Corrig&eacute du concours blanc 3 : &eacutepreuve 2

(1)

Math´ ematiques

Corrig´ e du concours blanc n

^◦

3 Epreuve n ´

^◦

2

[ESSEC 2010 Maths II]

L’objet du problème est l’étude de la durée de fonctionnement d’un système (une machine, un organisme, un service. . .) démarré à la date t = 0 et susceptible de tomber en panne à une date aléatoire. Après une partie préliminaire sur les propriétés de la loi exponentielle, on introduira dans la deuxième partie, les notions permettant d’étudier des propriétés de la date de première panne. Enfin, dans une troisième partie on examinera le fonctionnement d’un système satisfaisant certaines propriétés particulières.

Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes. Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P). Pour toute variable aléatoireY, on noteraE(Y) son espérance lorsqu’elle existe.

On adoptera les conventions suivantes. On dira qu’une fonctionf continue surR^∗+et continue à droite en 0 est continue sur R+. En outre, siT est une variable aléatoire positive dont la loi admet la densitéf continue surR+, sa fonction de répartition est définie par

FT(t) =P(T ≤t) = Z t

0

f(u)du

F_T est alors dérivable surR^∗+, et dérivable à droite en 0. On conviendra d’écrire F_T⁰(t) =f(t) pour tout t ∈R+, F_T⁰(0) désignant donc dans ce cas la dérivée à droite en 0.

1 G´ en´ eralit´ es sur la loi exponentielle

On rappelle qu’une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre µ(µ > 0) si elle admet pour densité la fonctionf_µ définie par

f_µ(x) =

µ e^−µx si x≥0 0 si x <0 1. SoitX une variable al´eatoire suivant la loi exponentielle de param`etreµ.

(a) On aE(X) =_µ¹ et V(X) = _µ¹2. (b) Pourn∈N,

xⁿe^−µx

x⁻² =xⁿ⁺²e^−µx=xⁿ⁺²/e^µx −→

x→+∞0 par croissance compar´ee. Donc xⁿe^−µx =

+∞ o 1/x²

et d’apr`es le crit`ere de Riemann Z +∞

0

1

x²dx converge, alors d’après le critère de comparaison par négligeabilité,

Z +∞

0

xⁿe^−µxdx converge ´egalement.

Et comme Z 0

−∞

xⁿfµ(x)dx= 0 alors Z +∞

−∞

xⁿfµ(x)dxconverge absolument.

Conclusion : Xⁿ a bien une esp´erance.

SoitM >0, on int´egr´e Z M

0

xⁿ⁺¹µe^−µxdxpar parties

u(x) =xⁿ⁺¹:u⁰(x) = (n+ 1)xⁿ etv⁰(x) =µe^−µx:v(x) =−e^−µx avecuetv de classeC¹. Z M

0

xⁿ⁺¹µe^−µxdx=

−e^−µxxⁿ⁺¹^M

0 + Z M

0

(n+ 1)xⁿe^−µxdx

=−e^−µMMⁿ⁺¹+(n+ 1) µ

Z M 0

xⁿµe^−µxdx

et par croissance compar´eee^−µMMⁿ⁺¹= Mⁿ⁺¹ e^µM −→

M→+∞0.

Conclusion : E Xⁿ⁺¹

= (n+ 1) µ E(Xⁿ)

(2)

(c) AvecE X¹

= 1

µ on a alors par r´ecurrence, Conclusion : pour toutn∈N^∗:E(Xⁿ) = n!

µⁿ (d) En particulier :E X²

= 2

µ² etV (X) =E X²

−E(X)²= 2 µ²− 1

µ² = 1

µ² ce qui est coh´erent.

2. Propriété caractéristique

(a) Soientµ >0 etX une variable al´eatoire de loi exponentielle de param`etreµ.

On a pour tout x∈R⁺ :

P(X > x) = 1−P(X ≤x) = 1− 1−e^−x

=e^−x>0.

Pour tous r´eels positifsxety,

P[X>x](X > x+y) =P([X > x+y]∩[X > x]) P(X > x)

=P(X > x+y)

P(X > x) carx+y≥x

=e^−(x+y) e^−x =e^−y

=P(X > y)

(b) Réciproquement, soitXune variable aléatoire positive admettant une densitéf continue et strictement positive sur R+, et telle que pour tous réels positifsxet y,

P[X>x](X > x+y) =P(X > y) i. SoitR(x) =P(X > x).

Comme la densit´e def est continue surR+, sa fonction de r´epartitionF est C¹ surR+ et F⁰=f qui est strictement positive surR+doncF est strictement croissante surR+. De plus, sa limite en +∞est 1. Donc pour toutx∈R+,

F(x)< lim

x→+∞F(x) = 1 ainsiR(x) = 1−F(x)>0

Conclusion : R(x)>0 pour toutx≥0 ii. On poseµ=f(0).

On aR(x) = 1−F(x), doncR est d´erivable sur R+ et R⁰(x) =−F⁰(x) =−f(x).

D’autre part, on a

R(y) =P(X > y) =P[X>x](X > x+y)

= P(X > x+y) P(X > x)

= R(x+y) R(x) Par cons´equent,

R(x+y) =R(x)R(y) En d´erivant par rapport `ay (xest une constante)

on a pour toutxet y ∈R⁺,

R⁰(x+y) =R⁰(y)R(x)

En particulier poury= 0 :R⁰(x) =R⁰(0)R(x) et avecR⁰(0) =−f(0) =−µ Conclusion : R⁰(x) +µR(x) = 0 pour toutxpositif.

iii. SoitG(x) =R(x)e^µx.Gest d´erivable surR+ et

G⁰(x) =R⁰(x)e^µx+µR(x)e^µx= (R⁰(x) +µR(x))e^µx= 0

DoncGest constante sur R+. Et commeG(0) =R(0) = 1 (car X est positive), alors pour toutx∈R+ : G(x) = 1 ⇔ R(x) =e^−µx.

(3)

iv. Finalement

P(X ≤x) = 1−R(x) =

0 six <0 1−e^−µx six≥0 Conclusion : X ,→ E(µ)

3. Soient deux réels strictement positifs µ₁ et µ₂. Soient X₁ et X₂ deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois exponentielles de paramètresµ₁ etµ₂ .

(a) On poseY = max(X1, X2).

Pour toutx∈R:

[Y ≤x] = [max (X1, X2)≤x] = [[X1≤x]∩[X2≤x]]

et comme X₁ etX₂ sont ind´ependantes :

FY (x) =P(Y ≤x) =P(X1≤x)P(X2≤x) =FX₁(x)FX₂(x)

CommeX1est à densité alorsFX₁ est continue surRetC¹surR^∗ et de même pourFX₂. Donc comme produit, il en est de même pourFY. DoncY est à densité et une densité est : pourx6= 0 :

f_Y (x) =F_X⁰

1(x)F_X₂(x) +F_X₁(x)F_X⁰

2(x)

=fX₁(x)FX₂(x) +FX₁(x)fX₂(x) Donc en posantf_Y(0) = 0, on a

fY(x) =

µ1e^−µ¹^x(1−e^−µ²^x) +µ2e^−µ²^x(1−e^−µ¹^x) six >0

0 six≤0

(b) On poseZ = min(X1, X2).

On passe par l’´ev´enement contraire :

[Z > x] = [min (X1, X2)> x] = [[X1> x]∩[X2> x]]

et comme X₁ etX₂ sont ind´ependantes :

FZ(x) = 1−P(X1> x)P(X2> x) = 1−(1−FX₁(x)) (1−FX₂(x)) et comme précédemmentZ est à densité. On simplifie alors l’écriture de

F_Z(x) =

1−e^−µ¹^xe^−µ²^x= 1−e^−(µ¹^+µ²^)x six≥0 0 si x <0

On reconnaˆıt la fonction de r´epartition d’une loi exponentielle de param`etreµ1+µ2. Conclusion : Z ,→ E(µ₁+µ₂)

2 Fiabilit´ e

SoitT une variable aléatoire positive qui représente la durée de vie (c’est-à-dire le temps de fonctionnement avant la survenue d’une première panne) d’un système. On suppose que T est une variable à densité fT continue sur R⁺ et ne s’annulant pas surR^∗+.

On appelle fiabilit´e deT la fonction RT d´efinie surR+ par

RT(t) =P(T ≥t) =P(T > t) = 1−FT(t) o`uF_T est la fonction de r´epartition deT.

1. Soientt un r´eel positif ou nul ethun r´eel strictement positif.

La dégradation du système sur l’intervalle [t, t+h] est mesurée par la probabilitéP(t≤T ≤t+h).

Commet≤t+halorsP(t≤T ≤t+h) =FT(t+h)−FT(t) = 1−RT(t+h)−1 +RT(t).

Conclusion : P(t≤T ≤t+h) =RT(t)−RT(t+h) 2. Pour tout r´eeltpositif ou nul,

P(t≤T ≤t+h)

h =F_T(t+h)−F_T(t) (t+h)−t

est le taux d’accroissement deFT entet commefT est continue surR+, alorsFT estC¹et le taux d’accroissement tend versF_T⁰(t).

Conclusion : lim

h→0,h>0

P(t≤T ≤t+h)

h =F_T⁰ (t) =fT(t)

(4)

(a) CommeF_T⁰ (t) =f(t)>0 surR+alorsFT est strictement croissante surR+.De plus lim_+∞FT = 1 donc pour tout t∈R: FT(t)<1 et 1−FT(t)>0.

Conclusion : pour tout r´eelt positif,RT(t)>0

Ce qui permet de définir le taux de défaillance la fonction définie surR+ par le rapportλ(t) = f_T(t) RT(t). (b) RT = 1−FT est dérivable surR⁺ et R⁰_T(t) =−F_T⁰ (t) =−fT(t) et commeRT ne s’annule pas sur R⁺, alors

t7→ 1

RT(t) est d´erivable surR+ et d dt

ln

1 RT(t)

=−R⁰_T(t)

RT(t) = f_T(t)

RT(t) =λ(t) (c) En int´egrant (fonction continue carRT estC¹) de 0 `ax≥0 on a donc

Z x 0

d dtln

1 RT(t)

dt=

ln

1 RT(t)

x t=0

=−ln (RT(x)) + ln (RT(0))

=−ln (RT(x)) Donc

ln (RT(x)) =− Z x

0

λ(t)dtet RT(x) = exp

− Z x

0

λ(t)dt

3. SoitZ une variable aléatoire réelle positive de densitég continue sur R+, admettant une espérance. Pourt≥0, on pose

R_Z(t) =P(Z > t).

Notons que par rapport à la question 2. on n’a plus l’hypothèsedensité non nulle surR+

(a) Soitv la fonction d´efinie surR+ parv(t) =tR_Z(t).

g est continue surR+, doncRT = 1−FT est C¹ etR⁰_T(t) =−g(t). v est donc d´erivable surR+ et

v⁰(t) =RZ(t) +tR_Z⁰ (t) =RZ(t)−tg(t) donc

tg(t) =RZ(t)−v⁰(t)

(b) On av(t) =tR_Z(t). Utilisons l’existence de l’esp´erance et cherchons le lien avecR_Z(x) = Z +∞

x

g(t)dt.

E(Z) = Z +∞

−∞

tg(t)dt= lim

x→+∞

Z x

−∞

tg(t)dt donc

E(Z)− Z x

−∞

tg(t)dt= Z +∞

x

tg(t)dt −→

x→+∞0 Pour toutt≥x, tg(t)≥xg(t) carg(t)≥0 et, puisque les int´egrales convergent :

Z +∞

x

tg(t)dt≥ Z +∞

x

xg(t)dt=xRZ(x) =v(x)≥0 Par encadrement, on en conclut que

v(x) −→

x→+∞0 (c) Z a une esp´erance doncE(Z) =

Z +∞

−∞

tg(t)dtconverge, Z 0

−∞

tg(t)dt= 0 carZ est positive donc sa densit´e

(5)

sur R− est nulle. Par cons´equent, Z +∞

0

tg(t)dtconverge et vautE(Z) Z M

0

RZ(t) = Z M

0

tg(t) +v⁰(t)dt

= Z M

0

R_Z(t)dt− Z M

0

v⁰(t)dt

= Z M

0

tg(t)dt−[v(t)]^M₀

= Z M

0

tg(t)dt−v(M)−v(0)

M→+∞−→

Z +∞

0

tg(t)dt

Conclusion : E(Z) = Z +∞

0

R_Z(t)dt

4. On suppose désormais queT admet une espérance. Soit t un réel positif fixé ; le système ayant fonctionné sans panne jusqu’à la datet, on appelle durée de survie la variable aléatoireTt=T−treprésentant le temps s’écoulant entre la datetet la première panne.

On a donc, pour tout r´eelxpositif

R_T_t(x) =P(T_t> x) =P[T >t](T > t+x) (a) Pour tout r´eelxpositif,

RT_t(x) =P[T >t](T > t+x)

=P([T > t+x]∩[T > t]) P(T > t)

=P(T > t+x)

P(T > t) cart+x≥t

=R_T(t+x) RT(t)

(b) On réutilise alors le 3.c) puisque ses hypothèses (Ttpositive, densité continue surR+ et ayant une espérance) sont satisfaites par T_t

E(Tt) = Z +∞

0

RT_t(x)dx

= Z +∞

0

RT(t+x) RT(t) dx

= 1

RT(t) Z +∞

0

RT(t+x)dx

= lim

M→+∞

1 RT(t)

Z M 0

R_T(t+x)dx et par changement de variable

u=t+x:du=dx:x= 0⇐⇒u=tet x=M ⇐⇒u=M +t

M→+∞lim 1 RT(t)

Z M+t t

RT(u)du= 1 RT(t)

Z +∞

t

RT(u)du=E(Tt)

Les questions suivantes illustrent les notions introduites précédemment pour des systèmes simples.

5. (a) On suppose queT suit la loi exponentielle de param`etreµ.

La fiabilit´e est

RT(t) =P(T ≥t) =P(T > t) = 1−FT(t) =e^−µt sit≥0 Le taux de d´efaillance est

λ(t) = f_T(t)

RT(t) =µe^−µt

e^−µt =µ sit≥0 .

(6)

(b) On suppose que le système est composé de deux organes 1 et 2 montés en série, dont les durées de vie sont supposées indépendantes, ce qui implique qu’il tombe en panne dès que l’un d’eux tombe en panne. On note Ti la durée de vie de l’organei,fT_i la densité de sa loi qu’on suppose exponentielle de paramètreµi.

La durée de fonctionnement du système est doncT = min (T₁, T₂) et d’après le I.3a),→ E(µ₁+µ₂) et donc sa fiabilité est celle dua).

Conclusion : RT(t) =e^−(µ¹^+µ²^)tet son taux de d´efaillanceµ1+µ2

(c) On suppose que le système est composé de deux organes 1 et 2 montés en parallèle, dont les durées de vie sont supposées indépendantes, ce qui implique qu’il tombe en panne quand les deux organes sont en panne. On note T_i la durée de vie de l’organei,f_T_i la densité de sa loi qu’on suppose exponentielle de paramètreµ_i.

On a vu qu’alorsT = max (T1, T2) sa fonction de r´epartitionFT(x) =FT1(x)FT2(x) Donc sa fiabilit´e est

RT(x) = 1−FT₁(x)FT₂(x) = 1− 1−e^−µ¹^x

1−e^−µ²^x

six≥0 6. Soitϕn,β la fonction d´efinie par

ϕn,β(t) =





 β

(n−1)!(βt)ⁿ⁻¹e^−βt si t≥0

0 si t <0

o`uβ >0 est une constante strictement positive etnun entier naturel non nul.

(a) ϕn,β est positive surRet continue surR^∗.

On montre par r´ecurrence que pour tout entiern∈N^∗ : Z +∞

0

ϕ_n,β(t)dt= 1 : Pour n= 1 :

Z M 0

ϕn,β(t)dt= Z +∞

0

βe^−βtdt= 1 (densit´e deE(β)).

Soitn≥1 tel queR+∞

0 ϕn,β(t)dtconverge et vaut 1 alors pourM >0 Z M

0

β

n!(βt)ⁿe^−βtdt en int´egrant par parties on a

u(t) =(βt)ⁿ⁻¹

n! :u⁰(t) =βn(βt)ⁿ⁻¹

n! =β(βt)ⁿ⁻¹ (n−1)!

v⁰(t) =βe^−βt:v(t) =−e^−βt etuetv de classeC¹ Z M

0

β

n!(βt)ⁿe^−βtdt=

−e^−βt(βt)ⁿ⁻¹ n!

^M

0

− Z M

0

−e^−βtβ(βt)ⁿ⁻¹ (n−1)!dt

M→+∞−→

Z +∞

0

β(βt)ⁿ⁻¹

(n−1)!e^−βtdt= 1 Donc pour tout entiern,

Z +∞

−∞

ϕn,β(t)dt= 1.

Conclusion : ϕn,β est une densit´e de probabilit´e (loi d’Erlang)

(b) On suppose queT a pour densité la fonctionϕn,β. Sa fiabilité est à l’instanttest RT(t) = 1−F(t)

On v´erifie que la fonctionf(t) = 1−e^−βt

n−1

X

k=0

(βt)^k

k! est la primitive deϕn,β s’annulant en 0.

f est d´erivable surR+ et

f⁰(t) =βe^−βt

n−1

X

k=0

(βt)^k k! −e^−βt

n−1

X

k=1

βk(βt)^k−1 k!

=βe^−βt

n−1

X

k=0

(βt)^k k! −

n−1

X

k=1

(βt)^k−1 (k−1)! −0

!

=βe^−βt

n−1

X

k=0

(βt)^k k! −

n−2

X

h=0

(βt)^h h!

!

=βe^−βt(βt)ⁿ⁻¹ (n−1)!

=ϕ_n,β(t)

(7)

et

f(0) = 1−

n−1

X

k=0

(0)^k

k! = 1−1−

n−1

X

k=1

0 = 0 Doncf est la primitive deϕn,β s’annulant en 0 et

F_T(x) = Z x

−∞

ϕ_n,β(t)dt= Z x

0

ϕ_n,β(t)dt=f(x) Finalement,

R_T(t) = 1−F(t) =e^−βt

n−1

X

k=0

(βt)^k k!

7. Soitψβ,η la fonction d´efinie par

ψβ,η(t) =





 β η

t η

β−1

e⁻

t η

β

si t≥0

0 sinon

o`uβ≥1, η >0

(a) ψβ,η est continue surR^∗ et positive surR. On remarque quet7→ β

η t

η β−1

est la d´eriv´eet7→

t η

β

donc pourM >0 Z M

0

ψβ,η(t)dt=

−e⁻

t η

β^M

0

=−e⁻

M

η β

+ 1

M→+∞−→ 1

Donc Z +∞

−∞

ψβ,η(t)dt converge et vaut 1.

Conclusion : ψβ,η est une densit´e de probabilit´e (loi de Weibull).

(b) On suppose queT a pour densit´e la fonctionψ_β,η. On a alors pourt∈R+ :

F_T(t) = Z t

0

ψ_β,η(t)dt= 1−e⁻

t η

β

donc

RT(t) =e⁻

t η

β

Le taux de d´efaillanceλ(t) `a la datet est

λ(t) = fT(t) RT(t) =

β

η(_η^t)^β−1e⁻

t η

β

e⁻

t η

β = β

η t

η β−1

(c) Donc

• siβ >1 alorsλ(t) −→

t→+∞+∞.

• siβ= 1 on retrouve une loiE 1

η

, alorsλ(t) = 1

η est constante.

3 Syst` eme Poissonien

On considère maintenant un système dont le fonctionnement est défini comme suit : pour tout réeltpositif, la variable aléatoireNtà valeurs entières représente le nombre de pannes qui se produisent dans l’intervalle [0, t]. On considère que le système est réparé immédiatement après chaque panne.

On notera en particulier que pours≤t, on aNs≤Nt. On suppose qu’on a les quatre propri´et´es suivantes

• N0= 0 et 0< P(Nt= 0)<1 pour tout t >0.

• Pour tous r´eelst0, t1, . . . , tn tels que 0≤t0< t1<· · ·< tn les variablesNt₀, Nt₁−Nt₀, Nt₂−Nt₁, . . . , Nt_n−Ntn−1

sont mutuellement ind´ependantes (accroissements ind´ependants)

(8)

• Pour tous r´eelssett tels que 0< s < t,Nt−Nssuit la mˆeme loi queN_t−s (accroissements stationnaires)

• lim

h→0,h>0

P(N_h>1)

h = 0

On pose, sous r´eserve d’existence, pour toutu≥0 et pour toutsdans [0,1], Gu(s) =E(s^N^u),

avec la convention 0⁰= 1.

1. (a) Pour toutu≥0, d’après le théorème de transfert si on a absolue convergence de la série alors Gu(s) =E(s^Nû) =

+∞

X

k=0

s^kP(Nu=k) Comme 0≤s≤1 alorss^kP(Nu=k)≤P(Nu=k).

La s´erie P+∞

k=0P(Nu=k) converge, donc d’après le critère de comparaison par inégalitéP+∞

k=0s^kP(Nu=k) converge, et donc absolument puisque les termes sont positifs.

Conclusion : Pour touts∈[0,1], Gu(s) =E s^N^u existe

(b) Pour tous réelsuetv positifs ou nuls, et pour tout réelstel que 0≤s≤1, on a Gu+v(s) =E s^Nû+v

=E

s^Nû^+(Nû+v^−Nû⁾

=E s^Nûs^Nû+v^−Nû

=E s^N^u

E s^N^u+v^−N^u

carN_u et N_i+v−N_u sont indépendantes, et commeN_u+v−N_u a la même loi que N_v Conclusion : G_u+v(s) =E s^Nû

E s^N^v

=G_u(s)G_v(s) pour touts∈[0,1]

2. On fixestel que 0≤s≤1.

(a) G₁(s) =E s^N¹

et comme 0< P(N₁= 0)<1 alors E s^N¹

=

+∞

X

k=0

s^kP(N₁=k)≥s⁰P(N₁= 0)>0

Conclusion : G₁(s)>0

On poseθ(s) =−lnG1(s) et, pouru≥0,ψ(u) =Gu(s).

(b) On a donc ψ(k) =G_k(s) et on a alors par r´ecurrence :

— Pourk= 0 :ψ(0) =G0(s) =E s^N⁰

avecP(N0= 0) = 1 on a doncψ(0) =s⁰= 1 ete^−0θ(s)= 1.

— Soit k∈Ntel queGk(s) =e^−kθ(s)alorsGk+1(s) =Gk(s)G1(s) avec θ(s) =−lnG₁(s) on aG₁(s) =e^−θ(s) et donc

Gk+1(s) =e^−kθ(s)e^−θ(s)=e^{−(k+1)θ(s)}

— Conclusion : Pour toutk∈N, G_k(s) =e^−kθ(s) (c) Soitqun entier naturel non nul.

On a par r´ecurrenceG_k1 q(s) =

G1 q(s)^k

donc aveck=q on a G1(s) =

G¹

q(s)^q donc

G¹

q (s) = (G1(s))^1/q=e⁻¹^q^θ(s) Conclusion : ψ

1 q

=e⁻¹^q^θ(s).

(d) Et on a `a nouveau par r´ecurrence pour toutp∈N: ψ

p q

=

ψ(1 q)

p

=

e⁻

1 qθ(s)p

=e⁻

p qθ(s)

Conclusion : sir∈Q+, alorsψ(r) =e^−rθ(s)

(9)

(e) On encadre tout r´eel upar deux suites de rationnels tendant vers u sn= bnuc

n et rn =bnuc+ 1 n

sn ≤u≤rn pour toutn∈Net on regarde le sens de variation deψpour encadrer les images :

Si 0≤u≤v alors Nu≤Nv et comme s∈[0,1],la fonctionx→s^x est décroissante surR+ doncs^Nû ≥s^N^v et E s^Nû

≥E s^N^v

soitψ(u)≥ψ(v).

Donc la fonction ψest d´ecroissante sur R+ d’o`u ψ(s_n)≥ψ(u)≥ψ(r_n)

et quandn→+∞on asn→udoncψ(sn) =e^−sⁿ^θ(s)→e^−uθ(s) et de même pourψ(rn) Donc par passage à la limite dans l’inégalité précédente :ψ(u) =e^−uθ(s)

Conclusion : pour tout r´eel positifu,Gu(s) =e^−uθ(s) (f) Commee^x−1 ∼

x→0xalorse^−hθ(s)−1 ∼

h→0−hθ(s) et donc e^−hθ(s)−1

−hθ(s) −→

h→01 Conclusion : pour touts∈[0,1], lim

h→0,h>0

G_h(s)−1

h =−θ(s) 3. Par ailleurs que pour touts∈[0,1],

Gh(s)−1 =

+∞

X

k=0

s^kP(Nh=k)−1

=P(Nh= 0) +s¹P(Nh= 1) +

+∞

X

k=2

s^kP(Nh=k) et d’autre part

P(N_h= 1) (s−1) +

+∞

X

k=2

P(N_h=k) s^k−1

sous r´eserve de convergence

=sP(Nh= 1)−P(Nh= 1) +

+∞

X

k=2

s^kP(Nh=k)−

+∞

X

k=2

P(Nh=k)

=sP(Nh= 1) +

+∞

X

k=2

s^kP(Nh=k)−

+∞

X

k=1

P(Nh=k) dont les s´eries convergent

=P(Nh= 0) +sP(Nh= 1) +

+∞

X

k=2

s^kP(Nh=k)−

+∞

X

k=0

P(Nh=k)

=Gh(s)−1

Conclusion : Gh(s)−1 =P(Nh= 1) (s−1) +

+∞

X

k=2

s^k−1

P(Nh=k) 4. On pense alors `a

1 h

+∞

X

k=2

s^k−1

P(Nh=k) =Gh(s)−1

h −P(Nh= 1) h (s−1) mais la limite de P(Nh= 1)

h doit être déduite à la question suivante ...

Il y a alors deux cas `a consid´erer :

• sis= 1 :

+∞

X

k=2

P(N_h=k)(s^k−1) = 0 d’o`u la limite.

• sis∈[0,1[,on va utiliser l’hypoth`ese : lim

h→0,h>0

P(N_h>1)

h en majorant.

Pour toutk≥2 : (Nh=k)⊂(Nh>1) doncP(Nh=k)≤P(Nh>1) et comme les s´eries convergent 0≤

+∞

X

k=2

P(Nh=k)s^k ≤

+∞

X

k=2

P(Nh>1)s^k=P(Nh>1) s² 1−s

(10)

donc

0≤ P+∞

k=2P(Nh=k)s^k

h ≤ P(Nh>1) h

s² 1−s et par encadrement

P+∞

k=2P(Nh=k)s^k

h −→

h→00 Enfin,

+∞

X

k=2

P(N_h=k)≤

+∞

X

k=0

P(N_h=k) = 1 donc

0≤ P+∞

k=2P(Nh=k)

h ≤ 1

h et par encadrement

P+∞

k=2P(Nh=k)

h −→

h→00.

Conclusion : pour touts∈[0,1], lim

h→0,h>0 +∞

X

k=2

P(Nh=k)(s^k−1)

h = 0

5. (a) On r´eutilise

G_h(s)−1 =P(N_h= 1) (s−1) +

+∞

X

k=2

s^k−1

P(N_h=k) pour en extraire

P(N_h= 1) =

"

G_h(s)−1−

+∞

X

k=2

s^k−1

P(N_h=k)

#

/(s−1) et P(Nh= 1)

h =

"

Gh(s)−1

h −

P+∞

k=2 s^k−1

P(Nh=k) h

#

/(s−1)

−→h→0

−θ(s) + 0 s−1 et avec α= −θ(s)

s−1 ≥0 (car une probabilit´e l’est) Conclusion : α= lim

h→0,h>0

P(Nh= 1)

h ≥0 et pour touts∈[0,1],θ(s) =−α(s−1) =α(1−s) (b) On a en particulier

α=θ(0) =−lnG₁(0).

Comme par hypoth`ese (pour toutt >0, 0<P(Nt= 0)<1 ) G1(0) =E 0^N¹

= 0⁰P(N1= 0) + 0 =P(N1= 0)<1 alors

P(G1(0))<0.

Conclusion : α >0.

(c) On a vu que pour tout r´eel positif u,Gu(s) =e^−uθ(s). au 2e) etθ(s) =−α(s−1) =α(1−s) au 5a), donc Gu(s) =e^{−uα(1−s)}

D’autre part,

+∞

X

k=0

e^−αu(αu)^k k!

s^k =e^−αu

+∞

X

k=0

(αus)^k

k! =e^−αue^αus=e^{−αu(1−s)}=Gu(s) et finalement pour touts∈[0,1], d’après le théorème de transfert

Gu(s) =

+∞

X

k=0

P(Nu=k)s^k =

+∞

X

k=0

e^−αu(αu)^k k!

s^k

(11)

(d) Si la somme était finie, on aurait une égalité de polynômes pour une infinité de valeur, d’où identification des coefficients. Mais on ne dispose pas au programme d’un tel théorème sur les sommes de séries.

On montre alors par r´ecurrence que pour toutk∈N:

P(Nu=k) =e^−αu(αu)^k k!

La récurrence a besoin de tous les termes précédent (récurrence généralisée).

• Pour n = 0 on utilise l’égalité pour s = 0 et il ne reste que le terme où la puissance de s est nulle : P(Nu= 0) =e^−αu^(αu)_0!⁰

• Soitn≥0 tel que pour toutk≤n:P(Nu=k) =e^−αu^(αu)_k!^k

alors, on simplifie de part et d’autre cesn+ 1 premiers termes ´egaux et il reste.

+∞

X

k=n+1

P(Nu=k)s^k =

+∞

X

k=n+1

e^−αu(αu)^k k!

s^k que l’on factorise et simlifie parsⁿ⁺¹

+∞

X

k=n+1

P(Nu=k)s^k−n−1=

+∞

X

k=n+1

e^−αu(αu)^k k!

s^k−n−1

Et en particulier pours= 0 il ne reste queP(Nu=n+ 1) =e^−αu^(αu)_(n+1)!ⁿ⁺¹ Pour simplifier par sⁿ⁺¹,il faut ques soit non nul. On ne peut donc pas utiliser la formule pours= 0.Il faut proc´eder par apassage `a la limite :

+∞

X

k=n+1

P(N_u=k)s^k−n−1=P(N_u=n+ 1) +s

+∞

X

k=n+2

P(N_u=k)s^k−n−2 et commeP(Nu=k)s^k−n−2≤s^k−n−2alors

0≤s

+∞

X

k=n+2

P(N_u=k)s^k−n−2≤s

+∞

X

k=n+2

s^k−n−2=s 1 1−s

par encadrement,

+∞

X

k=n+2

P(Nu=k)s^k−n−2 −→

s→0⁺0 et de mˆeme pour la seconde somme o`u

e^−αu(αu)^k k!

est une probabilité deP(αu) et donc inférieur à 1.

Conclusion : P(N_u=k) =(αu)^k

k! e^−αupour toutk∈Net doncN_u,→ P(αu)

Une famille de variables aléatoires ayant les mêmes caractéristiques que la famille (Nt)t≥0 est unprocessus de Poissonet la constanteαs’appelle leparamètredu processus de Poisson.

6. SoitT la variable aléatoire désignant la date de la première panne. Soitt >0.

[T > t] signifie que la première panne survient aprèst,c’est à dire qu’il n’y a pas eu de panne dans [0, t] donc (T > t) = (Nt= 0) et P(T > t) =P(Nt= 0) = (αt)⁰

0! e^−αt=e^−αtet elle vaut 1 sit <0.

DoncP(T ≤t) = 1−e^−αt et Conclusion : T ,→ E(α)

Pourt positif fixé, on pose pourhréel positif, Ñ_h=N_t+h−N_t.

(a) Nt+h est le nombre de panne dans [0, t+h] etNt dans l’intervalle [0, t] donc Nt+h−Nt= Ñh est la variable aléatoire qui représente le nombre de pannes survenues dans l’intervalle de temps ]t, t+h].

(b) Or Ñ_h=N_t+h−N_t a la même loi queN_h donc on liste les 4 propriétés :

• N˜_h₂−N˜_h₁=N_t+h₂−N_t−(N_t+h₁−N_t) =N_t+h₂−N_t+h₁ a la mˆeme loi queN_h₂_−h₁ donc que ˜N_h₂_−h₁

• et de la même fa¸con pour l’indépendance de Ñ_h₀,N˜_h₁−N˜_h₀...

• N˜0=Nt−Nt= 0 etP

N˜h= 0

=P(Nt+h−Nt= 0) =P(Nh= 0) est donc compris dans ]0,1[ pour tout h >0.

• et de même pour le a limite où l’on retombe sur celle deN_h La famille ( Ñ_h)_h≥0est donc un processus de Poisson de paramètreα.

(c) Donc en notantT la date de la première panne aprèston retrouve d’après 6) queT ,→ E(α)

(d) Le taux de défaillance aprèst pour une loi exponentielle est (fiabilité 5 a) ) le paramètre de la loi donc pour un processus de Poisson et pour chaque date t donnée, le taux de défaillance du système après t est constant.