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4 - PROCESSUS DE LIVRAISON POUR CHAQUE MODELE

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2 Pour le modèle B, les relations (III.14) donnent

II. 4 - PROCESSUS DE LIVRAISON POUR CHAQUE MODELE

r + H-3 v=[-Z r + £ +1

2 •]

(Xt)^ -Xt e V ! + r+£-2

I

rr+£+li

v=L O J

(Xt)'' -Xt c(v) r+£-l c(V) r+£-2(r+£-2-v) r2v—r—£+2

L—Z- - - - -■]

(v-2s-l)!(2v-r-£+2)! v!(2v-r-£-2s+2)! (r+£-l-v)

r2v-r-£+2-L—2---:

(v-2s)!(2v-r-£+l)! v!(2v-r-£-2s+2)! (r>2, £=1,2) (II. 25)

où f^(r) est donné d'avoir i demandes

par (11.24) et en V groupes, vaut

qui est la probabilité

^(v) _ (^_^) ^ (1-c)^ ^ , (v>[j (i+1)^ , par application de

la loi binomiale .

En introduisant (11.25) dans (11.22), on obtiendra les pro­ babilités V^(t). Dès lors, connaissant toutes les probabilités-clés

et V^(t), l'application de la méthode décrite au § 1.5 permet­ trait, en principe, d'obtenir la distribution stationnaire du pro­ cessus général. Mais étant donné la dimension de l'expression de P[Q^(t) = r], nous préférons nous en tenir à ces éléments de base.

II.4 - PROCESSUS DE LIVRAISON POUR CHAQUE MODELE.

Pour terminer, nous considérons dans ce paragraphe une autre grandeur qui pourrait intéresser le gestionnaire du CENTRE-I : Il s'agit de 1'intervalle de temps qui sépare deux livraisons succes- sives, pour chaque modèle particulier.

143 .

Soit U=la 1ongueurfd'un intervalle de temps entre deux livraisons successives (au CENTRE-I) ;

!

=la longueur d'un intervalle de temps qui sépare deux départs successifs du CENTRE-II.

(Car par hypothèse (H8), une fois qu'une unité est servie au

CENTRE-II, elle est immédiatement livrée au CENTRE-I, sans délai).

Nous noterons par :

hj (t) la densite de probabilité de U entre les (j-1) et j C 0 départs, (j>l) ; h ( t) = lim h.(t) , (supposée 3) J ir;(j) - IP [X^EX(tj€D) = n] ; 7î’ = lim n ■''■^(j) . (supposée

3)

j^oo

Rappelons que nous avons déjà calculé (ou du moins avons indiqué comment calculer) directement la distribution

{TT = lim IP rY,=X(t. e DUJ)=nl}. Dès lors la distribution {1T ' }

^

'-JJ-' n

peut s'en déduire grâce à une relation assez évidente qui existe entre elles. Cette relation est la suivante :

U = d . TT '

O O

n ° ^n'^o^ ’ ’ (11.26)

où d est une constante de normalisation et précédemment.

Y

n est défini comme

fin de service laissant n clients dans la file, ou bien qu'on soit au début du service, d'un groupe de n clients, immédiatement après une période d'inactivité.

Le système d'équations (11.26) s'écrit encore.

TT ' O = T ■’T d O et Tt' = -T H (tt - TT Y ) n • Tl ^; d n n (11.27) où d=l-TT Ey=1-tt. (11.28) O ^' n O n^l - Expressions de h.(t) et de h(t) : Par sa définition,

U est une durée d'un service au CENTRE-II sauf si le système devient vide à la fin du service précédent ; dans ce cas, U est la somme d'une période d'inactivité et d'une durée d'un service.

Ceci dit, il vient que

-y t -y.t

h.(t) = Z TT' (j-l)y e "•+ Z Tr’(j-l)(f (t)^y.e ^ )y.,

^

n>l " " i>l ° O ^ ^

(11.29)

relation qui est valable pour chacun des trois modèles particuliers, (voir hypothèses GH2 et H'7) ; où f^ (t) est la densité de probabi­ lité de et H désigne un produit d^ composition ordinaire.

En prenant la limite membre à membre de (11.29) pour on a

-y t -y.t

h(t) = Z TT' y e " + Z TT'(fT„ (t)w.e

) y..

(11.30)

n>l ^ " i>l ° ^o ^ ^

Nous allons traiter cette dernière relation pour chaque modèle, en particulier, afin d'en déduire la moyenne de la v.a. U en R.P.

145 .

Dans le cas du Modèle I, nous savons que les interarrivées T sont distribuées suivant une loi exponentielle négative (X) ; d'où par la propriété d'oubli de celle-ci, la densité de probabilité d'une survie de T vaut, f (t)=^e Dès lors, en tenant compte des hypothèses et des résultats rappelés au § II.1, la densité de probabilité h(t) de U, pour le Modèle I, s'écrit :

-ut -Xt

h(t) =ttJ y^e + ( 1-ïï ^-tt J )y e +ïï^ Xe ^^*y j e . c

+ TT ' Xe"^^><ye“'^^ (1-c). (11.31) O

Soit h(z)=L{h(t)} ; en calculant la transformée de Laplace de (11.31), il vient que

(11.32)

Sachant que mj= lE (U) = » nous avons, par un calcul z = o

direct de la relation (11.32),

(i- - i)

y i y (11.33)

Dans le cas des Modèles II et III, nous savons que T est une O

survie d'une v.a. distribuée suivant une loi qui n'est pas expo­ nentielle négative, (1.7). C'est-à-dire que la distribution de dépend du temps que T a déjà vécu. Aussi faisons-nous, pour ces deux modèles, l'hypothèse supplémentaire que voici :

Nous supposons de plus qu'à tout moment le gestionnaire du CENTRE-I connaît le temps qui s'est écoulé depuis l'instant de sa dernière commande. (Il lui suffit pour cela qu'il note les instants où il lance une commande).

Soit h(t;v) la densité de probabilité de U, en R.P., sachant que le temps qui s'est écoulé depuis l'instant de la dernière commande est connu et vaut v.

L'expression de h(t;v) se déduit de (11.30) en remplaçant (t) par (t;v) ; où ° O

■ ■ It ® .

O k. ™ 1 ir

X^e ^^(t+v)^ V[(k-1)! Z j , pour le Modèle II, r = o ■

Xe ^^ [l-c + cX(t+v)]/(1+cXv), pour le Modèle III ;

(11.34) résultat qui découle de (1.17), et compte tenu des hypothèses relatives à chaque modèle. Plus précisément, nous avons

- pour le Modèle II :

h(t;v)= E " +ïï^{x’^e ^*^(t+v)^ V[(k-1)! E

^

n>l r=o

(car , (II.3) ; ce qui s'écrit encore, en termes des transformées de Laplace, si h(z;v)E/^e h(t;v)dt ,

TT ' U

U f \ r-

n n h(z;v)= E —--- +TT P, ^ , z+y O '^k n^l n k-1

[( î

k-H Jl = o 5,!(z + X) (z+y ) r = o k-1 ,, .r )/( E )] r ! (11.35)

- pour le Modèle III :

"Vi_t h(t;v) = E ^ [l-c+cX (t+v)] / ( 1+cXv) } n^l ^{y 2^"^2*^ l-c + 2c^ 1+c -^^3® 3. 2c(l-c) 1 +c

I .

en tenant compte aussi de (11.21) ; ce qui s'écrit encore, en termes des transformées de Laplace,

U/

\ r n n ^ O /1-c+cXv . h(z;v)= E --- + ■■ ■ , (--- ;--- + cX .vt z+y n^l n 1 +cXv z + X r) (-( 1-c + 2c )y, 2c(1-c)y^ (1+c)(z+y^) (11.36)

147 .

Notons par (v) h(tiv)dt = f(-l)

['

i d^h(z;v)

d Z ■

]

=

dès lors un calcul direct utilisant respectivement (11.35) et (11.36) nous donne

- pour le Modèle II

(11.37)

- pour le Modèle III

nij (v) = TT ' Z — n^l ^n + TT

[| O

1 +cXv

)

1 +c 1 -c + 2c‘ 2c ( 1-c) V>o (11.38)

Enfin, signalons que la méthode suivie pour l'étude de la v.a. U, dans ces modèles particuliers, peut s'appliquer également au modèle général du chapitre I dès que les probabilités (i^l)» et

aussi les V (t) sont connues. Celles-ci constituent donc des élé- r

déterminant s. ment s

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