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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

Manya, N. (1979). Modèles d'attente à interarrivées et durées de service dépendant de l'état du système (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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L'introduction d'un système bonus-malus en assurance automobile incite les assurés à prendre eux- mèmes en charge les frais résultant de petits sinistres.

Un algorithme de Jean LEMAIRE, apparenté â la program­

mation dynamique, permet de déterminer la politique opti­

male de l'assuré en avenir aléatoire à horizon infini.

Il est possible d'adapter cet algorithme, par analyse rétrospective, sur un horizon fini en supposant qu'avec certitude l'assuré quitte le portefeuille après N périodes ou bien en introduisant une probabilité de quitter la compa­

gnie après chaque année.

Ndjadi MANYA

RESUME

Dans les problèmes pratiques où interviennent les phénomènes d'attente entrent en jeu certains facteurs (tels le facteur humain ou celui de la recherche d'une politique optimale) qui font que les modèles d'attente

"statiques" ne constituent plus une abstraction adéquate de la réalité.

Aussi essaie-t-on de se rapprocher le plus de celle-ci en considérant des modèles d'attente dont les paramètres dépendent de l'état du système.

Nous avons divisé le travail en deux parties.

Dans la première partie, nous étudions les grandeurs caractéristiques (en R.P.), les probabilités d'état et le processus des périodes d'occupa­

tion (en R.T.) de quatre modèles d'attente du type processus de vie et de mort, et que nous représentons, en général, par la notation M /M^/1.

Cette notation rappelle que les paramètres taux d'arrivées Xjj

et taux de service varient avec le nombre n de clients présents dans le système. Mais le processus (X(t), t>0},qui donne l'état du système- nombre de clients- à tout instant reste markovien.

Dans la deuxième partie, nous considérons, en R.P., un centre de stockage (Centre—I) à inventaire continu (s. S) où les demandes arrivent en proces­

sus de Poisson (X) et l'approvisionnement se fait par un Centre-II. Ce dernier se comporte en modèle d'attente du type X/G(n)/1 où les arrivées dépendent de la politique de gestion au Centre-I et la durée de service de chaque client suit une distribution générale qui est fonction de l’é­

tat n du système au début de ce service. Nous étudions, pour le Centre-II, la distribution de probabilité d'état et le processus de livraison. Après avoir déterminé l'expression de la fonction économique pour le Centre-I, nous démontrons, sous certaines hypothèses, une méthode pour le calcul de la valeur optimale Sndu niveau maximum du stock potentiel, étant donné le comportement du Centre-II.

BIBLIOTHEQUE DE MATHEMATIQUES ET DE PHYSIQUE

P

M 3^7

Cor^.1

MODELES D’ATTENTE A INTERARRIVEES ET DUREES DE SERVICE DEPENDANT DE L’ETAT DU SYSTEME

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences

( Grade légal )

Année académique 1978 - 1979 Ndjadi MANYA

Nous remevaions sincèrement Monsieur le Professeur Jean TEGHEM de nous avoir proposé ce sujet de recherche et de nous' avoir constamment guidé et encouragé.

Qu'il trouve également ici l'expression de notre profonde gra­

titude pour son amabilité et sa disponibilité à toutes les occasions où nous sollicitions ses conseils.

Nous lui sommes très reconnaissant pour notre formation^ depuis le mémoire de Licence.

Ce travail doit aussi beaucoup à Monsieur R. DEBRY, Chef de Travaux^ pour l'aide précieuse qu'il nous a apportée à main­

tes reprises.

\

Nous voudrions remercier aussi tous ceux qui^ lors des séminaires y nous ont fait des remarques constructives pour amé­

liorer ce travail.

Nous sommes également redevable à Monsieur le Chargé de Cours Jean LEMAIRE, avec qui nous avons travaillé comme Assis­

tant à l'U.NA.ZA (297S-1974), qui a proposé et soutenu notre candidature à une bourse de doctorat de l'A.G.C.D.

Enfin, nous exprimons notre reconnaissance à l'Administra­

tion Générale de la Coopération au Développement (A.G.C.D.) pour le soutien matériel qu'il nous accorde et qui nous a permis de réaliser ce travail.

«165845

TABLE DES MATIERES : INTRODUCTION GENERALE PREMIERE PARTIE :

Pages V

ETUDE DES MODELES D'ATTENTE DU TYPE M /M/l, M/M /I ou

n n

M /M /1 . n n

INTRODUCTION

CHAPITRE I : ETUDE EN REGIME PERMANENT DES GRANDEURS :

I.l - Probabilités d'état du système en R.P.

I.l.l - Les Probabilités d'état du système à un instant quelconque en R.P. : les p

n 1.1.2 - Probabilités d'état du système à certains

instants particuliers, en régime permanent 7

Définitions

Calcul des p^ (n e IN) Calcul des tt (ne IN)

n

1.2 - Interarrivée effective et Durée effective de

service 1 0

1.2.1 - Définitions et rappel des résultats de CONOLLY 10

1.2.2 - Etude des v.a. T , 9 , T et 6 dans le n n

cadre particulier des modèles A, B, C

et D. 1 2

1.3 - Temps d'attente dans le système 21

1.4 - Période d'occupation 27

1.5 - Intervalle de temps entre deux sorties succes­

sives 30

CHAPITRE II : CALCUL DES PROBABILITES D'ETAT EN REGIME

TRANSITOIRE (R.T.). 33

11.1 - INTRODUCTION

11.2 - Calcul des probabilités pour le modèle A 34

11.3 - Calcul des probabilités pour le modèle B 37

11.4 - Calcul des probabilités P.^(t) pour le modèle C 41

11.4.1 - Calcul des transformées de Laplace

P (z) des probabilités P. (t) 42

in ^ in

11.4.2 - Inversion de P. (z) et Calcul de la lO

valeur approchée de P^^(t) 48

II.4.2a Inversion de P^(z) et valeur approchée de PjQ(t) d'après les travaux de NATVIG avec nos justifications et développements

de calculs 50

II.4.2b Inversion de P'?^ (z), (i c K), et Calcul

lO ^ ’

de la valeur approchée P. (t) de P. (t) 59

lO lO

11.5 - Calcul des probabilités pour le modèle D. 69

11.5.1 - Résolution de l'équation homogène et

calcul de P, (t) en fonction de P. (t) 71

in lo

11.5.2 - Calcul de P. (t) 75

lO

CHAPITRE III : PERIODES D'OCCUPATION EN R.T. DES MODELES

A. B. C ET D 78

111.1 - INTRODUCTION 78

111.2 - Etude générale du problème des périodes d'oc­

cupation Tj^ dans les modèles A, B, C et D

II.

79

111.2.1 - Définitions et Calculs préliminaires 80

111.2.2 - Equations fonctionnelles régissant tout le processus des périodes d'oc­

cupation dans les modèles A, B, C et D 84

III.3 - Calcul de r^(l, z) dans le cas du modèle B 87

DEUXIEME PARTIE :

MODELES DE STOCKS A INVENTAIRE CONTINU (s. S) AVEC UN

CENTRE DE LIVRAISON A DUREE DE SERVICE DEPENDANT DE L'ETAT

DU SYSTEME 100

INTRODUCTION 100

CHAPITRE I : MODELE DE STOCKS (S-k. S) AVEC UN CENTRE DE

LIVRAISON DU TYPE X/G(n)/1. 1 0 2

1.1 - Hypothèses et Description du modèle. 102

1.2 - Expression de la fonction économique F(S) 104

1° Moyenne du stock disponible 105 2° Moyenne du nombre de demandes en attente

(ventes différées) 106

3° Moyenne du nombre de demandes reportées par

unité de temps 106

1.3 - Calcul des probabilités d'état du stock potentiel

en R.P. 107

1.4 - Processus d'arrivées au CENTRE-II 110

1.5 - Méthode de calcul des probabilités d'état du

système au CENTRE-II. 112

IV.

1.5.1 - La Chaîne de Markov Incluse (CMI),

{Y.} . 113

J

1.5.2 - Processus semi-markovien (PSM) {Y(t)}

et calcul de la distribution station­

naire processus général X(t). 118

CHAPITRE II : QUELQUES CAS PARTICULIERS DU MODELE GENERAL

DU CHAPITRE I. 122

11.1 - Rappel sur les travaux de Cross et Harris :

Modèle I. 122

11.2 - Modèle II : (S-k,S) avec demandes individuelles 123

11.2.1 - Calcul des probabilités V^(t). 125

11.2.2 - Calcul des probabilités relatives à la

CMI {Y.} . 127

J

11.2.3 - Calcul de la distribution stationnaire

{p^} de {X(t)} . 130

11.2.4 - Une méthode de calcul d'une valeur op­

timale S pour le niveau maximum du

stock potentiel. 131

11.3 - MODELE III : (S-2, S) avec demandes par groupes

d'effectif 1 ou 2. 133

11.3.1 - Notions préliminaires 134

11.3.2 - Calcul des Probabilités Y-* 136 1

II.3.3. - Calcul des Probabilités V (t) = IP r

[r arrivées en un temps t au CENTRE-Il]. 137

11.4 - Processus de livraison pour chaque modèle. 142

BIBLIOGRAPHIE 1 48

INTRODUCTION GENERALE

Les modèles mathématiques qui traitent des problèmes de files d'attente peuvent être répartis en deux groupes.

- Le premier groupe comprend des modèles dits "statiques" : ceux pour lesquels les taux d'arrivées et de service restent constants tout au long de l'horizon considéré. Ce sont ces modèles qui sont le plus souvent étudiés. Les ouvrages ré­

cents de GROSS et HARRIS [l 7] et de CONOLLY [6] en donnent une longue bibliographie.

- Le second groupe comprend des modèles dits "dynamiques" : ceux pour lesquels l'un ou l'autre des paramètres (taux d'ar­

rivées et taux de service) sont variables avec l'état du système ou sont sous contrôle. Les modèles qui font l'objet de notre étude se classent dans ce deuxième groupe.

Dans les problèmes pratiques où interviennent les phéno­

mènes d'attente entrent en jeu certains facteurs (tels le fac­

teur humain ou celui de la recherche d'une politique optimale) qui font que les modèles d'attente "statiques" ne constituent plus une abstraction adéquate de la réalité. Aussi essaie-t-on de se rapprocher le plus de celle-ci en considérant des modèles d'attente dont les paramètres dépendent de l'état du système.

Comme on peut s'y attendre, les difficultés dans le calcul des grandeurs caractéristiques des modèles d'attente à paramètres variables sont bien plus grandes que dans le cas des modèles d'attente statiques. Seuls des problèmes "simples" peuvent être envisagés avec l'espoir d'arriver à des solutions analytiques.

Nous avons divisé le travail en deux parties.

PREMIERE PARTIE

Dans la première partie nous considérons des modèles d'at­

tente du type processus de vie et de mort, et que nous représen­

tons, en général, par la notation M^/M^/1. Cette notation rap­

pelle que les paramètres taux d'arrivées et taux de service varient avec le nombre n de clients présents dans le système.

Les interarrivées et durées de service sont composées, chacune, d'une somme d'un nombre aléatoire de variables exponentielles né­

gatives à paramètres différents.

C'est une généralisation dynamique directe du modèle statique M/M/1, en ce sens que le processus {X(t), t>0} qui donne l'état du système - nombre de clients - à tout instant reste markovien.

Et pour nous assurer de l'ergodicité de ce processus, nous choi­

sissons quatre modèles particuliers de M^/M^/1 :

Modèle A (A = A , y = ny ) ; --- n n

Modèle B (A = (n+l)A, y = ny ) ; --- n n

Modèle C (A = A/(n+l), y = y, n^l) ; --- n n

Modèle D (A = A/(n+l), y = ny).

--- n n

Ce classement alphabétique suit l'ordre croissant des difficultés dans le calcul des probabilités d'état en régime transitoire.

- Le Modèle A illustre la notion de service efficace, proportion­

nel au nombre de demandes. Il concrétise les performances d'un modèles idéal à infinité de guichets, exemple modèle M/M/<» .

- Le Modèle B rappelle un centre de service où un afflux de de­

mandes provoque une réaction compensatoire du serveur. Comme nous le verrons plus tard, c'est surtout dans ce modèle que s'exprime cette généralisation dynamique du modèle statique M/M/1.

- Le Modèle C illustre l'effet décourageant qu'exerce souvent l'état du système - nombre de clients - sur les clients po­

tentiels. On suppose que ces derniers peuvent constater l'état du système d'attente avant de se décider d'y entrer.

VI.

- Le Modèle D est une combinaison logique des modèles A et C.

Il réalise un compromis entre ces deux situations extrêmes.

Nous ne sommes pas les seuls à nous intéresser à ces quatre modèles. D'autres s'y sont intéressés avant nous ou encore

assez récemment. Nous mentionnons ceux dont les travaux nous serviront de base : NATVIG [30, 3l], HADIDI [l8 à 2l], CONOLLY

[4, 5j et CHAN et CONOLLY [?]. Nous ne manquerons pas d'en rap­

peler l'essentiel, dans le souci de mettre en évidence notre contribution.

Cette première partie du travail comprend trois chapitres.

- Chapitre I : Grandeurs caractéristiques en R.P. -

Chan et Conolly [?] ont établi récemment des relations de récurrence pour calculer la plupart des grandeurs caractéristi­

ques, en régime permanent (R.P.), des modèles M /M /l. Mais n n

dans la majorité des cas, ces relations sont très peu maniables en pratique ; même pour des modèles aussi simple que ceux consi­

dérés ici .

- Au § I.l nous calculons, par la méthode des fonctions généra­

trices, les probabilités d'état du système en R.P. de chaque modèle : les p^. Ensuite nous établissons les relations qui existent d'une part entre p^ et la probabilité qu'en R.P. une arrivée trouve le système dans l'état n et d'autre part entre p^ et la probabilité qu'en R.P. le système soit dans l'état n immédiatement après un départ.

- Au § 1.2 nous étudions, à l'aide des relations de récurrence de Conolly et Chan, les variables aléatoires : Interarrivée

"effective" (t) et Durée "effective" d'un service (9). Nous obtenons la fonction de répartition de T pour le Modèle C, la densité de probabilité de T pour le Modèle B et la densité de probabilité de 0 pour le Modèle A. Ce dernier résultat est en accord avec celui trouvé par Hadidi [iS] à l'aide d'un pro­

cédé différent. Les résultats analogues pour le Modèle D po­

sent quelques problèmes. Nous nous limitons au calcul delE(T) et 1E(6) que nous exprimons en termes des fonctions de Bessel.

VIII.

- Au § 1.3 nous considérons la v.a. Temps d'attente dans le sys­

tème. Nous résolvons en détail le cas du Modèle C, qui ne présente pas de difficultés majeures. Ensuite nous rappelons les résultats de Hadidi dans le cas du Modèle A.

En ce qui concerne les Modèles B et D, nous nous référons aux relations de récurrence de Conolly et Chan en déterminant tout d'abord une fonction inconnue qu'elles contiennent. Grâce à ces relations de récurrence, nous calculons la moyenne du temps d'attente dans les Modèles B et D.

- Au § 1.4 nous démontrons, pour les quatre modèles, deux rela­

tions qui permettent de calculer sur machine les moments

jusqu'à l'ordre 2 de la v.a. : temps nécessaire, partant de l'état n (n>l), pour atteindre l'état n-1 pour la première fois. En faisant n=l, on retrouve la longueur de la période d'occupation du système d'attente.

- Nous clôturons ce chapitre I en démontrant un théorème, vala­

ble pour tous les modèles M^/M^/1 pour lesquels le R.P. existe, qui affirme que 1'Interarrivée effective et l'Intervalle de temps qui sépare deux départs successifs sont statistiquement identiques.

- Chapitre II : Probabilités d'état en R.T. -

Nous considérons le comportement du système à temps fini.

En désignant par X(t) le nombre de clients dans le système à l'instant t, nous nous proposons de calculer les probabilités

P^^(t) Hip[x(t) = n|x(0) = i] , cela pour

chacun des quatre modèles. Nous nous plaçons dans un cadre plus général ou l'état initial du système n'est pas nécessairement nul. Rappelons à cet effet que dans la vie courante, les centres de service pour lesquels à l'ouverture des guichets le système est vide sont rares.

La description de l'état du système en régime transitoire (R.T.) est aussi importante que celle correspondante en régime permanent.

Elle l'est d'autant plus quand on sait que le régime permanent n'est jamais atteint qu'après un temps infini ou par approxima­

tion, après un temps suffisamment grand. Mais l'étude en régime transitoire se complique par le fait que le système dépend encore de son état initial et du temps. Nous essayons, par l'utilisation des fonctions génératrices et des transformées de Laplace, de cal­

culer les expressions analytiques des probabilités ter­

mes des paramètres et du temps.

- Au § II.1 nous rappelons les conditions suffisantes d'unicité et de non-explosion de la distribution établies par Ledermann et Reuter [2?] . Les paramètres de chaque modèle satisfont à toutes ces conditions.

- Au § II.2 nous calculons directement par la méthode du bilan et l'utilisation de la fonction génératrice

G(s, t) = Z s"" P. (t), (|s|^l), n^o

les pour le Modèle A. Les résultats que nous obtenons sont en accord avec ceux qu'on peut déduire du modèle M/M/°°, grâce à l'analogie qui existe entre les deux modèles. Il va de soi que les probabilités P^^^Cb) n'ont pas la même significa­

tion pour les deux modèles. La constatation suivante mérite d'être not ée :

Lorsque initialement le système contient i clients (ij^O), le nombre de clients X(t) dans ce Modèle A est donné par la somme de deux v.a. indépendantes dont l'une est

binomiale B(i;p = e et l'autre est po i s s onn i enne

(Xq/y, q=l-p) ; tandis que pour i=0, hypothèse classique, l'état du système est régi simplement par un processus de Poisson (Xq/y).

- Au § II.3 nous calculons les P. (t) dans le cas du Modèle B, in

en recourant aux mêmes procédés que ci-dessus : bilan de pro­

babilité et utilisation de la fonction génératrice G(s, t).

X.

Les calculs sont plus longs que pour le Modèle A. Après avoir établi un lemme valable pour tout couple d'entiers positifs, nous montrons, grâce à cette propriété, que l'expression de P. (t) converge vers la probabilité stationnaire

A X X

p^ = (—) (1 ~ ^) » lorsque t-»-°° et 0<—< 1 . Plus précisément, nous montrons qu'en régime permanent, et en R.P. seulement, l'état du système dans les modèles B et M/M/1 obéit à une même loi de probabilité.

- Le paragraphe II.4 est consacré aux du Modèle C. Il constitue la partie la plus importante du Chapitre II.

Natvig [30], en 1973, est le premier, à notre connaissance, à avoir considéré ce problème de probabilités d'état en R.T. du Modèle C. Mais découragé par la complexité des calculs, il s'est arrêté aux résultats suivants :

expression de la transformée de Laplace P^^(z) de la probabi­

lité P^^ ( t) ;

- inversion de P|*q(z) et approximation de P,^(t), pour les 1 0

petites valeurs du rapport —, et qui converge vers la proba­

bilité stationnaire p pour .

En reprenant le problème depuis le début, nous retrouvons d'abord les résultats de Natvig. Nous poursuivons ensuite le travail et obtenons les nouveaux résultats que voici :

les transformées de Laplace PT (z) de toutes les probabilités

démonstration d'un théorème qui affirme que pour ^^ toutes les singularités de P^^(z), (Vi$.0), sont contenues dans un cercle centré en z=-y et de rayon R<y ; de plus z=0 est un point singulier isolé ;

- inversion de P"î^ (z), (Vi>0) et valeur approchée de P. (t),

^ J 10 10

pour “^"2» 9^^ converge vers p^ lorsque t->°°.

Faisons remarquer que la fonction génératrice utilisée pour ce

modèle est la suivante :

- Nous terminons ce chapitre II en considérant au § II.5 le cas du Modèle D. A l'aide de la fonction génératrice H(s, t) dé­

finie ci-dessus, nous déduisons des équations de Kolmogorov toutes les probabilités P. (t) en termes des dérivées de P. (t)

in 10

cette dernière probabilité restant indéterminée. Nous calculons ensuite la transformée de Laplace P^ (z) de P . (t). Mais la

lO lO

dimension de l'expression de est décourageante et ne se prête pas au calcul de la transformation inverse.

- Chapitre III ; Processus des périodes d'occupation -

Le processus des périodes d'occupation est une notion plus générale que celle considérée au § 1.4 du Chapitre I. Il s'agit d'un problème à temps réel et concernant deux variables aléatoi­

- la longueur d'un intervalle de temps T , (V entier k>l), qui iv

commence à tout instant où le système se trouve dans l'état k et finit à l'instant où le système devient vide pour la pre­

mière fois ;

Nous considérons en particulier la première de ces deux v.a., à savoir . C'est-à-dire que, en notant par

(t)dt = n>[t<T^<t + dt, N(Tj^) = r], (r>k) et par

mais pour les Modèles A et C uniquement.

Hadidi commence par établir une équation fonctionnelle à laquelle res

le nombre N(T ) de clients servis durant T .

K K

Fj^(x, t), (|x|.$l), la fonction génératrice des nous intéressons à l'expression de F (1, t). C'est la densité de

iC

probabilité de la période d'occupation T , (k^l).

iC

nous nous

Hadidi

XII.

satisfont les transformées de Laplace F (x, z), et qui est vala- ble pour les deux Modèles A et C simultanément ; cela grâce à une propriété de "symétrie" qui caractérise les coefficients des

( Z ) = L{ ( t ) } dans les deux Modèles, (et aussi dans le Modèle D). Ensuite, à l'aide d'une nouvelle fonction génératrice

L(l, y, z) = E y F^ (1, z), il calcule l'expression de k>l ^

F* (1, z), (k^l), en fonction de F^ (1, z) pour chacun des Modè­

les A et C. Un argument apparenté à la théorie du renouvellement lui permet, enfin, d'exprimer F^ (1, z) en fonction de P^q(z).

Nous reprenons ce problème dès le début. Nous généralisons la méthode de Hadidi, afin qu'elle s'applique à d'autres modèles de M^/M^/1. Cela fait l'objet des paragraphes III.1 et III.2.

Le Modèle B présente par rapport aux trois autres Modèles (A, C et D), une particularité, qui en nécessite une étude séparée et plus poussée. C'est ce que nous faisons au § III.3.

Nous calculons l'expression de F'I^ (1, z), (k>l), en termes de F^ (1, z). Afin de déterminer cette fonction inconnue, nous démontrons un théorème qui lie F* (1, z) et (z), valable pour tous les modèles M^/M^/1 pour lesquels le pro­

cessus {X(t), t^O} est ergodique. Nous généralisons à cet effet le résultat établi par Natvig [31], (en 1973), dans le cas du Modèle C.

Nous déduisons la moyenne de T, de l'expression de F* (1, z).

is zC

Nous montrons, par le biais d'un lemme, que cette moyenne est en accord avec un résultat analogue qu'on peut déduire d'un théorème de S. Karlin [25] sur le temps moyen jusqu'à l'absorption dans un processus de vie et de mort quand l'état 0 est absorbant.

Enfin, nous terminons ce Chapitre III, qui clotûre la première partie du travail, en précisant les difficultés qui subsistent dans le cas du Modèle D.

DEUXIEME PARTIE

Dans la deuxième partie nous nous intéressons à des modèles dans lesquels l'état du système intervient d'une autre manière dans les distributions de probabilité des interarrivées et des durées de service. Plus exactement, le problème que nous traitons dans cette partie peut s'exprimer comme suit.

Nous considérons des modèles de stocks à inventaire continu (s. S) avec s = S-k, où k est un entier donné (k>l) et S est un entier positif qui désigne le niveau maximum du stock potentiel (stock disponible augmenté de la quantité en commande et diminué du nom­

bre de ventes différées).

Le problème qui se pose au gestionnaire consiste à déterminer une valeur optimale S qui minimise la fonction de coûts r(S) au centre de stockage (CENTRE-I), étant donné que

- les demandes arrivent, en processus de Poisson (A), par groupes d'effectif aléatoire C ;

- aucune vente ne peut être perdue ;

- l'approvisionnement se fait par un centre de livraison

(CENTRE-II) qui se comporte en modèle d'attente où les durées de service dépendent du nombre de clients (ou unités) présents dans le centre au moment où un service commence ;

- les interarrivées des clients et l'effectif de chaque groupe d'arrivées au CENTRE-II dépendent de la politique de gestion

(S-k, S) qui est pratiquée, par le même gestionnaire, au CENTRE-I.

Nous étudions le problème en comportement asymptotique en préci­

sant les conditions d'existence du régime permanent au CENTRE-II.

Le R.P. existe sûrement au CENTRE-I, car il n'y a qu'un nombre fini d'états admissibles pour le stock potentiel après commande 1anc é e.

XIV.

L'expression de la fonction économique r(S), après calcul, est telle qu'avant de songer au calcul de S, le gestionnaire a besoin de connaître au préalable la distribution de probabilité de

l'état du CENTRE-II en comportement asymptotique. Aussi notre étude se rapportera-t-elle principalement au centre de livraison

(CENTRE-II).

Un cas particulier du problème que nous venons de décrire a été traité, en 1971, par Gross, Harris et Lechner, [lA, 1s] et repris, en 1972, par les deux premiers, [l6j. Ils ont étudié le cas où k=l, donc un seul niveau admissible pour le stock poten­

tiel avec la probabilité 1. Dans ce cas, la loi des commandes est identique à celle des demandes. C'est-à-dire que les inter­

arrivées des clients et l'effectif de chaque groupe d'arrivées au CENTRE-II sont distribuées de la même manière que les grandeurs correspondantes du CENTRE-I.

Cette deuxième partie du travail comprend deux chapitres.

- Chapitre I : Modèle de stocks (S-k, S) avec un centre de li­

vraison du type X/G(n)/1 -

La notation X/G(n)/1 représente un système d'attente où la loi des interarrivées est à déterminer, la durée de service de chaque client suit une distribution générale et dépend du nombre de clients présents au début de ce service, il y a un seul ser­

veur .

- Au § I.l nous décrivons le modèle en indiquant toutes les hypo­

thèses indispensables.

- Au § 1.2 nous déterminons l'expression de la fonction économi­

que r(S), dans laquelle figurent la distribution de probabilité des états admissibles du stock potentiel après commande lancée et la distribution de probabilité du nombre de clients au

CENTRE-II.

- Au § 1.3 nous calculons les probabilités d'état du stock poten­

tiel après commande lancée : les (p(S-k+l) , £ = 1 , ...k.

- Le paragraphe 1.4 concerne le processus d'arrivées au CENTRE-II Nous démontrons deux lemmes en rapport avec l'effectif Q de chaque commande sous la politique de gestion (S-k, S).

Sachant que les interarrivées des commandes (au CENTRE-II) sont indépendanteset équidistribuées par hypothèses, nous calculons leur fonction de répartition commune et la moyenne.

- Le dernier paragraphe de ce chapitre, (§ 1.5), est consacré à la méthode de calcul des probabilités d'état du système au CENTRE-II, les p^, en supposant que les conditions d'existence du R.P. sont satisfaites.

Le processus {X(t), t>0}, qui donne l'état du système au

CENTRE-II, n'étant pas markovien pour des raisons que nous don­

nons dans le texte, il n'est pas possible de calculer la distri bution méthode du bilan, comme c'était le cas dans

la première Partie du travail.

Nous devons procéder autrement.

La méthode que nous utilisons est basée sur deux résultats

de A. J. Fabens [ll]. Elle procède par trois étapes conduisant successivement au calcul des distributions stationnaires

est le nombre de transitions de la CMI dans [o, t) ;

- et enfin du processus général lui-même.

En ce qui concerne la distribution de probabilité de la CMI il faut au préalable connaître la distribution de probabilité

d'une chaîne de Markov incluse (CMI) Y^ à transitions aux instants de fins de service et aux instants de repri­

se de service après une période d'inactivité ;

d'un processus s emi-markovien (PSM) Y(t) = où N(t)

de l'effectif Q de chaque commande et la probabilité-clé V (t) SIpTr unités soient commandées en un temps

XVI .

Le problème du calcul des et des ( t ) , (i, r € IN), n'est pas entièrement résolu lorsque k est un naturel quelconque et la v.a. C, qui désigne l'effectif de chaque groupe de demandes au CENTRES-I, peut prendre n'importe quelle valeur dans IN avec une probabilité non nulle.

En supposant - comme hypothèse de travail - que nous connaissons les valeurs des probabilités et V^(t) Vi, r € IN, nous décri­

vons la méthode du calcul des probabilités d'état p^, (n^O).

Nous rappelons au passage les conditions de Th. B. Crabill, [s] , qui doivent être satisfaites dans ce cas, pour s'assurer de l'exis­

tence du régime permanent.

- Chapitre II : Quelques cas particuliers du modèle général ci- dessus -

Etant donné les difficultés du type signalé plus haut, nous particularisons le modèle général tout en essayant de rester au- dessus du cas envisagé par Harris et ses collègues.

En bref, nous illustrons la méthode décrite au Chapitre I en considérant deux modèles particuliers : Modèle II et Modèle III,

(nous réservons la dénomination de "Modèle I" à celui de Gross et Harris [is]). Nous y ajouterons en outre l'étude d'une gran­

deur qui n'intervient pas directement dans la fonction économi­

que r(S), mais dont l'intérêt pour le gestionnaire n'est pas né­

gligeable : il s'agit de l'Intervalle de temps qui sépare deux livraisons successives.

- Au § II.1 nous rappelons brièvement la structure du modèle de Gross et Harris, "Modèle I", dans le souci de mettre en évidence les caractéristiques de nos propres modèles.

- Nous étudions au § II.2 le Modèle II ; (S-k, S) avec demandes individuelles. Grâce à cette hypothèse de demandes indivi­

duelles, nous savons calculer toutes les probabi

1

1

y-

et V (t). Ensuite nous démontrons qu'effectivement la CMI Y.

^ . J

est ergodique ; d'où le PSM Y(t) l'est aussi. Après le calcul des probabilités d'état p^, (n^O), nous indiquons une méthode pour le calcul numérique de S qui minimise la fonction de coûts

r(s).

Nous considérons au § 11,3 le Modèle III : (S-2, S) avec

demandes par groupes d'effectif 1 ou 2. Nous illustrons, par ce modèle, le rôle déterminant que jouent le nombre k, l'ordre d'arrivées des groupes de demandes et les effectifs de ceux- ci dans le calcul des probabilités-clés y. et V (t) ; (avec ici, k=2 et C=1 ou 2).

Par le dénombrement complet de toutes les éventualités donnant lieu au lancement d'une commande et les lemmes du § 1.4

(Ch. I), nous déduisons les •

Nous calculons les V^(t) grâce à un théorème que nous établis­

sons à cet effet. Signalons que l'expression de V^(t), (r^2), est difficilement utilisable. Sinon le calcul des probabilités d'état peut dès lors se faire en suivant le schéma décrit au

§ 1.5 du Chapitre I. Nous ne le faisons pas.

Enfin, nous terminons ce travail en considérant au § II.4 la v.a. U, qui représente la longueur d'un intervalle de temps entre deux départs successifs du CENTRE-II. Nous calculons, par le même procédé qu'au § 1.5 de la première Partie, l'expres sion de la densité de probabilité de U en termes des transfor­

mées de Laplace ; cela pour chacun des trois Modèles (I, II et III). Nous en déduisons la moyenne de U dans chaque cas. Il faut ajouter à cet effet que pour les Modèles II et III, le gestionnaire doit noter les instants où il lance une commande.

La justification se trouve dans le texte.

PREMIERE PARTIE :

1 .

ETUDE DES MODELES D'ATTENTE DU TYPE M /M/1, M/M /I ou M /M /1.

_______ __ n n n n

INTRODUCTION

Nous utilisons la notation M^/M^/1 pour représenter tout modèle d'attente correspondant à un processus de vie et de mort.

C'est une généralisation du modèle classique M/M/1 ; en ce sens que les taux instantanés d'arrivées et de services, notés respective­

ment et dépendent constamment de l'état du système, mais sont indépendants du temps.

Nous entendrons par "système" le nombre de clients en file plus le client qui se fait servir. Et nous dirons que le système est dans l'état n lorsque ce nombre est égal an, (ne IN). Nous réduirons la notation précédente à M^/M/1 lorsque seul dépend de l'état du système et à M/M /I dans le cas où seul u dépend de l'état du

n n

sys tème.

Nous nous proposons de calculer quelques grandeurs caractéris­

tiques, en régime permanent (R.P.) et en régime transitoire (R.T.), des modèles particuliers que voici ;

- Modèle A (A

- Modè1e B (A

- Modèle C (A

- Modèle D (A n

n

n

n

A , y^ = ny, Vn e IN) ;

(n + 1) A, y^ = ny , Vn e IN) ;

—Vn e IN et y = { °

n + 1 ’ n ' y, n

O, n =

>

y J > y^ = ny , Vn e IN) .

Les constantes de proportionnalité A et y sont supposées strie tement positives et telles que A < y. Cette dernière hypothèse est surtout indispensable pour le modèle B (afin de satisfaire aux con­

ditions d'existence d'un R.P.)*

Nous avons classé ces modèles par ordre croissant des difficultés rencontrées lors du calcul des probabilités d'état du système en R.T.

Nous supposons aussi que le centre d'attente est à capacité infinie ; les clients y sont servis individuellement par un seul serveur suivant la discipline FIFO (premier arrivé premier servi) lorsqu'un client joint le système, il ne quitte celui-ci qu'après être servi.

3.

CHAPITRE I

ETUDE EN REGIME PERMANENT DES GRANDEURS :

- Probabilités d'état - Interarrivées effectives et durées effectives de service

- Temps d'attente - Période d'occupation

- Intervalle de temps entre deux sorties successives.

I.l - Probabilités d'état du système en R.P.

Soit X(t) le nombre de clients dans le système à l'instant t e IR^ .

Le processus {X(t), t e IR^}, pour chacun des modèles considérés, est ergodique ; ceci en vertu d'un théorème de S. KARLIN et

J. Mc GREGOR, [24] :

"Un processus de vie et de mort est ergodique s si Z

n > 1

e t Z n

AO

< ⁰⁰

y 1 y, ... y„

I 2__________n X X, ...X

O 1 n

Nous avons fait un choix adéquat des paramètres X^ et y^ pour chaque modè 1 e .

En effet, un calcul élémentaire montre que les paramètres X^ et y^, de chaque modèle, satisfont aux deux conditions ci-dessus.

L'hypothèse supplémentaire X < y est nécessaire dans le cas du modè­

le B afin que la première condition soit satisfaite.

I.l.l - Les Probabilités d'état du système à un instant quelconque en R.P. : les p .

n

Posons par définition,

?in (t) = IP [X(t) = n I X(o) = i] ,

Le processus {X(t), t € E^} étant ergodique, il en résulte que la suite {p^» n e lN}est indépendante de l'état initial et constitue la distribution stationnaire de l'état du système.

Les équations de Kolmogorov relatives à tout processus de vie et de mort sont connues :

d t - (À^+y^)P. (t) + y P (t) + ,P (t) n n in n+1 . ,, n-1 . , in+1 in-1

dP (t)

---^ »

CI : P. (0)

1 n 6 . .

ni

(

.

)

En considérant qu'en R.P. les deviennent indépendants de i et du temps, on obtient un système infini d'équations algébriques qui relient les probabilités stationnaires p , (n e IN) :

0 = - (X^+P„)P^ . + x„.| p^_, ,

° P» l'i P| • (1.3)

En procédant par récurrence, [l7] , on tire de ces équations les p^ (n>.l) en fonction de p^ : puis, grâce à la condition de normalisation (Z p =1), on obtient p en termes des paramètres

n>o

X et y . Voici les résultats qu'on trouve :

n n ^

Pq II --- , (n>l) ; i = l ^ i

n X . .

, 2 „ -izl]

n>l i = l ^i -1

(1.4)

Ces formules sont intéressantes, car elles s'appliquent à tous

5 .

les modèles M /M /I admettant un régime permanent, n n

Cependant, elles sont trop générales et ne facilitent pas le calcul des moments de la variable aléatoire (v.a.) X, (sans t : "état du système en R.P."), dont nul n'ignore l'importance.

Aussi considérons-nous la méthode des fonctions génératrices, pour résoudre les équations (1.3), comme étant plus adéquate dans le cas des modèles particuliers qui nous intéressent.

La fonction génératrice

G(s) = Z s’^ P , (| s|4l ) , (1.5)

n>o "

est utilisée pour les modèles A et B ; tandis que nous introduisons la fonction génératrice

H(s) = Z ^ s""""’ p^ , (|sl<l) , (1.6) n>o

pour les modèles C et D.

Le problème est d'obtenir les expressions de G(s) et de H(s) où ne figurent plus que la variable s et les paramètres donnés et Dès lors, un développement en série entière de la fonction généra­

trice ainsi obtenue fournit les p (ne IN) en termes de X et y

*^n n n

pour chaque modèle. De plus, on en tire les moments de la v.a. X grâce aux formules bien connues, [l7].

Après avoir remplacé dans (1.3) les et y^ par leurs valeurs données, ceci pour chaque modèle, on multiplie chacune des équations par s^ avec n adéquat.

On additionne ensuite membre à membre les nouvelles équations en sommant sur n.

Ce procédé permet, compte tenu des définitions de G(s) et de H(s), de remplacer le système (1.3) par une seule équation différentielle équivalente. Nous avons

- pour le modèle A : yG'(s) - XG(s) = 0 , G(0) = p^ ;

- pour le modèle B : (X s-p)G' (s)+XG(s) = 0 , G(0) = ;

- pour le modèle C : yH'(s)-XH(s) = p^ , H(0) = 0 ;

- pour le modèle D : ysH"(s)-XH(s) = 0 ,

H(0) = 0 et H'(0) = p^ .

Ces équations différentielles se résolvent assez facilement.

Nous avons appliqué la méthode d'intégration par des séries entières à la dernière équation (modèle D).

Les détails de calculs étant superflus, nous donnons directement les résultats obtenus, (en rappelant que P=~) '

- modèle A

G ( s ) - ps Po ^ ’

Pn = ^ e’P , (n e ]N) ; (1.7)

modèle B

G ( s ) = P Po y-Xs ’

Pn = p"( 1 -p) , (n e IN) ; (1.8)

modèle C

H(s) =

x»o ■

Pn = n

e P , (n e M) ; (1.9)

modèle D

= ?o ,

H(s)

(n!)^ I (2VfT)

, (n e 3N) ;

TE (X) = H"(l) = Vp 1. (2V^)/I (2\Ç)

1 O

7 .

(I.IO)

où I^(x) , (k e K), est la fonction de Bessel modifiée de 1ère espèce d'ordre k.

Il ressort de ces résultats les constatations suivantes :

- L'état du système dans les modèles A et C est distribué (en R.P.) suivant une loi de Poisson de paramètre X/y .

- L'état du système dans le modèle B suit la même loi de probabi­

lité (en R.P.) que dans le modèle M/M/1.

1.1.2 - Probabilités d'état du système à certains instants particu­

liers, en régime permanent.

- Définit ions :

p^ ; la probabilité qu'en R.P. une arrivée trouve le système dans l'état n ;

TT^ : la probabilité qu'en R.P. le système entre dans l'état n immédiatement après un départ.

^ = l'événement "il y a n clients dans le système à l'instant X en R.P." ;

A . = l'événement "une arrivée se réalise entre les instants X, Ax

X et X + Ax en R.P." ;

DAx_> X l'événement "un départ se réalise entre les instants

X - Ax et X en R.P.".

De ces définitions il résulte les relations suivantes :

- Un. 1P[S^

Ax->-o

= lim

{n»[s OA

TT = lim 1P[S n . I- n+1 ,

Ax->o

A Pa ]

x-Ax' Ax, X-*

■ = x-AK%x, J> •

Ax->-o

Calcul des (n e IN) :

Les événements |Sj j e IN} sont totalement exclusifs, d' ou

p[a . ] =

Z Pfs.

^ 1

'■x,Ax-i . i-j^x x,Ax-l

J>o

= Z p.À.Ax + o(Ax) , J>o J J

en vertu de la distribution stationnaire de l'état du système (en R.P.) et d'une propriété connue des processus de Poisson.

p[s H

1 =

I

1

= Pn A n Ax + O (Ax) ,

pour les mimes raisons que ci-dessus ;

où O (Ax) est tel que -*-o avec Ax.

A X

Dès lors, la probabilité p^ vaut :

P = lim {[p A Ax + o(Ax)]/[ Z p. X. Ax + o(Ax)J}

Ax->o j>o J J

=A p/(Z p,A.).

n n . ^ J 1 j>o -J

(

.

)

On constate que s si les sont indépendants de n (n e IN) .

En particulier, nous avons, après un calcul direct :

P = P = e ^ , pour le modèle A ;

n *^n n ! * ^ ’

p^ = (n+Op’^ (1“P)^ , pour le modèle B ; n+1

P„ =n (n+1)!

) V n

(e^-1) ' , pour le modèle C ;

Pn " "(n+1)!^ n! [^i<2Vp)] ' , pour le modèle D

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Calcul des ïï (ne IN) n

Les raisons déjà invoquées ci-avant nous autorisent à écrire

= p .o(Ax) + Z p. U. Ax + o(Ax)

° j>l J J Z Pj Pj o(Ax) ;

^t^n+1, x-Ax^^Ax, xJ ^t^n+1, x-Ax^^t°Ax, xl^n+1, x-Ax^

= Pn+1 ^n+1

Dès lors, compte tenu des relations précédentes, la probabilité ïï vaut :

n

ïï^ = lim Ax + o(Ax)]/[ E y. p. Ax + o(Ax)]}

Ax->-o 3 J

l'n-H “j Pj>

J ^1

X^ P^/( ^ ^'-1 P'-i^» vertu des équations de j ^1 J J

Kolmogorov, (1.3).

C'es t-à-dire,

TTn (1.16)

Ce dernier résultat n'est pas surprenant puisque les arri­

vées sont individuelles et les clients sont servis individuelle­

ment par un seul serveur.

Cependant, il importe d'insister sur le fait que l'égalité à la probabilité d'état p^ n'a lieu que si en outre la loi des arrivées est indépendante de l'état du système ; hypothèse qu'on oublie souvent, à tort, dans la littérature.

1.2 - Interarrivée effective et Durée effective de service.

1.2.1 - Définitions et rappel des résultats de CONOLLY.

n intervalle de temps qui commence à l'instant où le système passe de l'état n-1 à l'état n (n^^l ) et finit à l'instant de l'arrivée suivante ;

la longueur d'une période d'inactivité ;

interarrivée inconditionnelle ou interarrivée ef­

fective ;

durée d'un service qui débute au moment où le sys­

tème est dans l'état n (nlÿ.l ) ;

durée de service inconditionnelle ou durée effecti­

ve d'un service ;

E X P ; . n n n>o

une quantité telle que u(l-p ) = E y p ; O . , n n

n>l

a^(t)

%(z)

a(t)

a (z)

A(t)

b^(t)

6^(z)

b(t)

6(z)

B(t)

: densité de probabilité de

: la transformée de Laplace de a (t) ; n

: densité de probabilité de T ;

: la transformée de Laplace de a(t) ;

: fonction de répartition de T ;

: densité de probabilité de 0 , (n>l) ; n

: la transformée de Laplace de b (t) ; n

; densité de probabilité de 6 ;

: la transformée de Laplace de b(t) ;

: fonction de répartition de 9.

En procédant par analyse probabiliste basée sur la propriété d'oubli dont jouit tout processus de vie et de mort, B. W. CONOLLY,

[7], a établi les résultats suivants (nous les avons vérifiés) que nous résumons sous forme de propriétés dans le but de faciliter la tâche au lecteur.

A.

- Propriété Cl : X ÆrTl=ylEr6l = 1 ;

A A

c'est-à-dire, X est le taux effectif d'arrivées, y est le

A A A

taux effectif de service et p = X/y mesure effectivement l'in­

tensité de trafic.

- Propriété C2 : a ( Z ) = - , n

n z+X +y n n

a , (z) n n- 1_____

z + X +y n n

et Xa(z) =

^ \ Pn •

n>o n

n nnr ^Z + X +y n n

+ , (n>l) et

A B(z) = yj Pj 3j(z) + Z n^2

Propriété C3 :

a(z) = 3(z) - A^ p^ fl-a^ (z)J 3 J (z)/A ;

ou encore

-A t

A(t) = B(t) - A^ p^ e n bj(t)/A

Conséquence : si A -»• y, ce qui entraîne que ->■ o, alors T et 0 tendent vers une même loi de probabilité.

- Propriété C4 ;

n n+d n n

m—iE[e™“’] + rp-J—iE[e“ ] n"* ^ n •* A +y _ *• n+H

n n n n

- Propriété C5

X ^[T-j - m Z p^œ [t”-'] ; n^o

A lE [e“] = m Z p^ lE [e“ '] . n>l

1.2.2 - Etude des v.a. T , 6 , T et 0 dans le cadre particulier n n

des modèles A, B, C et D.

-A t La loi de probabilité de T étant connue (a (t) = A e ),

O O O

tous les moments de la v.a. T peuvent être calculés à partir des re­

lations de récurrence de CONOLLY. Ces calculs n'étant possibles que sur ordinateur, semble-t-il.

La loi de probabilité de 0j est en général inconnue ; dès lors les relations de récurrence de CONOLLY ne permettent d'obtenir les moments de la v.a. 0 qu'en fonction de ceux de 0j .

13 .

Pour les modèles M^/M/1 (en particulier le modèle C), le problème ne se pose pas, puisque Vn e IN^ :

b^(t) = b(t) =

Nous montrons par une analyse probabiliste simple qu'il est possible de calculer directement tous les a (t) et b (t).

n n

Ensuite, nous essayerons d'obtenir, dans la mesure du possible, les densités de probabilité a(t) et b(t).

Soulignons aussi que la connaissance de bj(t) complétera les rela­

tions établies par CONOLLY pour le calcul des moments de la v.a. 0,

Soient

.(j) la survie d'une interarrivée, considérée à partir de l'instant où le système est dans l'état n (n^l) et pendant laquelle j services sont accomplis,

(o^j4n) ;

(

)

= la survie d'une période d'inactivité ;

(k)

n la durée d'un service qui commence alors que le système est dans l'état n et pendant laquelle k clients sont arrivés, (n:^l , k^o).

Nous supposons que ces v.a. possèdent chacune une densité de probabi lité que nous notons respectivement par a^^^(t) et b^^^(t).

En tenant compte de la propriété d'oubli, il résulte de ces définitions et de celles qui précèdent, les relations suivantes

(j)

n a la même distribution que

j-1 (o) (o)l

®n-i * "^n-i • C<j«n) ; 1=0

6''“''' a la même distribution que f Z n ^ I . n + i + Q^°?l , n + k^ » v ^ ,(k>l) ;

1 = 0

(k)

IP [t<T^<t + dt] = IP {

U

En termes des densités de probabilité, ces relations deviennent :

(J) (t)

= b^°>

n n

n , (t) = Z a^

n

L-t. Il O

r>(o = a<°) n

(o)

(j)

/O) n+1

(o)

(tl b (t) •

^n+k-1 ^ ’

b (t) = Z b^^\t) ; k>o

où ^ désigne ici le produit de composition ordinaire Il est clair que :

-X t

X e ° , (n=o)

o

X^ e , (n^l ) ;

/ N -(^ +ù )t

b^°^(t) = e , (n>l)

Dès lors, les transformées de Laplace a (z) de a (t) et 6 (z) de

n n n

b^(t) valent respectivement :

n

6^(z) =

n

Xn n

+ y ^{^n^}n- 1^ • • • ^n-i+1 X . n-j

Zn j = l z

n 2 1 • n- 1 *■ ^n-j+1 z n-J

^n + y

Xn ^ •n+ 1 •• ^n+.i-l zn

• Là j»l z

n ^n+1 • •' ^n+j-1 ^n+j

+ Xn ^ ^n > (n^l) ,

+ X

(1.17)

(1.18)

En utilisant les tables d'inversion de ERDELYI, [lO] nous avons

15.

_V t n

a(t)=X e + Z y y ,...y .,X

n n j = l . , n ^n-1 n-j+1 n-jJ J

X { E ' e r = o

J “V t J

^ / n - V ] } ;

1 = 0

(1.19)

-V t

b (t) = y e ^ + { E X X

n n ... n n+1

J>1 ^n+j-1 ^n+j^

X

( i l^E'

r = o 1 = 0 n +1 n + rJ

(

.

)

où V = X + y , (nà’l ) et V = X

n n n o o

Ces formules sont valables pour tous les modèles d'un processus de vie et de mort.

Voyons ce qu'elles valent dans les modèles particuliers qui font l'objet de cette étude.

- Modèle_A

Nous savons que a^(t) = a(t) = Xe , (n^o).

C'est donc le calcul des b^(t), (n^l), qui nous intéresse.

En remplaçant dans la formule (1.20) X^ par X et y^ par ny, l'ex­

pression de b (t) vaut

b (t) = ny exp {-(X+ny)t) + y E (n+j)p^

X J r -.J

E exp {-[X+(n+r)y] t} / p| (i-r) ,

r=o i=o

i?^r

(où P = X/y) .

j , r

Et puisque p| (i-r) = (-1) rl(j-r)! , (V entiers r et j tels i = o

i?^r

que r^j), une relation qui s'établit aisément par récurrence, nous obtenons après un calcul direct :

Nous introduisons la valeur de bj(t), tirée de la formule (1.21), dans la relation définie par la propriété C3 ci-avant, avec

X = X et A(t) = l-e ^ ; ceci donne '

B(t) = 1-e + p^/Si[l+p(l-e

X exp [-(A+y) s + p ( 1-e ^®)]e ^^ds.

Ce qui s'écrit encore après une intégration par parties, avec la valeur de p^ (1.7),

B(t) = 1-e ^*" + e ^(1-e ^ *" ) exp [-p (y t-1+e ^*')J.

(

.

)

La dérivée par rapport à t nous fournit l'expression de la densité de probabi1ité :

b(t) = Ae ^*" + e *^[ye ^*'-A(l-e ^*')^]

X exp [-p (yt-1+e ^*")]. (1.23)

Ces résultats sont en accord avec ceux qu'on trouve par ana­

logie du modèle A avec le modèle M/M/o°, [4] ; mais au prix de cal­

culs complexes, faut-il le dire.

La méthode que nous venons d'utiliser semble mieux s'indiquer en raison de sa simplicité et surtout du fait qu'elle peut s'appliquer à tous les modèles du type M/M /I.

n

Nous savons que par intégration par parties,

1E(9) = B(t)dt, où B(t) est la fonction de répartition complémen­

taire dont l'expression s'obtient à partir de (1.22). D'où la moyenne du temps nécessaire pour servir un client vaut

lE(e) = (l-e“P)/A. (1.24)

/N.

L'intensité de trafic p (ou facteur d'utilisation du guichet) est donnée par

3 = E(0)/ E(t) = 1-e (1.25)

Mod|1e_B

En faisant X = (n+l)X et y = ny

n n

dans les formules (1.19) et (1.20), nous obtenons après quelques calculs :

a^(t) = Ae“^’'[(l+pe(t))/(l+p)]''"'

X [ne(t) + (l+pe(t))/(l+p)] ;

b (t) = ye“^*'(e(t))'' E (’"! ^ ) (n +j ) j>o J

X [p(1-e(t))/(1+p)]^ , (n^l) ;

où e(t) = exp {- (X+y)t}.

La connaissance des a^(t) et b^(t) permet, en principe, d'obtenir les densités de probabilité a(t) et b(t). Les calculs à cet effet semblent assez compliqués, du moins pour trouver l'expression analytique de b(t) ne contenant plus l'état "n" du sys tëme.

Aussi considérons-nous uniquement le calcul de a(t) ; dès lors la tâche d'obtenir b(t) à partir de la propriété - C3 serait allégée.

Nous savons que a(t) = E p ^^+1 ’ n>o

où la probabilité p^ qu'une arrivée trouve le système dans l'état n a été calculée précédemment, (1.13). C'est-à-dire,

a(t) = E (n+1 )p"( 1-p) ^ ^n+1 n^o

= Xe ^*■(1-p)^{pe(t) E (n+1 )n^p (1+pe (t))/(1+p)]*

(1.26)

(1.27)

+ E (n+1) [p(l+pe(t))/(l+p)]''} . n^o

En posant y = p(1+pe(t))/(1+p), d'où y<1, (Vt>o) ; car o<p<l et o<p e(t) = p exp {-(A+y)t} <1, 2 2 (Vt>o).

D'où, la série géométrique E y” est convergente (absolument n>o

et uniformément).

La fonction f(y) = (l~y) ^ étant de classe C«o dans l'intervalle fo, 1 f , et compte tenu de la convergence uniforme de la série, nous avons

Z (n + Oy’^ = (1-y) ^ et E (n + l)n y” ' = 2(l-y)

n>o n>l

En introduisant ces relations dans l'expression de a(t) ci-avant, celle-ci vaut

a(t) = Xe"^*" (1-p)^ {2pe(t) [l-p(l+pe(t))/(l+p)]“^

+ [l-p(l+pe(t))/(l+p)]"^}.

Ce qui s'écrit encore apres un calcul direct,

a(t) = Xe g(t) ; (1.28)

où g(t) = (1-p^) [l+p(2 + p)e [l-p^e~ .

Enfin, la propriété - Cl nous donne,

A A

1E(t) = 1/X et 1E(9) = 1/y ;

/S /N

OÙ X et y sont définis précédemment.

En remplaçant p^ par sa valeur (1.8), avec X^ et y^ donnés, nous avons

IE(t) = (l-p)/X ; (1.29)

^(9) = (l-p)/y . (1.30)

D'où l'intensité de trafic

P = P, (1.31)

est la même que dans le modèle M/M/1.

Mode 1e_C

Sachant que B(t) = 1-e ^

^ A ^

et X = E —TT e ^ = y(l-e ^), ceci en vertu des définitions

^ n+1 n!

n^o

et de la valeur de p^, (1.9) ; nous tirons de la propriété - C3 les résultats suivants.

- La fonction de répartition A(t) de l'interarrivée effective x vau t

A(t) = 1-e '^*'-Xe *^/y(l-e e ye ®^ds ;

c'est-à-dire, après une intégration par parties :

A(t) = l-e“^*'-pe’P(e“^*^-e"^'^)/(l-p) (l-e“P) . (1.32)

- L'intensité de trafic

P = X/y = l-e"P , (1.33)

est exactement la même que pour le modèle A.

Toutes les autres grandeurs relatives à la v.a. x s'obtiennent sans trop de peine puisque l'expression de A(t) est facile à manier.

- Modèle_D

En remplaçant dans les formules (1.19) et (1.20) les X^ et y par leurs valeurs données, nos calculs sur les a (t) et

n n

b (t) n'ont rien donné d'intéressant, n

A fortiori, il ne semble pas possible d'exprimer les densités

de probabilité a(t) et b(t) sous une forme analytique ne contenant plus l'état "n" du système.

Signalons cependant les quelques résultats qui s'obtiennent assez facilement à partir de la propriété - Cl :

A Z

n>o A

n+ 1 Pn' par définition ;

Z

n>o (n+1)! n! ⁹

en introduisant la valeur de p^, (I.IO) ;

= Ij (2/p)/I^(2/^) ; d' OÙ

A.

IE(t) = 1/A = /p I^(2/p)/Alj (2/^) . (1.34)

y = l/(l-p ) Z ny P , par définition ; n>l

= yIE(X)/(l-p^)

= y/^ I, (2/^)/[l^(2/^)-l] ,

en vertu des résultats (I.IO) ; d'où

A

E(e) = l/y = /^[l^(2/p)-l]/Alj (2/p) . (1.35)

A

L'intensité de trafic p vaut

A A A «

P = A/y = l-[l^(2/^)]"‘ . (1.36)

Lorsque p est suffisamment petit, alors l'intensité de trafic

A

P ~ p.

En effet,

2 1 .

, O A X

\ ) X = J p^+2 Pl^-- < Y p^+Y^’“Po^’

c’est-à-dire X = Xp^+o(l-p^), où la quantité o(l-p^) devient négligeable comparée à ^ “P^ "*■ ° >

2°) y(l-p^) = E

n>,l N P„

OÙ est la moyenne des clients en file.

Or, P suffisamment petit implique p^ fort grand (ou p^ proche de 1) et dès lors L 'V' o :

/s

q

conséquences :X'^<Xety'vy oup%p

1.3 - Temps d'attente dans le système

Soient

W = le temps d'attente dans le système ou

la durée de séjour d'un client quelconque ; 1

w(t) = la densité de probabilité de W ;

0^^, (m^n^l), le temps nécessaire pour servir successivement n clients quand le système est dans l'état m au mo­

ment où l'on commence à servir le 1er de ces n clients ;

bmn(t)

mn

la densité de probabilité

la transformée de Laplace

de 0mn

de b (t) mn

Nous supposons que le serveur applique la discipline FIFO ; dès lors, il est clair que la densité de probabilité

■ I Pn •’n.l, • n>o

w(t) (1.37)

où est la probabilité qu'une arrivée trouve le système dans l'état n, (1.13).

Il se pose donc la question de savoir s'il est possible d'ob­

tenir explicitement les n+1^*"^’ ^ fonction des pa­

ramètres (A , U ) et du temps ? n n

La réponse à cette question semble malheureusement négative en ce qui concerne les modèles B et D.

Nous procédons par ordre de difficultés croissantes, en considérant tout d'abord le modèle C.

Pour les modèles M^/M/1, en particulier le modèle C, les durées de service sont des v.a. indépendantes et équidistribuées suivant une loi exponentielle négative (p). Il est alors connu que le nom- bre de clients servis au cours d'un intervalle de temps de longueur t - si le serveur est constamment occupé - suit une loi de Poisson de paramètre y. Il en résulte que

ip [e

n+1 n+1 ^{>t] = /"} n+1 n+1 (s)ds = n Z r = o

(yt) -yt

c'est-à-dire, par différentiation.

n+1 n+1 (t) = ye , (n e IN) (1.38)

En introduisant (1.38) dans la formule (1.37), et compte tenu de la valeur de p , nous avons

n

w(t) = y(eP-l) ’ -y t n+ 1 Z

n>o

_________ (yt) (n+1)! n!

n

ce qui s'écrit encore en termes des fonctions de Bessel :

w(t) = /Â7t(eP-l)"’ e“^*^ Ij(2/Tt). (1.39)

La moyenne et la variance de W s'obtiennent directement :

IE(W) = /^t w(t)dt = pe*^[y(e*^-l)] * (1.40)

23 .

Var(W) = /”t^ w(t)dt-[ E(W)]^

= peP(2eP-p-2) . (1.41)

Pour le modèle A, tout comme pour les modèles B et D qui vont suivre, les durées de service ne sont pas distribuées suivant une même loi exponentielle négative. Dès lors, les événements (ici

"les fins de service") qui se réalisent dans un intervalle de temps (0, t] ne sont pas régis par une loi de Poisson. D'où résulte toute la difficulté pour le calcul des (n>l), et a fortiori de w(t) .

En effet, soient N(t) le nombre de départs du système dans l'intervalle de temps (0, t] et X(t) l'état du système à l'instant t .

Par définition, posons

v^"^^(t) =IP[N(t) = k I X(0) = n, N(0) =

oj

Si ^j^j^(t) désigne la fonction de répartition complémentaire de 6 , (n^l), il est clair que

nn ^

Bnn(t)

00

/

n- 1 E k=o

(1.43)

Les probabilités v^^^(t), quand elles peuvent être calculées, per­

mettront de trouver finalement la densité de probabilité w(t). Ce n'est malheureusement pas le cas dans les modèles où la durée de service dépend de l'état du système, (modèles A, B et D).

En ce qui concerne le modèle A, nous savons que celui-ci est analogue au modèle du point de vue du mécanisme des arrivées et du taux de service (np lorsque le système contient n clients).

Dès lors, v^'^^(t) a la même valeur dans les deux modèles. Aussi peut-on songer à calculer v^ '^ ( t ) à l'aide du modèle C'est ce qu'a fait HADIDI, [1S] .

Les résultats de HADIDI que nous rappelons ici, à titre indi­

catif, nous les avons vérifiés en détail dans notre mémoire de

de Licence , [29] .

En supposant que le service commence simultanément pour tous les clients présents initialement, et compte tenu de l'hypothèse des arrivées de Poisson (X), l'auteur a établi la relation suivante pour tous les modèles du type M/G/°° :

V(n)

k (t) ^-Af(t) min(k, n)

I

(k-i)!

où B(t) est la fonction de répartition de la durée de service à chacun des guichets.

B(t) = l-B(t),

et f(t) = /*'B(s)ds.

O

Sachant que pour le modèle A,

00

/^w(s)ds

n> 1

_P______n- 1 (n-1)!

n- 1 Z k = o

(t) ,

car P = P = e ^p'^/n! , où v,^'^^(t) est donné ci-dessus avec

n *^n ^ ’ k

B(t) = 1-e ^ ; il obtient par un calcul laborieux la densité de probabilité w(t) du temps d'attente d'un client dans le modèle A

w(t) = e ^ [{XB(t)B(t)+b(t) (l+pB(t))} I^(2/|^)

-ri 9 1

+ {pb(t)B(t) (|)2 + XB^(t)(|)2} Ij(2/ç7)] ;

où : Ç = X/*"B(s)ds , O

q = pB(t) ,

b (t) = ye .

Le temps d'attente moyen vaut

IE(W) = {/^ w(s)ds}dt = y (1.44)

Dans le cas des modèles B et D, étant donné les difficultés signalées plus haut pour le calcul des probabilités nous

eC

considérons uniquement les relations de récurrence pour le calcul des moments de W.

Grâce à la formule (I.ll), la relation (1.37) s'écrit

w(t) = Z n>l

X , P_{■n — 1 ^ -n —}

nn Z

j

c'est-à-dire,

Aw(t) = Z X P b (t) , - 1 XI 1 XI 1 xxxx

1

par définition de X introduite précédemment

Si w(z) désigne la transformée de Laplace de w(t), il vient :

Xw(z) = Z X , P ,

^, n~1 n—1 nn n>l

(1.45)

D'autre part, en nous référant à la définition de b (t), (m^n^l), nn

nous avons par une analyse probabiliste assez évidente,

b(t)=ye ”b, , (t)

mn m ** m-1 n-1

+ X e ^ b (t) ;

m H m+1 n

où, désigne le produit de composition ordinaire.

En calculant membre à membre la transformée de Laplace de cette dernière relation, nous avons

B__ (z) = g (z) + ^ g

Zjjj m-1 n-1 m+1 n

mn (z) . (1.46)

où Z = z + X +u,

m m m

Les dérivées successives de (1.46) en z=0 nous donnent, après un arrangement des termes, les relations de récurrence suivantes :

E(0*^ ) = , ,) + ) mn V mn V m-1 n-1 V m+1

mm m

(v = A + y , m>n>2) ; m m m

m m

(1.47)

(1.48)

Par leurs définitions, nous savons que bjj(t) = bj(t) ;

le •

dès lors, leslE(0jj) s'obtiennent à partir de (1.18). D'où les re­

lations de récurrence (1.47) et (1.48) permettent de calculer, en principe, tous les moments de la v.a. 0 , (m>n>l).

mn

En procédant de la même manière avec l'équation (1.45), on obtient une relation qui permet de calculer tous les moments de la v.a. W :

A lE(W^) = Z A , P , IE(0^ ) . (1.49)

. , n-1 n-1 nn n>l

Celle-ci se met encore sous une forme beaucoup plus intéressante après quelques calculs, [7] :

A lE(W^) = k Z p. Z 1E(0^T’). (1.50)

i>\ ^ j=l

Cette relation (1.50) donne pour k=l une sorte de formule de Little comparable à celle connue dans les modèles classiques :

A lE (W) =. Z P . Z lE ( 1 ) = lE (X) i>l ^ j=l

(1.51 )

où X désigne l'état du système (en R.P.).

Dès lors, on calcule aisément la moyenne de la durée de séjour d'un client dans les modèles B et D :

1 -P A

-1

lE (W) G'(1) = y 9 (1.52)