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Chapitre XIX : Angles et Triangles : somme des angles dans un triangle

Liste des objectifs :

a. 5^ème : [Abordable en 6^ème] connaître les propriétés relatives aux angles des triangles rectangles, des triangles isocèles, et des triangles équilatéraux.

b. 5^ème : connaître et utiliser la propriété sur la somme des angles dans un triangle. Savoir l’appliquer aux cas particuliers d’un triangle équilatéral, rectangle, ou isocèle.

Exercice n°1 – EXERCICE DIAGNOSTIQUE

Cet exercice est UN EXERCICE DIAGNOSTIQUE : - Il faut essayer de le faire UNE FOIS.

- Si tu as UNE erreur ou plus, ou si tu NE SAIS PAS REPONDRE, passe A L’EXERCICE QUI SUIT.

- Si tu as TOUT JUSTE (vérifie-le en regardant les solutions à la fin du document), va DIRECTEMENT à l’exercice n°7

- ATTENTION : tu peux quand même avoir une interrogation sur le cours.

Un triangle EFG est tel que aGEF=31° et aEFG=102°. Calculer aFGE, en écrivant la propriété utilisée.

Exercice n°2 – INTRODUCTION DU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS.

Cet exercice est à faire sur un logiciel de géométrie. S’il est fait à la maison, une copie de l’écran finale, envoyée par mail ou imprimée, est demandée.

En cas d’impossibilité, faire quatre figures différentes à la main, sur papier, et mesurer.

Rappel : un angle plat mesure 180°.

1. Construire ci-dessous ou avec Tracenpoche un triangle ABC.

2. Construire le milieu I de [AB] et le milieu J de [AC].

3. Construire le symétrique C’de C par rapport à I.

4. Construire le symétrique B’ de B par rapport à J.

SUITE PAGE SUIVANTE

(2)

5.

a. Quel est le symétrique de A par rapport à I ? ……

b. Quel est le symétrique de C par rapport à I ? ……

c. Quel est le symétrique de B par rapport à I ? ……

d. En déduire quel est le symétrique de aACBpar rapport à I? ………

e. Que peut-on dire de sa mesure et de celle deaBAC ?

………

…………

Justifiez-le à l’aide d’une propriété de la symétrie centrale.

………

6. Á quel angle du triangle est égal l’angle aCBA ? Justifiez-le.

………

……….

7. Quelle semble être la mesure de C’AB’? ………….. a

8. Bougez les points C et B sur le logiciel de géométrie, ou refaites trois autres figures sur papier, avec des mesures de côté différentes. La mesure de C’AB’semble-t-a elle changer ? ……….

9. D’après les réponses précédentes, à quoi semble toujours égale la somme des angles dans un triangle ? ………

10. Application : Si ABC est tel que aCBA=27° et aCAB=101°, combien vaut aACB ?

………

Exercice n°3 – INTRODUCTION DU COURS N°1 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS.

On reprend la construction de l’exercice précédent.

L’objectif est de démontrer que les points C’,A et B’ sont en effet toujours parfaitement alignés.

1. Quelle est la nature du quadrilatère CBAB’ ?

………

2. Quelle propriété du cours utilisez-vous ? (indication : voir le chapitre XV)

………

3. En déduire que (B’A) et (CB) sont parallèles, en citant une autre propriété du cours (indication : voir le chapitre IX).

………

SUITE PAGE SUIVANTE

(3)

………

4. Que peut-on dire de (C’A) et de (CB) ? Justifiez votre réponse .

………

5. On a maintenant ce qu’il faut. Pourquoi les points C’,A et B’ ne peuvent être qu’alignés ?

………

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Cours n°1

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Cours à

compléter

^{, à}

montrer

au professeur :

Chapitre XIX : Triangles : somme des angles

I) Somme des angles dans un triangle.

Propriété n°1

Dans un triangle, la somme des angles mesure ……….°

Exemple n°1

« ABC est un triangle tel que aBAC=27° et aBCA=101°.Combien mesure aABC ? »

Choisir la rédaction :

ABC étant un triangle, la somme de ses angles mesure ….°.

(avec les lettres) a……. + a……. +a……. = …….°

(remplace les angles que tu connais par leurs valeurs)

…….° + …….° +a……. = …….°

(un calcul est possible : remplace une des additions par son résultat)

…….° +a……. = ………°

(c’est une addition à trou ! on fait donc une ………. pour trouver le résultat)

a………= ……….° … ……….°

(on calcule)

……… = …….°

OU :

Comme aBAC=27° et aBCA=101°, aABC=…..° ─ ……….

aABC=…..°

(4)

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du cours n°1♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous demander de montrer ce travail)

Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison !) – Penser à changer de page (nouveau chapitre)

Contrôle du savoir faire :

Refaites les exemples du savoir faire ci-dessous, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°1

ABC est un triangle tel que aBAC=34° et aBCA=56°.Combien mesure aABC ?

Choisir la rédaction : (avec les lettres)

a……. + a……. +a……. = …….°

…….° + …….° +a……. = …….°

…….° +a……. = ………°

a………= ……….° … ……….°

……… = …….°

OU :

Comme aBAC^{=34° et}aBCA^=56°,aABC=…..° ─ ……….

aABC=…..° : le triangle ABC est ……….

Exercice n°4

RTG est un triangle tel que aTGR=23°^,GT=4,5 cm ^etaGRT=102°^.

1. Combien vaut aRTG ? A compléter directement ci-dessous : On sait que : dans le triangle RTG, ………..= …..° et ………= ……..°.

Or : Dans un triangle, la ………..

……….

Donc : aTGR⁺^a^{……. +}^a…….. =……..

Donc : aRTG=……….° ─ (………..) Donc : aRTG=………°.

2. Le construire (sur son cahier)

(5)

Exercice n°5 (à montrer obligatoirement au professeur)

Un triangle EFG est tel que aGEF=34° et aEFG=122°. CalculeraFGE, en écrivant la propriété utilisée (rédiger comme dans le cours).

Exercice n°6

GFD est un triangle rectangle en G^{tel que}aGFD=56°^etGF=6cm.

1. Combien mesure aGDF (on justifiera par un calcul et les énoncés des propriétés et définitions utilisées) ?

GFD est un triangle rectangle en G, donc aFGD =…….

GFD étant un triangle,

………

2. Le construire (sur son cahier).

Exercice n°7 – EXERCICE DIAGNOSTIQUE

Cet exercice est UN EXERCICE DIAGNOSTIQUE : - Il faut essayer de le faire UNE FOIS.

- Si tu as UNE erreur ou plus, ou si tu NE SAIS PAS REPONDRE, passe A L’EXERCICE QUI SUIT.

- Si tu as TOUT JUSTE (vérifie-le en regardant les solutions à la fin du document), va DIRECTEMENT à l’exercice n°11

- ATTENTION : tu peux quand même avoir une interrogation sur le cours.

XCV est un triangle tel que XC = 5,4 cm, et CV = 5,4 cm.aXCV = 58°.

1. Quelle est la nature de ce triangle ? ………..

Pourquoi ?

Données de l’énoncé utiles : ……….

Propriété mathématique :……….

………

……….

2. Combien vaut aVXC ? ………

Pourquoi ?

(6)

………

……….

3. Le construire.

Exercice n°8 – INTRODUCTION AU COURS N°2 – INDISPENSABLE POUR COMPLETER LE COURS

AZE est un triangle isocèle en A, tel que AZ=5,8 cm, et aAZE=67°.

1. Faire un dessin à main levée, en ajoutant les données de l’énoncé.

2. Dessiner (toujours à main levée) l’axe de symétrie de ce triangle.

3. Que peut-on dire de aZEA ?

………..

4. Pourquoi :

Données de l’énoncé : ……….

Propriété mathématique :

……….

………

……….

5. Compléter (vocabulaire du triangle isocèle) :

a. le sommet A du triangle isocèle en A s’appelle le « s………

pr……….. »

b. le côté opposé au s……….. pr……… s’appelle la

« b………….. »

SUITE PAGE SUIVANTE

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c. les deux angles qui ont pour côté la b………….. s’appellent les

« a………. à la b……… »

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Cours n°2

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Cours à

compléter

, à

montrer

au professeur :

II) Rappel :propriété des angles dans un triangle isocèle.

Propriété n°2

Dans un triangle isocèle, les angles à la b……… sont é……….

Exemple n°2

ABC est un triangle isocèle en B tel que aBAC=34°.Combien mesure aBCA ? ABC étant un triangle isocèle en B, sa base est ……, et ses angles à la b……… sont ……… et ……

Or, dans un triangle isocèle, les angles à la b……….. sont é………..

Comme aBAC=34° , aBCA=………°.

Exemple n°3

ABC est un triangle isocèle en B tel que aBAC=27°.Combien mesure aCBA ? ABC étant un triangle isocèle en B, sa base est ……, et ses angles à la b……… sont ……… et ……

Or, dans un triangle, la somme des angles mesure ………..°.

Donc, dans ABC, on a aCBA+aBAC+aBCA=……°

D’où : aCBA+27+……=……..°

Donc : aCBA=…….. ─ …… ─ …….

Donc : aCBA=……..

♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥Fin du cours n°2♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥

Apprentissage du cours

Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

Coller l’accordéon, plié, dans votre cahier de cours (attention : le professeur peut vous demander de montrer ce travail)

Recopier le cours dans le cahier de cours (à la maison !) Contrôle du savoir faire :

(8)

Contrôle du savoir faire

Exemple n°2

ABC est un triangle isocèle en B tel que aBAC=34°.Combien mesure aBCA ? ABC étant un triangle isocèle en B, sa base est ……, et ses angles à la b……… sont ……… et ……

Exemple n°3

ABC est un triangle isocèle en B tel que aBAC=27°.Combien mesure aCBA ? ABC étant un triangle isocèle en B, sa base est ……, et ses angles à la b……… sont ……… et ……

Or, dans un triangle, la somme des angles mesure ………..°.

Donc, dans ABC, on a aCBA+aBAC+aBCA=……°

D’où : aCBA+27+……=……..°

Donc : aCBA=…….. ─ …… ─ …….

Donc : aCBA=……..

Exercice n°9

OLK est un triangle isocèle en K, tel que aKOL=67°^etKL=6,1cm^. 1. Combien mesure aLKO ? …………..

………

……….

Le construire ci-dessous.

(9)

Exercice n°10

PLJ est un triangle isocèle en P, tel que aLPJ=67° ^etLP=5cm^.

1. Combien mesure aPLJ (justifier comme dans les exercices précédents) ? ………

………

……….

2. Le construire ci-dessous.

Exercice n°11 - En plusieurs fois –Source : Sésamath

Calcule, en justifiant, la mesure de l'angle aABC

sachant que les points A, D et B sont alignés.

Exercice n°12 - Calculs, démonstration, construction – Source : Sésamath

1. Sur la figure ci dessus, réalisée à main levée, les points E, D et F sont alignés. En utilisant les indications portées sur la figure, calcule les mesures des angles aECD, aEDC, aCDFet aDCF.

2. Que peut-on dire du triangle CDF ? Justifie.

3. Construis la figure lorsque CD = 5 cm.

A 85°

35°

C

D B

C

E F

36°

D

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Exercice n°13 - vrai ou faux ? – Source : Sésamath

En observant la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur, Aline affirme que les points D, E et A sont alignés.

Qu'en penses-tu (justifie évidemment ta réponse) ?

Exercice n°14 - Calcul sans justification – Source Sésamath

À partir des données de la figure, calcule (sans justifier) la mesure de l'angle aOEF.

A C

D E

65,42° 30,2°

54,38°

B

40°

B

A

C

D

E O

F 63°

54° 48°

43°

?

(11)

Résultats

Ex.1 : 47° Ex.2 : 1,2,3 et 4.

5a.B 5b. C’ 5c. A 5d. aB…A 5e.aACB = aB…A – le symétrique d’un angle est un angle de m………

m………. 6. aCBA=a……C 7. 180° 8. Non 9.180° 10. Ex.3 : 53° 1. Parallélogramme. 5. Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. De plus, A appartient aux deux droites. Donc elles sont confondues. Ex.4 : 1. 55°

Ex.5 : 24° Ex.6 : 1.34° Ex.7 : 1. Isocèle.2.61° 3.

Ex.8 : 1. et 2. 3. 67° 4. Le symétrique d’un angle…. 5. Dans le désordre : « angles à la base »,

« sommet principal », « base »

G

T R

G

F D

C

X

V

A

C B

J I

C’

B’

A Z

E 5,8 67°

cm

(12)

Ex.9 : Ex.10 : Ex.11 : 25°

Ex.12 : aECD=36° ; aEDC=108° ;aCDF=72° ; aDCF=72° 2. Isocèle en F. 3.

Ex.13 : Oui Ex.14 : 32°

K

L P

L

D

C

E F