Revoir la formule de distributivité (Chap.II) Chapitre XXXIII : Programme de calcul : factoriser et développer 1 8

(1)

Chapitre XXXIII : Programme de calcul : factoriser et développer

Revoir la formule de distributivité (Chap.II)

Liste des objectifs :

4^ème : [Abordable en 5^ème] sur des exemples littéraux, utiliser la formule de distributivité dans les deux sens.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=683 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=684 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=685 Mathenpoche :http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=1137

Exercice n°1 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS.

Voici un programme de calcul : « Choisir un nombre, le multiplier par 7.

Additionner le triple du nombre de départ au résultat. » a. Faites fonctionner ce programme sur le nombre 3 :

………..

b. Faites fonctionner ce programme sur le nombre 15 :

………..

c. Faites fonctionner ce programme sur le nombre 1,89 :

………

d. Que semble-t-il se passer ? ……….

e. Démontrons-le :

a. Donnez la formule correspondant à ce programme de calcul.

……….

b. Appliquons la formule de distributivité de 5

^ème

: à quelle partie de k × a + k × b = k × ( a + b ) ressemble la formule : celle à gauche du signe « = », ou celle à droite ?

………..

c.

Qu’est-ce qui joue le rôle de k ? de a ? de b ? Ici : k=……… ; a=………….. ; b=…………

d.

Montrez que la formule du programme de calcul donne donc le même résultat que x × (7+3) :

k × a + k × b = k × ( a + b )

……

× ………+…………×…………=…………× (…………+…………) e. Conclure.

On dit que l’on a factorisé par le facteur x.

acquis

(2)

Exercice n°2 – INTRODUCTION AU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS.

Voici deux programmes de calcul :

Programme n°1 : « Choisir un nombre, le multiplier par 6, et additionner 12 au résultat ».

Programme n°2 : « Choisir un nombre, additionner 2, et multiplier le résultat obtenu par 6 ».

1. Faites fonctionner ces deux programmes de calcul sur le nombre 4.

……….

2. Faites fonctionner ces deux programmes de calcul sur le nombre 2,1.

………..

3. Que semble-t-il se passer ?

………

4. Démontrons-le :

a. Donnez les formules correspondant à ces programmes de calcul.

prgm n°1 : ……….

prgm n°2 :………..

b. Appliquons la formule de distributivité de 5

^ème

: à quelle partie de k×a+k×b = k×(a+b) ressemble la formule du programme n°1 : celle à gauche du signe « = », ou celle à droite ?

……….

c. Á quelle partie de k×a+k×b = k×(a+b) ressemble la formule du programme n°2 : celle à gauche du signe « = », ou celle à droite ?

………

d. Qu’est-ce qui joue le rôle de k ? de a ? de b ? Ici : k=……… ; a=………….. ; b=…………

e.

Sachant que 12=6×2, montrez que le programme n°1 donne le même résultat que le programme n°2, en transformant sa

formule correspondante à l’aide de la formule de distributivité :

k × a + k × b = k × ( a + b )

6

× ……… + ………× ……… = ……… × (……… + ……… ) 1. Conclure :

………

………..

On dit que l’on a factorisé par le facteur 6.

(3)

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ Cours n°1 ♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Cours à compléter ^{, à} montrer au professeur :

Chapitre XXXIII : Programme de calcul : factoriser et développer

I) Factorisation Propriété n°1

La formule de d……….. de 5

^ème

est : k×a+k×b = ………. où k, a et b sont des nombres quelconques ou eux-mêmes des formules avec des lettres.

Définition n°3

On dit que l’on factorise une formule ou un programme de calcul quand on utilise la formule de distributivité k×a+k×b = ………. de ………. à

………

Définition n°4

Une formule est factorisée quand, si on remplace les lettres par des valeurs, la dernière opération à effectuer est une ………

Exemple n°4

12×x+5×x ressemble à k×a+k×b avec k=….., a=….,b=…. ( entourez _{ce qui}

joue le rôle de k dans 12×x+5×x)

Or : k×a+k×b = ……….(compléter la formule de distributivité) Donc 12×x+5×x = …×(……+…)

Donc 12×x+5×x =…x Exemple n°5

12×x+12×2 ressemble à k×a+k×b avec k=….., a=….,b=…. ( entourez _{ce qui}

joue le rôle de k dans 12×x+12×2)

Or : k×a+k×b = ……….(compléter la formule de distributivité) Donc 12×x+12×2 = …×(……+…)

Exemple n°6

18×x

²

+36×x s’écrit aussi 18×x×…+18×…×x, qui ressemble à

……….. avec k=….., a=….,b=….

(entourez ce qui joue le rôle de k dans : 18×x×…+18×…×x.)

Or : ………=………..(écrire la formule de distributivité) Donc : 18×x

²

+36×x=……×…×(…+…)

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Fin du Cours n°1

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Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

(4)

Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous demander de montrer ce travail)

Recopier le cours dans le cahier de cours ( à la maison ! ) – Penser à changer de page (nouveau chapitre)

Contrôle du savoir faire :

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°4

12×x+5×x ressemble à k×a+k×b avec k=….., a=….,b=…. ( entourez _{ce qui}

joue le rôle de k dans 12×x+5×x)

Or : k×a+k×b = ……….(compléter la formule de distributivité) Donc 12×x+5×x = …×(……+…)

Donc 12×x+5×x =…x Exemple n°5

12×x+12×2 ressemble à k×a+k×b avec k=….., a=….,b=…. ( entourez _{ce qui}

joue le rôle de k dans 12×x+12×2)

Or : k×a+k×b = ……….(compléter la formule de distributivité) Donc 12×x+12×2 = …×(……+…)

Exemple n°6

18×x

²

+36×x s’écrit aussi 18×x×…+18×…×x, qui ressemble à

……….. avec k=….., a=….,b=….

(entourez ce qui joue le rôle de k dans : 18×x×…+18×…×x.)

Or : ………=………..(écrire la formule de distributivité) Donc : 18×x

²

+36×x=……×…×(…+…)

Exercice n°3(à montrer obligatoirement au professeur)

Factoriser les formules suivantes (donner à chaque fois le rôle joué par k, a et b, entourer ce qui joue le rôle de k et écrire la formule de

distributivité) :

a. 41x + 10x.

b. 18x²+ 10x². c. 72x + 56.

d. 40 + 10x.

e. 21x² + 25x (rappel x² veut dire x×x)

Exercice n°4

Factoriser les formules suivantes (donner à chaque fois le rôle joué par k, a et b, entourer ce qui joue le rôle de k ) :

1. 30t²+ 100t².

2. 6t²+ 21t.

3. 20t + 40t.

4.

8 + 10t

. 5.

10t² + 45t

.

(5)

Exercice n°5 – INTRODUCTION AU COURS N°2 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS.

Voici un programme de calcul : « Choisir un nombre, en prendre la moitié, additionner 5 au résultat, multiplier le résultat obtenu par 2. »

a. Faites fonctionner ce programme sur le nombre 3.

………

b. Faites fonctionner ce programme sur le nombre 15.

………

c. Faites fonctionner ce programme sur le nombre 1,89.

………

d. Que semble-t-il se passer ?

……….

e. Démontrons-le :

1. Donnez la formule correspondant à ce programme de calcul.

………..

2. Appliquons la formule de distributivité de 5

^ème

: à quelle partie de k×a+k×b = k×(a+b) ressemble la formule : celle à gauche du signe « = », ou celle à droite ?

……….

3. Qu’est-ce qui joue le rôle de k ? de a ? de b ? Ici : k=……… ; a=………….. ; b=…………

4.

Montrez que la formule du programme de calcul donne donc le même résultat que x+10 en appliquant la formule de

distributivité.

k × ( a + b ) = k × a + k × b

2

× ……… = ……….

= ………..

3. Conclure.

………

On dit que l’on a développé la formule 2( x

2 +5 )

(6)

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥ Cours n°2 ♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Cours à compléter ^{, à} montrer au professeur puis, s’il est validé, à

recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier (PENSER à AVOIR une MARGE) :

II) Développement Définition n°5

On dit que l’on développe une formule ou un programme de calcul quand on utilise la formule de distributivité k×a+k×b = ………. de ………. à

………

Définition n°6

Une formule est développée quand elle ne contient plus de

………

Exemple n°7

12×(x+5) ressemble à k×(a+b) avec k=….., a=….,b=….

Or : k×(a+b) = ……….

Donc 12×(x+5) = ……×……+……×……

Donc 12×(x+5) = ……×……+……

Exemple n°8

18×x×(5+3×x) ressemble à k×(a+b) avec k=….., a=….,b=….

Or : k×(a+b) = ……….

Donc : 18×x×(5+3×x)= ……×……×……+……×……×……

Donc : 18×x×(5+3×x)= ……×……×……+……×……

Donc : 18×x×(5+3×x)= ……×……+……×……

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Fin du Cours n°2

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Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous demander de montrer ce travail)

Recopier le cours dans le cahier de cours ( à la maison ! )

(7)

Contrôle du savoir faire :

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°7

12×(x+5) ressemble à k×(a+b) avec k=….., a=….,b=….

Or : k×(a+b) = ……….

Donc 12×(x+5) = ……×……+……×……

Donc 12×(x+5) = ……×……+……

Exemple n°8

18×x×(5+3×x) ressemble à k×(a+b) avec k=….., a=….,b=….

Or : k×(a+b) = ……….

Donc : 18×x×(5+3×x)= ……×……×……+……×……×……

Donc : 18×x×(5+3×x)= ……×……×……+……×……

Donc : 18×x×(5+3×x)= ……×……+……×……

Exercice n°6

Trouver les paires d’expressions équivalentes, c'est-à-dire les formules qui donnent le même résultat si le nombre

x

de départ est le même.

Justifier la réponse en utilisant la formule de

distributivité de 5

^ème

, et en indiquant quels termes ou facteurs jouent le rôle de k _, a _et b _.

Exemple :

« 4(5 + 7 x ) est équivalent à 20 + 28 x car : Si k = 4, a = 5 ^et b = 7 x , ^{on a :}

4(5 + 7 x )=4 × 5 + 4 × 7 × x = 20 + 28 x _»

a. 5(2+x) b. −4(3x+8)

c.

2(5x−3)

d.

10+5x

e.

10+x

f.

10x−3

g.

5(2+0,2x)

h.

−12x−32

i.

5(2x−0,6)

j. 10x−6

Exercice n°7 Développer : a. 6(7x+9).

b. 8(5x─3)

c. 5(3x+9x²)

d. ─4(5x+6)

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Résultats

Ex.1 a.30 b.150 c.18,9 e.a.7x+3x e.b.g e.c.x ;a ;b e.e.10x Ex.2 1. 36 2.24,6 4.a.6x+12 et 6(x+2) 4.b.g 4.c.d 4.d. 6 ; x ; 2 Ex.3 a.51x b.28x² c.8(9x+7) d.10(4+x) e.x(21x+25) Ex.4 1.

10t (3+10t) 2.3t (2t +7) 3.60t 4.2(4 + 5t) 5.5t (2t + 9) Ex.5 a.13 b. 25 c. 11,89 e.1. (

x 2 +5)×2

e.2. d e.3.2 ; x

2 ; 5 Ex.6 ad bh cj eg fi Ex.7 a.42x+54 b.40x─24 c.15x+45x² d.

─20x─34

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