The DART-Europe E-theses Portal

HAL Id: tel-00801373

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00801373

Submitted on 27 Nov 2014

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

Equations aux dérivées partielles à conditions initiales aléatoires

Anne-Sophie de Suzzoni

To cite this version:

Anne-Sophie de Suzzoni. Equations aux dérivées partielles à conditions initiales aléatoires. Mathéma- tiques générales [math.GM]. Université de Cergy Pontoise, 2012. Français. �NNT : 2012CERG0589�.

�tel-00801373�

UNIVERSIT ´ E DE CERGY-PONTOISE

TH ` ESE DE DOCTORAT

Sp´ecialit´e : Math´ematiques

Pr´esent´ee parAnne-Sophie de Suzzoni

Equations aux d´eriv´ees partielles `a conditions initiales ´ al´eatoires

Directeur de th`ese : Nikolay Tzvetkov Rapporteurs : Isabelle Gallagher et Gigliola Staffilani Soutenue le 26 novembre 2012, devant le jury compos´e de

Nicolas Burq Examinateur

Isabelle Gallagher Rapporteur Patrick G´erard Examinateur

Franck Merle Examinateur

Laure Saint-Raymond Examinateur Armen Shirikyan Examinateur Nikolay Tzvetkov Directeur de th`ese

Remerciements

Je tiens tout d’abord `a remercier mon directeur de th`ese, Nikolay Tzvetkov, pour sa pr´esence, sa consid´eration, ses bons conseils, et mˆeme son point de vue sur la vie. C’est un encadrant extrˆemement disponible et s’adaptant `a chacun de ses ´etudiants. Si je n’avais qu’un mot pour le d´ecrire, ce serait

”formidable”.

Je remercie les membres du jury d’avoir accept´e d’assister `a et de juger ma soutenance. Merci `a mes rapporteurs Isabelle Gallagher, pour avoir relu avec minutie mon manuscrit et m’aider ainsi `a le rendre plus pr´esentable, et Gigliola Staffilani. Merci `a Nicolas Burq de m’avoir soumis des probl`emes qui m’ont aid´e `a avancer, et pour son cours `a l’IHP qui a marqu´e le d´ebut de ma th`ese. Merci `a Laure Saint-Raymond de m’avoir aiguill´e d`es mes d´ebuts `a l’ENS. Merci `a Patrick G´erard, `a Franck Merle, et `a Armen Shirikyan.

Je remercie l’ensemble des membres du laboratoire AGM de m’avoir accueillie, et plus parti- culi`erement Vladimir Georgescu, Laurent Bruneau, Linda Isone, et Thomas Ballesteros pour m’avoir simplifi´e la vie sur tout un tas de d´etails qui auraient autrement ´et´e p´enibles. Bien entendu, je remer- cie les ”th´esards ou presque” : la team Tzvetkov, `a savoir, Nico et David, la team Lewin, en particu- lier Julien et Salma, S´ebastien, Amal, et surtout Connie, Lysianne et S´everine. Mais aussi Matthieu, Franc¸ois, Baptiste, et tous ceux que j’oublie.

Je remercie Nader Masmoudi et Pierre Germain pour m’avoir accueillie au Courant Institute pen- dant deux semaines.

Merci `a famille. `A commencer par mon ”papounet” et sa Majest´e ma soeur la plus belle du monde, pour partager ma folie et mon humour douteux, ce qui m’´evite de me sentir trop seule en cas (r´ecurrent) de blague capillotract´ee. Merci `a ma m`ere de me fournir un mod`ele de femme forte et `a mon fr`ere pour sa capacit´e monumentale `a ne juger personne. Merci au reste de ma famille ten- taculaire qui, dans sa bont´e d’ˆame l´egendaire, comprendra qu’on est trop nombreux pour faire du nominatif.

Je remercie Claire pour son humanit´e et sa d´etermination impressionnantes, Alex pour ses d´elires pl´eonastiques, Jess, avec laquelle on peut causer de philo, d’histoire, et de vernis `a ongles, Tibor, `a qui l’on peut tout confier sans rougir, et bien sˆur, ´evidemment, Nico, pour ˆetre l`a, quoiqu’il arrive, et me supporter au jour le jour. Merci aux membres du groupe de travail logique, nom malheureux pour troupe heureuse, en particulier Charles, Adrien, Guillaume, Marc, Ma¨el et Pablo. Merci aux Nimprotequois et affili´es, en particulier S´evan, Paul, et Tiphaine.

Sans vous, le monde ne tournerait pas.

R´esum´e

Cette th`ese porte sur des ´equations aux d´eriv´ees partielles hamiltoniennes `a conditions initiales al´eatoires. En effet, on ´etudie ici l’´evolution de certaines mesures `a travers le flot de telles ´equations. Cette ´etude suit deux axes.

Premi`erement, on consid`ere le caract`ere globalement bien pos´e de l’´equation d’onde non lin´eaire quand la donn´ee initiale est de faible r´egularit´e. Cette donn´ee initiale est une variable al´eatoire et on obtient le ca- ract`ere globalement bien pos´e de fac¸on presque sˆure par rapport `a la mesure induite par cette variable. La faible r´egularit´e fait r´ef´erence `a l’espace auquel appartient les valeurs de la variable al´eatoires et d´enote une r´egularit´e moins contraignante que celle requise par la th´eorie d´eterministe.

Dans certaines conditions, des propri´et´es d’invariance de la loi de la donn´ee initiale sont n´ecessaires `a la d´emonstration du caract`ere bien pos´e. C’est pourquoi le deuxi`eme axe comprend la question de l’invariance de mesures et leurs stabilit´es `a travers le flot d’EDPs.

On donne ainsi une loi invariante `a travers le flot de l’´equation d’onde cubique et une autre `a travers celui de l’´equation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM). la mesure invariante pour BBM est telle que les amplitudes associ´ees `a chaque longueur d’onde de la solution sont des variables al´eatoires ind´ependantes les unes des autres. On consid`ere alors la stabilit´e de l’invariance pour BBM lorsqu’on ajoute des corr´elations entre ces amplitudes.

Enfin, en s’inspirant de la litt´erature physique `a propos de la turbulence faible, on s’est demand´e ce qu’il advenait de l’ind´ependance entre les amplitudes dans un contexte plus g´en´eral. Plus pr´ecis´ement, on a cherch´e

`a si les covariances des amplitudes restent petites lorsque celles-ci sont initialement ind´ependantes et que le terme non quadratique de l’´energie associ´ee `a l’´equation ´etudi´ee est tr`es petit devant l’´energie totale.

Abstract

This thesis is about Hamiltonian partial differential equations with random initial data. Indeed, the evolution of particular measures are studied here through the flow of such equations. This study is done along two axis.

First, the global well-posedness with initial data with low regularity is considered for the non linear wave equation. The initial datum is a random variable and the global well-posedness is obtained almost surely with regard to the measure induced by this variable. The low regularity refers to the space which the values of the random initial datum belong to and means a regularity under the one given by deterministic theory.

Some properties of invariance of the law of the initial datum are required in the proof of the global well- posedness under certain conditions. Hence, the second axis is the invariance of measures through the flow of PDEs and their stability.

An invariant law is given for the cubic non linear wave equation and for the Benjamin-Bona-Mahony equation (BBM). The invariant measure for BBM is such that the amplitudes associated to each wavelength

of the solution are random variables independent from each other. The stability of the invariance for BBM is considered when one adds correlations between these amplitudes.

Finally, inspired by the Physics literature about wave turbulence, the stability of the independence between the amplitudes is investigated about. Namely, we tried to know if the covariances of the amplitudes remain small when they are initially independent and when the quadratic term of the energy associated to the equation is small compared to the total energy.

Table des mati`eres

1 Introduction 7

1.1 Introduction g´en´erale . . . 7

1.1.1 Motivations physiques . . . 7

1.1.2 Motivations math´ematiques . . . 9

1.2 Caract`ere bien pos´e de l’´equation d’onde non lin´eaire . . . 12

1.2.1 Cas sym´etrique . . . 12

1.2.2 Cas non sym´etrique . . . 16

1.3 Invariance de mesure . . . 19

1.3.1 Invariance de la mesure gaussienne par le flot lin´eaire . . . 19

1.3.2 Invariance par le flot non lin´eaire . . . 21

1.4 Stabilit´e de la mesure invariante . . . 22

1.4.1 Choix de l’´equation . . . 22

1.4.2 Perturbation de la mesure invariante . . . 23

1.4.3 Stabilit´e de la mesure invariante . . . 24

1.5 Stabilit´e de l’ind´ependance des modes propres d’une ´equation . . . 25

1.5.1 Turbulence faible . . . 25

1.5.2 D´efinition du probl`eme . . . 26

1.5.3 D´eveloppement de la solution . . . 26

1.5.4 Description de la condition initiale . . . 27

2 Large data low regularity scattering results for the wave equation on the Euclidean space 30 2.1 Introduction . . . 30

2.2 Preliminaries . . . 33

2.2.1 Sobolev spaces and Strichartz inequalities . . . 33

2.2.2 The Penrose transform . . . 34

2.2.3 Stochastic tools . . . 36

2.3 Existence of a measure and a set of full measure where the flow of the transformed problem is defined for convenient times . . . 36

2.3.1 Norms of the Laplace Beltrami operator’s eigenfunctions . . . 37

2.3.2 “Hamiltonian” problem . . . 38

2.3.3 “Hamiltonian” equations and approximation . . . 39

2.3.4 Local well-posedness . . . 39

2.3.5 Measure construction . . . 44

2.3.6 Well-posedness for all times . . . 50

2.3.7 Back to the non linear wave equation on the Euclidean space . . . 56

2.4 Typical properties of the solutions . . . 62

2.4.1 General considerations . . . 62

2.4.2 Lebesgue spaces the initial data belong to . . . 63

2.4.3 Localization . . . 66

2.4.4 Lebesgue spaces the initial data do not belong to . . . 72

2.4.5 Regularity of the second component of the initial datum . . . 75

2.4.6 Consequences regarding the regularity of the solution . . . 79

2.5 Scattering . . . 81

2.5.1 Penrose transformed free evolution . . . 81

2.5.2 Scattering result . . . 81

3 Consequences of the choice of a particular basis of L²(S³) for the cubic wave equation on the sphere and the Euclidean space 84 3.1 Introduction . . . 84

3.2 Almost sure existence of global solutions on the sphere . . . 87

3.2.1 Definition of the initial data and local theory . . . 87

3.2.2 Global solutions on the sphere : case 1 . . . 95

3.2.3 Global solutions on the sphere : case 2 . . . 96

3.3 Reduction to the sphere and almost sure solutions on the Euclidean space . . . 100

3.3.1 Penrose transform and reduction to the sphere . . . 100

3.3.2 Properties of the change of variable . . . 103

3.3.3 Spaces of definition of the initial data . . . 105

3.4 Uniqueness of the solution and scattering . . . 107

3.4.1 Uniqueness . . . 107

3.4.2 Scattering property . . . 110

3.5 Appendix : Uniformly bounded basis . . . 112

4 Invariant measure for the cubic wave equation on the unit ball ofR³ 117 4.1 Introduction . . . 117

4.2 Existence of solution for the cubic NLW . . . 120

4.2.1 Statement of the main results . . . 120

4.2.2 Approximation of the flow by finite dimensional problems . . . 122

4.2.3 Building invariant measures . . . 123

4.3 Uniform convergence of the approached flows . . . 127

4.3.1 Toolbox . . . 127

4.3.2 Local uniform convergence . . . 130

4.3.3 Local invariance . . . 133

4.4 Measure invariance . . . 136

4.4.1 Building sets of full measure with global existence . . . 136

4.4.2 Global invariance . . . 139

5 Wave turbulence for the BBM equation : Stability of a Gaussian statistics under the flow of BBM141 5.1 Introduction . . . 141

5.2 Invariance of the independent Gaussian statistics . . . 145

5.2.1 Linear invariance . . . 145

5.2.2 Approaching the non linear flow thanks to finite dimension . . . 147

5.2.3 Invariance under the non linear flow . . . 149

5.3 A new measure and new equations . . . 154

5.3.1 Perturbation of the measure . . . 154

5.3.2 Perturbation of the flow . . . 157

5.3.3 Properties of the new measure . . . 162

5.4 Convergence of the flows . . . 169

5.4.1 Properties of the finite dimensional operators . . . 169

5.4.2 Local existence and convergence of the finite dimensional perturbed flows . . . 172

5.4.3 Invariance of the perturbed measure under the perturbed flow . . . 176

5.5 Evolution of characteristic functionals . . . 179

5.5.1 Definition of the generating functionals . . . 179

5.5.2 Closeness of the flows . . . 180

5.5.3 Evolution of the perturbed statistics . . . 183

6 On the propagation of weakly nonlinear random dispersive wave 186 6.1 Introduction . . . 186

6.2 Proof of Proposition 6.1.1 . . . 192

6.3 Deterministic estimates for the expansion at order 2 of the solutions . . . 192

6.4 Probabilistic properties . . . 198

6.5 Expansion of the covariances . . . 202

Chapitre 1

Introduction

Cette introduction comporte cinq sections. La premi`ere regroupe quelques motivations physiques et math´ematiques `a l’´etude de l’al´ea dans l’analyse des ´equations aux d´eriv´ees partielles. La seconde pr´esente des r´esultats d’existence et unicit´e de solutions, ainsi que de scattering relatifs `a l’´equation d’onde non lin´eaire. La troisi`eme r´esume des techniques concernant l’invariance de statistique par le flot d’EDPs hamiltoniennes. La quatri`eme pr´esente un r´esultat de stabilit´e pour une mesure invariante par le flot de l’´equation de Benjamin- Bona- Mahony. Enfin, la cinqui`eme introduit un probl`eme apparaissant dans la th´eorie de la turbulence faible statistique et s’int´eressant aux corr´elations impliqu´ees dans l’´etude de l’´evolution de statistiques.

1.1 Introduction g´en´erale

Cette th`ese porte sur l’´etude de l’´evolution de statistiques, ou de mesures sur des espaces de dimension infinie par le flot d’´equations aux d´eriv´ees partielles hamiltoniennes.

1.1.1 Motivations physiques

Plusieurs aspects de la physique mettent en exergue l’utilisation de statistiques ou de probabilit´es. D’une fac¸on g´en´erale, on peut consid´erer que d`es lors qu’un syst`eme physique est constitu´e d’un grand nombre de particules, l’approche statistique est pertinente.

Consid´erons tout d’abord quelques aspects de la physique statistique, ou thermodynamique statistique.

On y distingue la notion de micro-´etat et de macro-´etat. Un micro-´etat d´ecrit le syst`eme ´etudi´e dans son int´egralit´e, c’est-`a-dire, l’´etat de chaque particule du syst`eme est d´etermin´e. `A l’inverse, un macro-´etat ne d´ecrit que certains param`etres macroscopiques, tels que la temp´erature, l’´energie, la pression totale, etc. Ces grandeurs sont ´equivalentes `a une certaine moyenne sur toutes les particules. Un exemple notable en est le calcul de l’´energie cin´etique totale d’un gaz parfait via la statistique de Maxwell-Boltzmann. On cherche alors

`a connaˆıtre l’´evolution de ces param`etres sans avoir `a connaˆıtre l’´evolution du micro-´etat du syst`eme. Un des enjeux de la thermodynamique est de d´eterminer le macro-´etat du syst`eme `a l’´equilibre, on parle alors de phy-

sique statistique `a l’´equilibre. On se base sur le postulat suivant : dans un syst`eme isol´e `a l’´equilibre, chacun des micro-´etats possibles se r´ealise avec la mˆeme probabilit´e.

La formulation de cette th´eorie passe par les notions d’ensembles statistiques (introduits par Gibbs en 1878) : il s’agit de variables al´eatoires d´ecrivant le syst`eme. On distingue l’ensemble micro-canonique, cano- nique, et grand-canonique. Plus particuli`erement, l’ensemble canonique est utilis´e dans la cas d’un syst`eme ferm´e en ´equilibre thermique avec son environnement, le seul flux d’´energie possible avec l’ext´erieur est un flux d’´energie thermique. Dans un tel syst`eme, la probabilit´e d’ˆetre dans un ´etatiest donn´ee par

pi= 1 Z(β)e^−βEi

o`uEiest l’´energie de l’´etati,βest l’inverse de la temp´erature etZ(β) est un facteur de renormalisation.

Les mesures de Gibbs sont une g´en´eralisation de la notion d’ensemble canonique. Pour un syst`eme donn´e, la mesure de Gibbs est l’unique mesure qui maximise l’entropie :

S =−X p_ilnp_i

`a ´energie totale fix´ee,[38]. Dans le cadre pr´ec´edent et `a temp´erature donn´ee, il s’agit bien de : p_i = 1

Z(β)e^−βEi .

Pour un syst`eme hamiltonien, on constate que cette mesure est invariante dans le temps, puisque l’´energie d’un tel syst`eme est constante.

La mesure de Gibbs correspond ainsi `a l’´equilibre thermodynamique d’un syst`eme.

N´eanmoins, elle n’est pas n´ecessairement l’unique mesure invariante dans le temps, ou du moins, l’unique mesure dont certaines caract´eristiques sont pr´eserv´ees. En particulier, dans le cadre de la turbulence faible statistique, on observe d’autres mesures pr´esentant une notion d’invariance par le flot d’´equations d’hydro- dynamique, telle que l’´equation d’ondes capillaires,[56]. Les ensembles statistiques sont des distributions de probabilit´e sur la vitesse d’un fluide. On parle alors d’´equilibre statistique. Ces mesures ne caract´erisent pas l’´equilibre thermodynamique dans le sens o`u elles ne maximisent pas l’entropie, allant ainsi `a l’encontre du deuxi`eme principe de la thermodynamique.

Soyons plus pr´ecis. En turbulence faible, le syst`eme consid´er´e est repr´esent´e comme une fonction d’onde d´ecomposable sur chacun de ses modes de Fourier, et dont l’amplitude de chaque mode de Fourier est une variable al´eatoire, toutes ces variables ´etant li´ees les unes aux autres par l’´equation d’´evolution du syst`eme. On parle d’´equilibre statistique quand la moyenne de chaque amplitude au carr´e est invariante dans le temps. Siu est la fonction d’onde du syst`eme, on a donc

u(t)=X

n

An(t)en

o`uAnest l’amplitude du modeenet v´erifie pour toutn

E(|A˙ n(t)|²)=0

avecEl’esp´erance.

L’introduction d’al´ea dans les mod`eles physiques peut recouvrir d’autres formes. En particulier, lorsqu’on consid`ere l’´evolution d’une particule ou la propagation d’une onde dans un m´edium. Dans un m´edium avec impuret´es, on peut mod´eliser la pr´esence de celles-ci de fac¸on al´eatoire, exprimant ainsi l’incertitude de l’obser- vateur vis-`a-vis de leur nature ou de leur position. Cela g´en`ere des ´equations pr´esentant un potentiel al´eatoire et les solutions de telles ´equations sont bien des variables al´eatoires. On trouve de telles ´equations dans les cadres des condensats de Bose-Einstein (Schr¨odinger non-lin´eaire,[23]), de la propagation d’onde dans des fluides de compressibilit´e variable ou inconnue (Burgers,[4]), et autres. D’autres mod`eles apparaissent avec l’introduc- tion de bruits blanc. Dans le cadre d’´equations paraboliques, on peut trouver les travaux de Kuksin et Shirikyan, [36, 37].

1.1.2 Motivations math´ematiques

L’objet de cette th`ese est d’´etudier des ´equations aux d´eriv´ees partielles dont la condition initiale est une variable al´eatoire. Deux optiques sont `a envisager.

La premi`ere consiste `a trouver presque sˆurement des solutions quand la condition initiale est moins r´eguli`ere que ce qu’impose la th´eorie d´eterministe. On s’est inspir´e des travaux de Burq et Tzvetkov, [15, 16, 17]. En notantH<sup>s</sup>(G) l’espace de Sobolev de la vari´et´e riemannienneG, c’est-`a-dire l’espace topologique sur les distri- butions induit par la norme

k.k_H^s =k(1− 4_G)^s/2 .k_L2

o`u4<sub>G</sub>est l’op´erateur de Laplace-Beltrami surG, ou encore l’espace des distributionssfois d´erivables dansL<sup>2</sup>, la th´eorie d´eterministe peut fournir des solutions `a une ´equation∗quand la condition initialeu₀ est dans H^s avec s ≥ s₀ ou s > s₀. On voudrait alors montrer qu’on peut trouver des solutions quand la condition initiale est dans unH^σ, avecσ < s₀, c’est-`a-dire en imposant moins de conditions de r´egularit´e `a la donn´ee initiale.

On veut donc trouver une variable al´eatoireu₀sur un espace de probabilit´e Ftelle que pour presque tout ω∈F:

– il existe une unique (dans un sens `a d´eterminer) solution `a l’´equation * avec donn´ee initialeu₀(ω), – u₀(ω) appartient `aH^σ,σ <s₀,

– u₀(ω) n’appartient pas `aH^s0.

Plusieurs id´ees permettent d’envisager l’existence de telles variables al´eatoires. Tout d’abord, certaines variables al´eatoires permettent de gagner en int´egrabilit´e si ce n’est en r´egularit´e. En effet, siu₀est un vecteur gaussien `a valeurs dans H<sup>σ</sup>, il sera presque sˆurement dans un W<sup>σ0,p</sup> (les fonctions σ<sup>0</sup> fois d´erivables dans L<sup>p</sup>) permettant plus de libert´e sur p qu’une injection de Sobolev. Dans certains cas, on a mˆemeσ = σ<sup>0</sup>, et p∈[1,∞[. Cette premi`ere ´etape permet de r´esoudre le probl`eme de Cauchy localement en temps. En effet, en s´eparant la solutionude * en une partie lin´eaireS(t)u<sub>0</sub>et une partie non lin´eairev, on r´esoudra un probl`eme de point fixe survdans des espaces de r´egularit´e en accord avec la th´eorie d´eterministe, mais non pas en imposant

`a la partie lin´eaire d’ˆetre tr`es r´eguli`ere mais tr`es int´egrable. Or, on imagine que la loi deS(t)u0 pr´esente des similarit´es avec celle deu₀.

Ensuite, une des possibilit´es pour montrer l’existence et l’unicit´e de solutions globales passe par l’utilisation de mesures au moins formellement invariantes par des ´equations hamiltoniennes. En effet, pour une ´equation

hamiltonienne :

ut = J5_uH(u)

avec J un op´erateur antisym´etrique et H une fonctionnelle s’´ecrivant HK +Hp, avec Hk l’´energie cin´etique, quadratique, ie de de la forme

H_K =hu, Kui

o`uKest un op´erateur auto adjoint surL², la mesure de Gibbs, qui est une renormalisation de e^−H(u)dL(u)

avec L la mesure de Lebesgue sur un espace appropri´e est formellement invariante par le flot de l’´equation, puisque H(u) est lui-mˆeme invariant. Notons que l’on a besoin d’un cadre hamiltonien pour que la mesure de Lebesgue soit invariante (th´eor`eme de Liouville). Cette mesure est dans certains cas la mesure image d’une variable al´eatoire `a valeurs dans un espace de faible r´egularit´e. On pose pour cela (gn)nune suite de gaussiennes r´eelles centr´ees normalis´ees ind´ependantes et (en)nune base deL²form´ee de vecteurs propres de l’op´erateurK d’´energie cin´etique associ´es aux valeurs propresλn>0, c’est-`a-dire

H_K(u)=hu,Kui_L2 =X

n

λn|hu,e_ni|² . La variable al´eatoire qui nous int´eresse est donn´ee par :

u₀=X

n

λ⁻¹_n gnen.

En effet, c’est une variable gaussienne de matrice de covarianceK⁻¹. En posantµla mesure induite surL²par une telle variable, on a de fac¸on heuristique queµest une renormalisation de

e^−hu,KuidL(u)=e^−HK(u)dL(u) puis en multipliant cette mesure pare^−Hp(u), on obtient la mesure de Gibbs.

En utilisant une telle mesure comme condition initiale, on peut alors contrˆoler la norme de la solution `a des temps discrets sans nuire `a la valeur de la mesure de l’espace sur lequel on propage la solution de proche en proche grˆace `a la th´eorie locale, et ainsi obtenir presque sˆurement des solutions globales. Autrement dit, pour unR>0, et des suitesRnetTn→ ∞appropri´ees (qui d´ependent deR), en posant

En(R)={ω|la solutionuavec condition initialeu₀(ω) existe et est unique jusqu’au tempsTnetku(Tn)k ≤Rn} on peut propager la solution de proche en proche et v´erifier que

E=[

R

\

n

E_n(R)

est de mesure pleine, d’o`u l’existence et l’unicit´e presque sˆure de solutions

Par ailleurs, pour ´etudier l’´equation d’onde sur’³, on utilise une transformation conforme qui rend compact l’espace de phase, ce qui fournit de surcroˆıt des r´esultats de scattering.

Comme il a ´et´e mentionn´e, on peut trouver des mesures formellement invariantes par des ´equations hamil- toniennes. Un autre objectif est alors d’´etudier de tels objets. Tout d’abord, il s’agit de lever le caract`ere formel de cette invariance, dans l’esprit du travail de Bourgain [7, 8, 9]. Pour des ´equations en dimension finie, l’in- variance s’obtient en utilisant le th´eor`eme de Liouville (qui assure l’invariance de la mesure de Lebesgue) puis l’invariance de l’´energie. En effet, en dimension finie, la mesure de Lebesgue et l’´energie sont bien d´efinies, ce qui permet de d´eriver l’invariance de fac¸on effective et non formelle. Il s’agit alors d’approcher l’´equation en dimension infinie par des ´equations en dimensions finies telles que les flots des ´equations finies convergent uniform´ement sur tout compact de l’espace de dimension infinie.

Une fois l’invariance prouv´ee, on peut se poser la question de la stabilit´e de telles mesures.

Ici, la stabilit´e est ´etudi´e de deux points de vue diff´erents. Dans le cas de l’´equation de Benjamin-Bona- Mahony (BBM), il existe une mesure invariante qui prend la forme d’un vecteur gaussien sur H^1/2− dont la matrice de covariance est l’inverse de 1− 4. Afin de pr´eserver le cadre gaussien, on a modifi´e la mesure en mo- difiant la matrice de covariance avec un param`etre de perturbationV. On a alors ´etudi´e la loi de la mesure `a tra- vers le flot de BBM et constat´e qu’elle restait ”proche” de sa valeur initiale, dans le sens o`u la diff´erence de leur fonctionnelles caract´eristiques ´etait born´e par|V|, bien que l’estim´ee en temps soit exponentielle. L’id´ee ´etait d’ajouter des corr´elations entre les amplitudes associ´ees aux diff´erentes longueurs d’onde. En effet, l’op´erateur lin´eaire correspondant `a la lin´earisation en 0 de BBM admet les mˆemes fonctions propres que la matrice de covariance de la mesure invariante. Les diff´erentes longueurs d’ondes, correspondant `a ces fonctions propres restaient donc ind´ependantes lorsqu’on utilisait la mesure invariante. En modifiant la matrice de covariance (en la d´e-diagonalisant) on ajoute donc des corr´elations entre les diff´erents modes propres de l’´equation. ´Etudier l’´evolution revient alors en partie `a ´etudier l’´evolution des corr´elations entre les modes propres de l’´equation.

La stabilit´e de l’ind´ependance des modes propres est alors entr´ee en jeu. En effet, si l’on consid`ere une

´equation lin´eaire :

iut = Hu

avec H un op´erateur lin´eaire hermitien diagonalisable de vecteurs propres en et de valeurs propres λn, on constate que la loi de

u₀(ω)=X

n

g_n(ω)en

est invariante par le flot

S(t)(u0(ω))=X

n

e^−iλntgn(ω)en

d`es lors que lesg<sub>n</sub>sont des i.i.d. dont la loi est invariante par multiplication par un complexe de module 1. Les modes propres de cette ´equation sont ind´ependants les uns des autres. On a alors cherch´e `a ´etudier l’´evolution de la covariance entre deux modes propres lorsqu’une non lin´earit´e quadratique est ajout´ee `a l’´equation. Pour ˆetre exacte, cette ´etude a ´et´e r´ealis´ee dans un cadre r´eel et non complexe mais l’id´ee reste la mˆeme. On peut voir l’´etude complexe comme une ´etude dans le cadre r´eel en doublant la dimension quoi qu’il en soit. En plac¸ant

un param`etre de perturbationεdevant la non-lin´earit´e, on constate que la correction apport´ee aux covariances est d’ordreε²et nonεcomme on aurait pu l’imaginer.

1.2 Caract`ere bien pos´e de l’´equation d’onde non lin´eaire

Cette partie de l’introduction pr´esente les chapitre 2,3.

Les questions de probl`eme de Cauchy bien-pos´e pour des donn´ees initiales ´etant des variables al´eatoires peu r´eguli`eres ont ´et´e initi´ees par Burq et Tzvetkov, [15, 16], mais on peut aussi remarquer les travaux de Nahmod, Pavlovi´c, et Staffilani, [44] et de Colliander et Oh, [22].

Nous nous sommes int´eress´es au probl`eme de Cauchy pour l’´equation d’onde non lin´eaire : ( (∂²_t − 4_G)u+|u|^αu=0

u(t=0)=u₀ ∂tu(t=0)=u₁ (1.1)

o`uGest soit la sph`ere de dimension 3,S³, soit l’espace euclidien’³,α∈[2,3[ etu₀etu₁sont deux variables al´eatoires `a d´efinir plus tard.

On a distingu´e deux cas : celui o`u la condition initiale pr´esente une sym´etrie (zonale pour la sph`ere, sph´erique pour’³), et le cas g´en´eral. Dans le cas g´en´eral, il existe une base deL²(S³) de fonctions propres du laplacien uniform´ement born´ees dansL^pquel que soit p. Ce n’est pas vrai dans le cas `a sym´etrie. Cela permet de donner des propri´et´es sur une variable al´eatoire correctement choisie que l’on n’a pas dans le cas sym´etrique.

Aussi, les strat´egies utilis´ees sont diff´erentes. Ces travaux sont largement inspir´es de ceux de Burq et Tzvetkov, [15, 16, 17].

Remarquons que cette ´equation admet pour invariant, en notantΨ(t)(u₀,u₁)=(u(t), ∂tu(t)) : E(Ψ(t)(u0,u₁))= 1

2 Z

(∂tu)²+ 1 2

Z

| 5u|²+ 1 α+2

Z

|u|^α+2

= E(u0,u₁)= 1 2

Z

(u1)²+ 1 2

Z

| 5u₀|²+ 1 α+2

Z

|u₀|^α+2.

1.2.1 Cas sym´etrique

Nous pr´esentons ici le chapitre 2.

Sur la sph`ere D´ecrivons les objets mis en jeu dans ce cadre.

Sur la sph`ere, on remplace4par4 −1 de fac¸on `a pouvoir traiter la fr´equence 0. L’´energie devient : E(v0,v₁)= 1

2

k 5v₀k²

L²+kv₀k²

L² +kv₁k²

L²

+ 1

α+2kv₀k^α+2

L^α+2 .

Tout d’abord, une distribution ude S³ est dite `a sym´etrie zonale si elle ne d´epend que de la distance `a un pˆole de la sph`ere. Si on note (θ, ϕ,R) les coordonn´ees sph´eriques deS<sup>3</sup>alorsune d´epend que deR. On dispose alors d’une base orthogonale des fonctionsL<sup>2</sup> `a sym´etrie sph´erique :

e_n(R)= 1

√2π

sin(nR) sin(R)

´etant ´egalement des vecteurs propres de l’op´erateur de Laplace-Beltrami deS³: 4_S3e_n=−n²+1.

Notons que les normesL^pde ces fonctions v´erifient : ke_nk_L^p ≤











Cp si p<3 Clnn sip=3 C_pn^1−3/p sinon, ce qui n’assure pas une borne uniforme quand pest sup´erieur `a 3.

Soit (hn)net (ln)ndeux suites de variables al´eatoires sur un espace de probabilit´eFr´eelles ind´ependantes de loi normaleN(0,1/2).

On pose alors

u₀=X

n≥1

h_n

|n|e_netu₁=X

n

l_ne_n.

Ces s´eries convergent dans L²(F,H^1/2−) et L²(F,H^−1/2−). Elles induisent une mesure de probabilit´e µ sur H^1/2−×H^−1/2−. Les espacesH^1/2−etH^−1/2−d´esignent :

H^1/2−= [

s<1/2

H^setH^−1/2−= \

s<−1/2−

H^s. Notons queµest formellement ´egal `a

dµ(v₀,v₁)=e⁻

1 2(k5v0k²

L2+kv₀k²

L2+kv₁k²

L2)

dL(v0)⊗dL(v1).

En effet, µ est un vecteur gaussien de matrice de covariance (−4)⁻¹ ⊕ Id, −(4)⁻¹ agissant sur la premi`ere composantev₀etIdsur la secondev₁. En multipliantµpare⁻

α1+2kv0k^α+2

Lα+2, on forme la mesure dρ(v₀,v₁)=e^−E(v0,v1)dL(v0,v₁)

o`uEest l’´energie initiale de l’´equation d’onde avec pour donn´ee initiale (v<sub>0</sub>,v<sub>1</sub>). La mesureρest formellement invariante par le flot de l’´equation d’onde dans le sens o`u en appelantΨ(t)(v₀,v₁)=(v(t), ∂tv(t)) le flot, on a

dρ(Ψ(t)(v0,v₁))=e^{−E(Ψ(t)(v0,v1))}dL(Ψ(t)(v0,v₁))=e^−E(v0,v1)dL(v0,v₁)=dρ(v₀,v₁)

puisque la mesure de Lebesgue est invariante par les flots hamiltoniens et l’´energie ne d´epend pas du temps.

En utilisant cette mesureρ, on obtient l’existence d’un ensembleE⊆H^1/2−×H^−1/2−de fonctions `a sym´etrie zonale tel que :

– Eest de mesureρpleine :ρ(E^c)=0,

– quel que soit (v₀,v₁)∈E,v₀,v₁n’appartient pas `aH^1/2×H^−1/2,

– le probl`eme de Cauchyv+∂<sup>2</sup><sub>t</sub>v−4<sub>S</sub>3v+|v|<sup>α−1</sup>v=0 avec condition initialev<sub>0</sub>,v<sub>1</sub>admet une unique solution dansS(t)(v0,v<sub>1</sub>)+C(’,H<sup>s</sup>) pour uns>1/2 o`uS(t) est le flot de l’´equation lin´eaire∂²_t − 4_S3 =0.

Remarquons que par des arguments de scaling, on obtient que le probl`eme de Cauchy est critique pos´e dans H^slorsques=3/2−2/α≤1/2 (pourα≥2). On a donc ici des r´esultats de faible r´egularit´e surcritique.

On observe que la solution est dans un espace particulier. En effet, on passe par la s´eparation de la solution en une partie lin´eaireS(t)(v₀,v₁) et une partie non lin´eaire. La partie lin´eaire est moins r´eguli`ere que la partie non lin´eaire. Cette partie non lin´eaire v´erifie :

w+∂²_tw− 4_S3w+|S(t)(v₀,v₁)+w|^α(S(t)(v₀,v₁)+w)− |S(t)(v₀,v₁)|^αS(t)(v₀,v₁)=0

avec condition initiale (0,0). En utilisant une in´egalit´e de Strichartz, on constate qu’on a existence locale de la solution pour la partie non lin´eaire d`es lors queS(t)(v0,v<sub>1</sub>) appartient `a un L^p, o`u pd´epend de s, localement en temps et globalement sur la sph`ereS³. Or, cette propri´et´e est v´erifi´eeρ-presque sˆurement grˆace `a la forme gaussienne de (u₀,u₁).

Pour d´emontrer l’existence globale, on r´eduit l’´equation `a la dimension finie en utilisant le projecteur or- thogonalΠN dansL²sur l’espaceEN engendr´e lin´eairement par l’ensemble{en |n≤ N}. L’´equation devient :

∂²_tv− 4_S3v+ ΠN |v|^αv=0

avec pour condition initiale (ΠNv₀,ΠNv₁). En modifiantρ, on obtient une mesureρNsurE_Ninvariante par le flot de cette ´equation. On peut aussi montrer que les solutions (globales)vNde ces ODE convergent uniform´ement sur tout compact deL²et en particulier sur les boules deH^σvers la solution (locale) de l’´equation en dimension infinie et que les mesuresρN convergent en un sens versρ. En choisissant de contrˆoler les normes :

kS(t)vNk_L^p

pour toutN `a des temps discrets appropri´es, on propage la solution en dimension infinie de proche en proche.

Grˆace `a l’invariance desρN par le flot des ´equations en dimension finie, on obtient un ensembleEde mesureρ pleine sur lequel on a existence et unicit´e globale de la solution. L’ensembleEest contenu dansH^1/2−×H^−1/2− mais ses ´el´ements ne sont presque sˆurement pas dansH^1/2×H^−1/2−.

Sur l’espace euclidien’³ Pour ´etendre les solutions `a l’´equation d’onde sur’³, on utilise la transform´ee de Penrose, qui injecte’×’³dans [−π, π]×S³par le changement de variables :

(t,r, ω)7→(T =Arctan (t+r)+Arctan (t−r),R=Arctan (t+r)−Arctan (t−r), ω) . AvecΩ =cosR+cosT = √ ²

(1+(t+r)²)(1+(t−r)²), et f(t,r)= Ω⁻¹v(T,R), sivv´erifie l’´equation

∂²_Tv+(1− 4_S3)v+ Ω^α−2|v|^αv=0 (1.2)

avec pour condition initiale (v0,v₁), alors f v´erifie

∂²_t f − 4_’3f+|f|^αf =0 avec pour condition initiale

f₀(r)= Ω⁻¹(0,r)v₀(R), f₁(r)= Ω⁻²(0,r)v₁(R).

L’´equation ci-dessus (1.2) est certes diff´erente de l’´equation d’onde non lin´eaire mais le mˆeme travail peut ˆetre fait sur cette ´equation et on obtient ainsi une mesureρ⁰sur les mˆemes espaces et un ensembleE⁰deρ⁰ mesure pleine dans lequel on a existence et unicit´e de l’´equation. Notons que les fonctions zonales sont envoy´ees sur des fonctions radiales.

A travers la transform´ee de Penrose, on obtient une mesure` ηet un ensembleF de ηmesure pleine, dans lequel on a existence de solution pour l’´equation d’onde non lin´eaire. La norme L<sup>p</sup>, p ≥ 4 en temps et en en espace de la transform´ee f de vest inf´erieure `a la norme L^pde vsur [−π, π]×S³. On obtient ainsi que f appartient `aL(t)(f<sub>0</sub>,f<sub>1</sub>)+C(’,H<sup>s</sup>), pour uns>1/2 et o`uL(t) est le flot de l’´equation lin´eaire∂²_t − 4_’3 =0 par des m´ethodes locales et on obtient l’unicit´e par r´ecurrence et propagation des estim´ees sur les normes.

Cette solution satisfait des propri´et´es de scattering dans les espaces de Lebesgue L^q avecq suffisamment grand.

En ´etudiant ´egalement les propri´et´es de la mesureηimage par Penrose deµ, on obtient le r´esultat d´emontr´e au chapitre 2, th´eor`emes 1, 2 :

Th´eor`eme 1.2.1. Pourη-presque tout(f₀, f₁), – (f₀,f₁)∈L^p×W^−1,ppour tout p∈]2,6[,

– (f₀,f₁)n’appartient pas `a L^p×W^−1,p, pour tout p<2et p>6,

– f₀ est localis´ee en espace, dans le sens o`u|f₀(r)|est un O(r^−(1+γ))pourγ ∈]0,1/2[quand r tend vers +∞.

On a aussi, `a propos de l’´etude de l’´equation d’onde non lin´eaire : Th´eor`eme 1.2.2. Il existe un ensemble F deηmesure pleine tels que :

– l’´equation d’onde non lin´eaire admet une unique solution f dans L(t)(f₀,f₁)+C(’,H^s)pour un s>1/2, – kf−L(t)(f₀,f₁)kL^q tend vers0quand t tend vers±∞pour tout

q∈] max(4,^3α₂ ),⁹₂[.

L’espaceW^−1,pd´esigne l’espace topologique induit par la norme : k.k_W−1,p =k(1− 4_’3)⁻¹.k_L^p .

La non-appartenance aux espaces mentionn´es d´erivent du th´eor`eme de Fernique, [30] et du fait queρest abso- lument continue par rapport `a une variable gaussienne :

Th´eor`eme 1.2.3 (Fernique). Soit X un vecteur gaussien sur un espace de Banach B et N une semi-norme sur B, c’est-`a-dire une application de B dans’⁺∪ {+∞}, homog`ene, d´efinie positive et v´erifiant l’in´egalit´e triangulaire, si N(X)est finie presque sˆurement alors pour tout p≥0, on a

E(N^p(X))<∞.

Quant `a l’appartenance de f<sub>1</sub>`aW^−1,p,p∈]2,6[ et la localisation de f₀, elles sont issues d’une description de la d´erivation fractionnaire dˆue `a Zygmund, [58] comme le produit de convolution avec une fonction r´eguli`ere.

En voyant f₀ et f₁ comme les d´eriv´ees fractionnaires de certaines applications, on en d´eduit des propri´et´es de r´egularit´es sur ces fonctions, qui entraˆıne l’appartenance aux espaces mentionn´es et la localisation de f₀. 1.2.2 Cas non sym´etrique

Le cas g´en´eral peut sembler a priori plus difficile `a traiter que le cas sym´etrique. Mais comme il a ´et´e dit plus haut, le fait d’avoir ”plus” de fonctions propres du laplacien permet d’obtenir une base orthogo- nale de L<sup>2</sup> constitu´ee de tels fonctions uniform´ement born´ees dans L<sup>p</sup>. Ceci a pour cons´equence de changer consid´erablement notre strat´egie pour l’existence globale. Nous n’utiliserons plus une invariance de mesure mais une estim´ee d’´energie. On all´egera alors les hypoth`eses sur la condition initiale, elle n’aura plus besoin d’ˆetre une gaussienne mais de v´erifier certaines estim´ees dites de large d´eviation.

Sur la sph`ere On utilise un th´eor`eme de Burq et Lebeau, [12] :

Th´eor`eme 1.2.4(Burq, Lebeau). Il existe une base orthogonale de L²(S³), (en,k)n≥1,1≤k≤(n+1)²

telle qu’il existe Cptel que

(1− 4_S3)en,k=n²e_n,k etke_n,kk_L^p ≤C_p.

On pose ´egalement (h_n,k)_n,k et (l_n,k)_n,k deux suites d’i.i.d. r´eelles satisfaisant des estim´ees gaussiennes de grandes d´eviations, cons´equentes du fait qu’il existectel que pour toutγ∈’,

E(e^γhn,k),E(e^γln,k)≤e^cγ2 . On peut supposer queE(h²_n,k)= E(l²_n,k)=1.

Enfin, on pose (λn,k)n,k et (µn,k)n,k deux suites de r´eels v´erifiant : X

n,k

|n|^2σ|λn,k|²<∞et X

n,k

|n|^2(σ−1)|µn,k|²<∞

pour unσ≥0 donn´e et

X

n,k

|n|^2s|λ_n,k|²=∞et X

n,k

|n|^2(s−1)|µ_n,k|²=∞

pour touts> σ.

La condition initiale est alors donn´ee par les variables al´eatoires : u₀=X

n,k

λn,kh_n,ke_n,k, u₁=X

n,k

µn,kl_n,ke_n,k.

Ces variables appartiennent presque sˆurement `aH<sup>σ</sup>etH<sup>σ−1</sup>respectivement et, dans le cas o`u lesh_n,ketl_n,ksont des gaussiennes, elles n’appartiennent presque sˆurement pas `aH^setH^s−1respectivement. Elles induisent une mesureµsurH^σ×H^σ−1. Le support de cette mesure est dense dansH^σ×H^σ−1, [17], lorsque les coefficients µ_n,ketλ_n,k sont non nuls et que les distributions deh_n,k,l_n,k satisfont certaines propri´et´es v´erifi´ees par exemple par des variables gaussiennes.

Avec une telle mesure initiale on ´etudie l’´equation d’onde non lin´eaire cubique : ( ∂²_tv− 4_S3v+v³=0

v(t=0)=v₀ ∂tv(t=0)=v₁ . (1.3)

On noteU(t) le flot de l’´equation lin´eaire∂²_t − 4_S3 =0.

On a le r´esultat suivant (qu’on retrouvera au Chapitre 3, Theorem 3.1.1) :

Th´eor`eme 1.2.5. Il existe un ensemble E deµ-mesure pleine tel que pour tout(v₀,v₁)∈E : – (v0,v₁)∈H^σ×H^σ−1,

– l’´equation(1.3)admet une unique solution dans U(t)+C(’,H¹(S³)),

– si les h_n,k et l_n,ksont des gaussiennes,(v₀,v₁)n’est pas dans H^s×H^s−1pour s> σ.

L’existence locale vient du fait queU(t)(u0,u₁) appartient presque sˆurement `aL<sup>p</sup>(S<sup>3</sup>) pourp<∞siσ=0 etp ∈[1,∞] siσ >0. En effet, en ´etudiant l’´equation que v´erifie la partie non lin´eaire de la solution de (1.3), c’est-`a-dire :

∂²_tw− 4_S3w+(U(t)(v0,v₁)+w)³−(U(t)(v0,v₁))³ =0 on obtient l’existence et unicit´e locale dansC([−T,T],H¹(S³)) d`es lors que

U(t)(v₀,v₁) appartient `aL<sup>3</sup>([−T,T],L<sup>6</sup>(S<sup>3</sup>)). Or, on a existence presque sˆure deU(t)(u<sub>0</sub>,u<sub>1</sub>) `a cet espace pour les raisons suivantes : pour tout couple de suites ((an,k)n,k,(bn,k)n,k) dansl², on a

kX

n,k

a_n,kh_n,k+b_n,kl_n,kk_L^q

P ≤C









 qX

n,k

a²_n,k+b²_n,k











1/2

o`uL^q_Pd´esigne la normeL^qsur l’espace de probabilit´e.

On en d´eduit par, entre autres, une in´egalit´e de Minkowski, que pour toutq≥ p, kU(t)(u₀,u₁)k_L^q

P,L^p(S³)≤C|t|√ q









 X

n,k

|λ_n,k|²ke_n,kk²_Lp +|µn,k

n |²ke_n,kk²_Lp











1/2

<∞

d’o`u l’int´erˆet d’avoir des bornes uniformes ennpour les normesL^p dese_n,k. On a donc que la normeL^pde U(t)(u₀,u₁) est finie presque sˆurement.

Lorsqueσ >0, on utilise une in´egalit´e de Sobolev pour borner presque sˆure- ment la norme kU(t)(u₀,u₁)k_L^∞_(S3).

On obtient ainsi existence et unicit´e locale en temps presque sˆurement.

Pour l’existence globale, on utilise une in´egalit´e d’´energie sur la partie non lin´eaire de la solution : E(w)= 1

2k∂twk²

L² + 1 2k 5wk²

L² + 1 4kwk⁴

L⁴ .

On montre par un lemme de Gronwall que cette ´energie reste born´ee, ce qui assure l’existence.

Remarquons que pourσ >0, le fait queU(t)(u₀,u₁) appartienne `aL¹localement en temps etL^∞en espace permet une preuve relativement rapide tandis le casσ= 0 requiert une d´efinition pr´ecise de l’ensembleE sur lequel l’´equation (1.3) est globalement bien pos´ee ainsi qu’un argument de bootstrap.

Notons que ces arguments sont valables lorsqu’on remplace le laplacien4_S3 par4_S3−1.

Sur’³ Pour prouver l’existence presque sˆure de solutions sur’³ on utilise une fois de plus la transform´ee de Penrose. On se place dans le casσ=0.

On pose :

PT⁻¹₀ (v0,v₁)(r, ω)=

Ω(t=0,r)v0(R(t=0,r), ω),Ω²(t,r)v1(R(t=0,r), ω) , PT⁻¹v(t,r, ω)= Ω(t,r)v(T,R, ω),

de sorte que sivest une solution sur la sph`ere avec pour condition initiale (v0,v₁) alors PT⁻¹vest une solution sur’³avec pour condition initiale PT⁻¹(v0,v₁).

H₀^s={f , kfkH^s

0 :=k 2

1+r²

!1/2

(1−H₀)^s/2fk_L2}

H₁^s={f , kfk_H^s

1 :=k 2

1+r²

!−1/2

(1−H₁)^s/2fk_L2} o`u H₀etH₁ sont des op´erateurs diff´erentiels d’ordre 2 etkfk_H^s

0 ,kfk_H^s

1 sont bien des normes. Ces espaces et op´erateur son introduits `a cause du changement de variable impliqu´e dans la transformation de Penrose.

L’application PT⁻¹₀ est continue deL²×H⁻¹dansH₀⁰× H₁⁻¹. On pose pour toutAbor´elien deH₀⁰× H₁⁻¹, ν(A)=µ(PT₀(A))

et

F=PT⁻¹₀ (E)

de sorte queF est deνmesure pleine et que pour tout (f₀,f₁) ∈F, il existe (v0,v₁) ∈Eet donc une solutionv de

∂²_tu+(1− 4_S3)u+u³=0

avec pour condition initiale (v0,v₁). La fonction f =PT⁻¹vest alors solution de

∂²_t f− 4_’3f + f³ =0

avec pour condition initiale (f₀,f₁) ce qui assure l’existence presque sˆure de solutions.

L’unicit´e vient du fait que la norme L^p de f est born´ee par celle de ven temps et en espace d`es lors que p≥4. On a :

kfk_Lp(’×’³) ≤ kvk_Lp([−π,π]×S³). On en d´eduit que f appartient `aL<sup>p</sup>, puis que f appartient `a

L(t)(f₀, f₁)+C(’,H¹(’³))

o`u L(t) est le flot de l’´equation lin´eaire∂²_t − 4_’3 = 0. On obtient l’unicit´e par un lemme de Gronwall sur l’´energie de la partie non lin´eaire f(t)−L(t)(f₀, f₁). On a ´egalement un r´esultat de scattering. On obtient le r´esultat (qu’on retrouvera au Chapitre 3, Theorem 3.1.2) suivant :

Th´eor`eme 1.2.6. Pour tout(f₀,f₁)dans F, on a : – (f₀,f₁)∈ H₀⁰× H₁⁻¹,

– il existe une unique solution `a l’´equation d’onde cubique avec pour donn´ee initiale(f₀, f₁), – pour tout q∈]¹⁸₅,6], la norme L^qde f(t)−L(t)(f₀, f₁)est un O((1+t²)^−1/6),

– si les h_n,k et l_n,ksont des gaussiennes alors(f₀,f₁)n’est pas dansH₀^s× H₁^s−1.

1.3 Invariance de mesure

On a vu que l’existence et unicit´e de solutions presque sˆure pour l’´equation d’onde non lin´eaire dans le cas

`a sym´etrie radiale est en partie dˆu `a l’invariance de mesures en dimension finie. On s’est ´egalement demand´e comment ´etendre un r´esultat d’invariance en dimension finie `a la dimension infinie. Remarquons qu’il s’agit d’´etendre en dimension infinie l’invariance de la mesure de Gibbs par des ´equations hamiltoniennes, [8, 7, 42, 47, 43]. Ce travail est inspir´e par celui de Burq, Thomann et Tzvetkov, [13].

Cette partie de l’introduction se rapporte au chapitre 4.

1.3.1 Invariance de la mesure gaussienne par le flot lin´eaire

A pr´esent , on ´etudie l’´equation d’onde cubique sur la boule unit´e de` ’<sup>3</sup>avec condition au bord de Dirichlet et `a sym´etrie radiale :

( ∂²_tu− 4_B3u+u³ =0

u(t=0)=u₀ ∂tu(t=0)=u₁ . (1.4)

On posee_n,n ≥ 1 la fonction propre radiale du laplacien associ´ee `a la valeur propre −n² et (hn)n et (ln)n

deux suites de gaussiennes centr´ees normalis´ees r´eelles et ind´ependantes les unes des autres. On pose alors : u₀=X

n

hn

ne_netu₁=X

n

l_ne_n etµla mesure (gaussienne) induite surH^σ×H^σ−1pour unσdans ]0,¹₂[.

On voudrait montrer l’invariance de cette mesure par le flotS(t) de l’´equation :

∂²_tu− 4_B3u=0. On note ´egalementµN la mesure induite par :

X

n≤N

hn

nenet X

n≤N

lnen. Cette mesure est invariante parS(t) car elle est de la forme :

dµN((v0,v₁)=e^{−k5v0k2L2−kv1k2L2}dL(v0,v₁) o`u L est a mesure de Lebesgue etk 5v₀k²

L² +kv₁k²

L² est l’´energie initiale (et donc en tout temps) associ´ee `a l’´equation d’onde lin´eaire avec pour condition initiale (v0,v₁).

La d´emonstration utilise plusieurs ingr´edients :

– le fait que pour touts< ¹₂, il existeC_s,c_stelles queµ(ku₀k_H^s+ku₁k_H⁻1 ≥R)≤C_se^−csR2, ce qui est dˆu au fait que la mesure est gaussienne, et donc v´erifie des estim´ees gaussiennes de grande d´eviation,

– les boules ferm´es deH^ssont compactes dansH^σ, pour s> σ,

– l’espace vectorielE_Nengendr´e par{e_n|n≥N}est stable par le flotS(t).

– S(t) est une isom´etrie deH^s,

– le flot est r´eversible (S(t)◦S(−t)=Id).

En utilisant les deux premiers arguments, on montre que pour tout ouvertUdeH^σ, on a : µ(U)≤lim inf

N µN(U∩E_N), et de mˆeme, pour tout ferm´eF,

µ(F)≥lim supµN(F∩EN).

Une suite d’in´equations sur µ(S(t)F) permet de montrer que pour tout ferm´e, on a µ(S(t)F) ≥ µ(F), la r´eversibilit´e du flot donne l’´egalit´e et on d´eduit l’´egalit´e sur tout ensemble mesurable car S(t) pr´eserve la topologie deH^σ.

1.3.2 Invariance par le flot non lin´eaire

Pour avoir une mesure dont on peut esp´erer avoir l’invariance par le flot de l’´equation non lin´eaire, on va multiplier la mesuredµpare⁻

1 2kv₀k⁴

L4. En effet, ¹₂kv₀k⁴

L⁴ est le terme non-quadratique (et donc non issu de l’´equation lin´eaire) de l’´energie.

dρ((v₀,v₁)=e⁻

1 2kv₀k⁴

L4dµ(v₀,v₁). On obtient le r´esultat suivant (qu’on retrouvera au Chapitre 4, Theorem 4) :

Th´eor`eme 1.3.1. Il existe un ensemble E deρ-mesure pleine tel que pour tout ensemble A⊆ E,ρmesurable de H^σ, le flotΨ(t)de(1.4),Ψ(t)(v0,v₁)=(v(t), ∂tv(t))est globalement bien d´efini dans S(t)(v0,v₁)+C(’,H^s), s>1/2et pour tout t∈’:

ρ(Ψ(t)A)=ρ(A).

On va ´egalement utiliser l’invariance de mesures par des flots en dimension finie.

Ce travail se distingue de pr´ec´edents r´esultats d’invariance dˆu au fait que la projectionL²-orthogonaleΠN

sur l’espace de dimension finie engendr´e par les N premiers modes de l’´equation n’est pas continue sur les espaces o`u le probl`eme est localement bien pos´e. Le travail de Burq, Thomann et Tzvetkov [13] r´esout cette difficult´e mais le point de vue adopt´e ici est l´eg`erement diff´erent.

Pour cela, on approche l’identit´e deH^σpar des op´erateursS_N `a valeurs dansE_N. On pose

dρN((v₀,v₁)=e^{−12kSNv0k4L4}dµ(v₀,v₁). etv_N la solution de

∂²_tvN− 4_B3vN+SN(SNvN)³=0 (1.5) avec pour condition initiale (v0,v₁).

La mesureρNest un produit cart´esien de mesures :

ρN =ρ⁰_N⊗µ^N ,

o`udρ⁰_N(v₀,v₁)=e^{−12kSNv0k4L4}dµN(v₀,v₁) est une mesure surE_Ninvariante par l’´equation∂²_tv−4_B3v+S_N(SNv)³= 0, cette ´equation ´etant hamiltonienne surEN×EN, etµ^N est la mesure induite par

X

n>N

h_n

n e_net X

n>N

l_ne_n

invariante par S(t) sur le suppl´ementaire dans H^σ de E_N. On en d´eduit que ρN est invariante par le flot de l’´equation (1.5) puisquevNs’´ecrit comme la somme d’une solution de (1.5) avec condition initiale dansEN×EN

et d’une solution de l’´equation lin´eaire dans le suppl´ementaire.

L’invariance deρd´epend de deux r´esultats de convergence :

Tout d’abord la suiteρNtend versρen variation totale, ce qui signifie ici que : sup

A

|ρN(A)−ρ(A)| →N→∞0.