Math´ ematiques Concours blanc n
◦3
Epreuve n
◦1 Mars 2019
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raison- nements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel
´
electronique est interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.
Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.
Exercice 1
.Pour tout entier natureln, on d´efinit la fonctionfn de la variable r´eelle xpar : fn(x) =xnexp
−x2 2
1. Justifier quefn(x) est n´egligeable devant 1
x2 au voisinage de +∞.
2. Prouver la convergence de l’int´egrale Z +∞
0
fn(x)dx.
3. On poseIn = Z +∞
0
fn(x)dx.
(a) A l’aide d’une int´egration par parties portant sur des int´egrales d´efinies sur le segment [0, A] avec A ≥ 0, prouver que pour tout entier natureln:
In+2= (n+ 1)In
(b) En utilisant la loi normale centr´ee r´eduite, justifier que : I0=
rπ 2 (c) Donner la valeur deI1.
(d) D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln: I2n =
rπ 2
(2n)!
2nn!
I2n+1 = 2nn!
4. Soitf la fonction d´efinie pour tout r´eelxpar : f(x) =
f1(x) six≥0, 0 six <0.
(a) D´emontrer quef est une densit´e de probabilit´e.
(b) SoitX une variable al´eatoire r´eelle qui admetf pour densit´e de probabilit´e.
i. Justifier queX admet une esp´eranceE(X), et pr´eciser sa valeur.
ii. Justifier queX admet une varianceV (X), et pr´eciser sa valeur.
5. On d´esigne parF etGles fonctions de r´epartitions respectives deX et de Y =X2. (a) ExprimerG(x) en fonction de F(x) en distinguant les deux cas :x <0 etx≥0.
(b) En d´eduire queY est une variable al´eatoire `a densit´e. Reconnaˆıtre la loi deY et donner la valeur deE(Y) et V (Y).
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Exercice 2
.Dans tout cet exercice, N d´esigne un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 3. Une urne contient (N−1) boules blanches et une boule noire.
On effectue des tirages sans remisedans l’urne, jusqu’`a l’obtention de la boule noire.
On noteX la variable al´eatoire qui prend pour valeur le nombre de tirages n´ecessaires pour l’obtention de la boule noire.
On notera pour tout entier naturelinon nul :
• Ni l’´ev´enementon tire une boule noire lors dui-i`eme tirage.
• Bi l’´ev´enement on tire une boule blanche lors dui-i`eme tirage. 1. On simule 10000 fois cette exp´erience al´eatoire.
Recopier et compl´eter le programme Scilab suivant pour qu’il affiche l’histogramme donnant la fr´equence d’appa- rition du rang d’obtention de la boule noire :
N = input(’ Donner un entier naturel non nul’) ; S = zeros(1,N);
for k = 1 : 10000 i = 1 ; M = N ;
while ________________
i = i + 1 ;
M = ________________ ; end
S(i) = S(i) + 1 ; end
disp(S / 10000) bar(S / 10000)
2. On ex´ecute le programme compl´et´e ci-dessus. On entre 5 au clavier et on obtient l’histogramme suivant :
Quelle conjecture pouvez-vous ´emettre sur la loi de la variable al´eatoireX? Pour les questions suivantes, on revient au cas g´en´eral o`uN >3.
3. En ´ecrivant soigneusement les ´ev´enements utilis´es, calculerP(X = 1),P(X = 2) etP(X = 3).
4. D´eterminer la loi de la variable al´eatoireX.
5. Pr´eciser le nombre moyen de tirages n´ecessaires `a l’obtention de la boule noire.
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Exercice 3
.On consid`ere deux variables al´eatoiresX etY,d´efinies sur un espace probabilis´e (Ω,A, P),et ind´ependantes.
On suppose queX est une variable `a densit´e et on noteFX sa fonction de r´epartition.
On suppose par ailleurs que la loi deY est donn´ee parP(Y = 1) =P(Y =−1) = 1 2. L’ind´ependance deX etY se traduit par les ´egalit´es suivantes, valables pour tout r´eelx:
P([X ≤x]∩[Y = 1]) =P(X ≤x)P(Y = 1) et P([X≤x]∩[Y =−1]) =P(X ≤x)P(Y =−1). On poseZ =XY et on admet queZ est, elle-aussi, une variable al´eatoire d´efinie sur (Ω,A, P).
On se propose d’´etablir deux r´esultats utiles pour la suite dans la partie 1, puis d’en d´eduire la loi de la variable al´eatoireZ en fonction de la loi deX dans les parties 2 et 3.
Partie I : Expression de la fonction de r´epartition de Z en fonction de celle de X.
1. Rappeler l’expression des fonctions de r´epartition d’une variable al´eatoire suivant une loi uniforme sur [a, b] (avec a < b) et d’une variable al´eatoire suivant une loi exponentielle de param`etreλ(avecλ >0).
2. En utilisant le syst`eme complet d’´ev´enements{(Y = 1),(Y =−1)},montrer que la fonction de r´epartitionFZ de la variable al´eatoireZ est donn´ee par :
∀x∈R, FZ(x) =1
2(FX(x)−FX(−x) + 1). Partie II : ´Etude de deux premiers exemples.
1. On suppose que la loi deX est la loi normale centr´ee r´eduite.
Reconnaˆıtre la loi deZ.
2. On suppose que la loi deX est la loi uniforme sur [0,1].
(a) D´eterminer l’expression deFX(−x) selon les valeurs prises parx.
(b) D´eterminerFZ(x) pour tout r´eel x,puis reconnaˆıtre la loi deZ.
Partie III : ´Etude du cas o`u la loi de X est la loi exponentielle de param`etre 1.
On suppose que la loi deX est la loi exponentielle de param`etre 1.
1. (a) Montrer que la fonction de r´epartitionFZ de la variable al´eatoireZ est d´efinie par : FZ(x) =
1−12e−x six≥0
1
2ex six <0 (b) En d´eduire queZ est une variable al´eatoire `a densit´e.
(c) Etablir alors qu’une densit´e deZ est la fonctionfZ d´efinie pour tout r´eel xpar : fZ(x) =1
2e−|x|. (d) Donner la valeur de l’int´egrale
Z +∞
0
xe−xdx.
(e) Montrer quefZ est une fonction paire et en d´eduire l’existence et la valeur deE(Z).
2. (a) Donner la valeur de l’int´egrale Z +∞
0
x2e−xdx.
(b) En d´eduire l’existence et la valeur deE(Z2),puis donner la valeur de la variance deZ.
3. (a) D´eterminerE(X)E(Y) et comparer avecE(Z). Quel r´esultat retrouve-t-on ainsi ? (b) ExprimerZ2 en fonction deX,puis en d´eduire de nouveau la variance deZ.
4. SoitU et V des variables al´eatoires suivant respectivement la loi de Bernoulli de param`etre 1
2 et la loi uniforme sur [0,1[.
(a) On pose Q=−ln(1−V) et on admet que Qest une variable al´eatoire. D´eterminer la fonction de r´epartition deQet en d´eduire la loi suivie par la variable al´eatoireQ.
(b) On poseR= 2U−1 et on admet queRest une variable al´eatoire. D´eterminerR(Ω) et donner la loi suivie par la variableR.
(c) En tenant compte des r´esultats des questions 4a) et 4b), ´ecrire enScilab une fonction qui simule la loi deZ en utilisant la fonctionrand.
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Exercice 4
.Etant donn´´ e un entier n sup´erieur ou ´egal `a 2, on consid`ere un nuage den points du plan, c’est-`a-dire un n-uplet ((x1, y1),(x2, y2), . . . ,(xn, yn)) d’´el´ements de R2. On suppose que les r´eels x1, x2, . . . (respy1, y2, . . . ) ne sont pas tous ´egaux.
On appelle moyenne arithm´etique xet ´ecart-typeσx dun-uplet x= (x1, x2, . . . , xn) les r´eels suivants :
x= 1 n
n
X
k=1
xk et σx= v u u t 1 n
n
X
k=1
(xk−x)2
On d´efinit de mˆeme la moyenne arithm´etiquey et l’´ecart-typeσy dun-uplety= (y1, y2, . . . , yn).
La covariance Cov (x, y) et le coefficient de corr´elation lin´eaireρ(x, y) du couple (x, y) sont donn´es par : Cov (x, y) = 1
n
n
X
k=1
(xk−x) (yk−y) et ρ(x, y) =Cov (x, y) σx×σy
Soitf la fonction d´efinie surR2`a valeurs r´eelles qui, `a tout couple (a, b) deR2, associe le r´eel f(a, b) tel que : f(a, b) =
n
X
k=1
(a xk+b−yk)2
1. Justifier quef est de classeC2 surR2.
2. (a) ´Ecrire le syst`eme d’´equations (S) permettant de d´eterminer les points critiques def. (b) R´esoudre le syst`eme (S).
En d´eduire quef admet un unique point critique ˆ a,ˆb
que l’on exprimera en fonction dex, y, σ2xet Cov (x, y). (c) Montrer que ce point critique correspond `a un minimum local def.
(d) ´Etablir la formule suivante :
f ˆ a,ˆb
=nσy2
1−(ρ(x, y))2 . 3. (a) Montrer que l’on a :|ρ(x, y)| ≤1.
(b) Que peut-on dire du nuage de points lorsque |ρ(x, y)|= 1 ?
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