deY et en d´eduire la densit´e de la variable Y.

(b) On poseZ = min(X1, X2). D´eterminer la fonction de r´epartitionFZ deZ et en d´eduire la loi deZ.

2 Fiabilit´ e

SoitT une variable al´eatoire positive qui repr´esente la dur´ee de vie (c’est-`a-dire le temps de fonctionnement avant la survenue d’une premi`ere panne) d’un syst`eme. On suppose que T est une variable `a densit´e fT continue sur R+ et ne s’annulant pas surR^∗+.

On appelle fiabilit´e deT la fonction RT d´efinie surR+ par

RT(t) =P(T ≥t) =P(T > t) = 1−FT(t) o`uF_T est la fonction de r´epartition deT.

1. Soientt un r´eel positif ou nul ethun r´eel strictement positif.

La d´egradation du syst`eme sur l’intervalle [t, t+h] est mesur´ee par la probabilit´eP(t≤T ≤t+h).

Exprimer cette quantit´e `a l’aide de la fonctionRT. 2. Montrer que, pour tout r´eelt positif ou nul,

h→0,h>0lim

P(t≤T ≤t+h)

h =fT(t)

(a) Justifier que pour tout r´eel tpositif,RT(t)>0

On appelle taux de d´efaillance la fonction d´efinie surR+ par le rapport λ(t) = f_T(t)

RT(t). (b) Montrer queλ(t) =

ln

1 R_T(t)

0

.

(c) D´eduire l’expression deR_T en fonction deλ`a l’aide d’une int´egrale.

3. SoitZ une variable al´eatoire r´eelle positive de densit´eg continue sur R+, admettant une esp´erance. Pourt≥0, on pose

R_Z(t) =P(Z > t).

(a) Soitv la fonction d´efinie surR+ parv(t) =tRZ(t).

Montrer que

tg(t) =RZ(t)−v⁰(t) o`uv⁰ d´esigne la d´eriv´ee dev.

(b) Montrer que lim

t→+∞v(t) = 0.

(c) En d´eduire queE(Z) = Z +∞

0

RZ(t)dt.

4. On suppose d´esormais queT admet une esp´erance. Soit t un r´eel positif fix´e ; le syst`eme ayant fonctionn´e sans panne jusqu’`a la datet, on appelle dur´ee de survie la variable al´eatoireT_t=T−trepr´esentant le temps s’´ecoulant entre la datetet la premi`ere panne.

On a donc, pour tout r´eelxpositif

RT_t(x) =P(Tt> x) =P[T >t](T > t+x) (a) Montrer que, pour tout r´eel xpositif,

RT_t(x) = RT(t+x) R_T(t) 2

(b) En d´eduire que

E(T_t) = 1 RT(t)

Z +∞

t

R_T(u)du

Les questions suivantes illustrent les notions introduites pr´ec´edemment pour des syst`emes simples.

5. (a) On suppose queT suit la loi exponentielle de param`etreµ. D´eterminer la fiabilit´e et le taux de d´efaillance.

(b) On suppose que le syst`eme est compos´e de deux organes 1 et 2 mont´es en s´erie, dont les dur´ees de vie sont suppos´ees ind´ependantes, ce qui implique qu’il tombe en panne d`es que l’un d’eux tombe en panne. On noteTi

la dur´ee de vie de l’organei,f_Ti la densit´e de sa loi qu’on suppose exponentielle de param`etreµ<sub>i</sub>. D´eterminer la fiabilit´e du syst`eme et son taux de d´efaillance.

(c) On suppose que le syst`eme est compos´e de deux organes 1 et 2 mont´es en parall`ele, dont les dur´ees de vie sont suppos´ees ind´ependantes, ce qui implique qu’il tombe en panne quand les deux organes sont en panne. On note Tila dur´ee de vie de l’organei,fT_i la densit´e de sa loi qu’on suppose exponentielle de param`etreµi. D´eterminer la fiabilit´e du syst`eme.

6. Soitϕ_n,β la fonction d´efinie par

ϕn,β(t) =





 β

(n−1)!(βt)ⁿ⁻¹e^−βt si t≥0,

0 si t <0.

o`uβ >0 est une constante strictement positive etnun entier naturel non nul.

(a) V´erifier queϕ_n,β est une densit´e de probabilit´e (loi d’Erlang).

(b) On suppose queT a pour densit´e la fonctionϕn,β. Montrer que la fiabilit´e `a la date test RT(t) =e^−βt

n−1

X

k=0

(βt)^k k!

7. Soitψβ,η la fonction d´efinie par

ψ_β,η(t) =





 β η

t η

β−1

e⁻

t η

β

si t≥0,

0 sinon.

o`uβ≥1, η >0

(a) V´erifier queψ_β,η est une densit´e de probabilit´e (loi de Weibull).

(b) On suppose queT a pour densit´e la fonctionψβ,η. D´eterminer la fiabilit´eRT(t) et le taux de d´efaillanceλ(t)

`

a la date t.

(c) ´Etudier lim

t→+∞λ(t) en fonction de la valeur deβ.

3 Syst` eme Poissonien

On consid`ere maintenant un syst`eme dont le fonctionnement est d´efini comme suit : pour tout r´eeltpositif, la variable al´eatoireNt`a valeurs enti`eres repr´esente le nombre de pannes qui se produisent dans l’intervalle [0, t]. On consid`ere que le syst`eme est r´epar´e imm´ediatement apr`es chaque panne.

On notera en particulier que pours≤t, on aNs≤Nt. On suppose qu’on a les quatre propri´et´es suivantes

• N0= 0 et 0<P(Nt= 0)<1 pour toutt >0.

• Pour tous r´eelst0, t1, . . . , tn tels que 0≤t0< t1<· · ·< tn les variablesNt₀, Nt₁−Nt₀, Nt₂−Nt₁, . . . , Nt_n−Ntn−1

sont mutuellement ind´ependantes (accroissements ind´ependants)

• Pour tous r´eelssett tels que 0< s < t,Nt−Nssuit la mˆeme loi queNt−s (accroissements stationnaires)

• lim

h→0,h>0

P(Nh>1)

h = 0

On pose, sous r´eserve d’existence, pour toutu≥0 et pour toutsdans [0,1], G_u(s) =E(s^Nu),

avec la convention 0⁰= 1.

1. (a) Justifier que pour toutu≥0,G_u(s) existe pour toutsdans [0,1] et qu’on a, pour toutsdans [0,1], Gu(s) =

+∞

X

k=0

P(Nu=k)s^k. 3

(b) Montrer par ailleurs que, pour tous r´eels uet v positifs ou nuls, et pour tout r´eel stel que 0≤s≤1, on a Gu+v(s) =Gu(s)Gv(s)

2. On fixestel que 0≤s≤1.

(a) Montrer queG1(s)>0.

On poseθ(s) =−lnG1(s) et, pouru≥0,ψ(u) =Gu(s).

(b) Montrer queψ(k) =e^−kθ(s)pour toutk∈N. (c) Soitqun entier naturel non nul. En consid´erantG1

q(s), montrer queψ(¹_q) =e^−1qθ(s).

(d) Montrer que si pest entier naturel etqun entier naturel non nul, on aψ(r) =e^−rθ(s)o`u on a pos´er= ^p_q. (e) Montrer que pour tout r´eel positifu,Gu(s) =e^−uθ(s).

(f) En d´eduire que pour tout s∈[0,1], lim

h→0,h>0

G_h(s)−1

h =−θ(s) . 3. Montrer par ailleurs que pour touts∈[0,1],

Gh(s)−1 =P(Nh= 1)(s−1) +

+∞

X

k=2

P(Nh=k)(s^k−1).

4. Montrer que pour touts∈[0,1],

lim

h→0,h>0 +∞

X

k=2

P(N_h=k)(s^k−1)

h = 0

5. (a) En d´eduire qu’il existeα≥0 tel que

α= lim

h→0,h>0

P(N_h= 1) h et que pour pour tout s∈[0,1],

θ(s) =α(1−s) (b) En consid´erantGu(0), montrer queα >0.

(c) On fixe un tempsu >0. Montrer que pour tout s∈[0,1], Gu(s) =

+∞

X

k=0

P(Nu=k)s^k=

+∞

X

k=0

[e^−αu(αu)^k k! ]s^k.

(d) D´eduire que pour toutu >0, la variable al´eatoireNusuit la loi de Poisson de param`etreαu.

Une famille de variables al´eatoires ayant les mˆemes caract´eristiques que la famille (Nt)_t≥0 est unprocessus de Poissonet la constanteαs’appelle leparam`etredu processus de Poisson.

6. SoitT la variable al´eatoire d´esignant la date de la premi`ere panne. Soitt >0. Comparer les ´ev´enements (T > t) et (Nt= 0). En d´eduire queT suit la loi exponentielle de param`etreα.

Pourt positif fix´e, on pose pourhr´eel positif,

N˜_h=N_t+h−N_t.

(a) Montrer que ˜N_h est la variable al´eatoire qui repr´esente le nombre de pannes survenues dans l’intervalle de temps ]t, t+h].

(b) Montrer que la famille ( ˜N_h)_h≥0 est un processus de Poisson de param`etreα.

(c) En d´eduire que la premi`ere panne survenant apr`es la date tse produit `a une date suivant la loi exponentielle de param`etreα.

(d) En d´eduire que le processus de Poisson a la propri´et´e que, pour chaque date t donn´ee, le taux de d´efaillance du syst`eme apr`est est constant.

4