Physique Statistique

Paris 7 PH 402

–

Physique Statistique

EXERCICES Feuille 1 : Probabilit´es

1

Distribution binomiale

On dispose de pi`eces de monnaie, pas franches mais identiques, pour lesquelles la probabilit´e de tomber du cˆot´e pile vautp (et du cˆot´e face,q= 1−p). On jetteN pi`eces.

1. Donner la loi de probabilit´e PN(n) pour trouver n pi`eces du cˆot´e pile (v´erifier que la somme des probabilit´es est ´egale `a 1).

2. Calculer la valeur moyenne du nombre de pi`eces tomb´ees cˆot´e pile et l’´ecart quadratique moyen de ce nombre. (Un truc :n xⁿ ≡x(d/dx)xⁿ.)

2

Marche de l’ivrogne

Dans son couloir, chaque fois qu’il se rel`eve l’ivrogne effectue un pas de longueur aavant de s’affaler

`

a nouveau. Deux pas successifs sont ind´ependants, et il n’y a pas de sens priviligi´e. Quelle est la probabilit´e pour qu’apr`es N tentatives l’ivrogne se soit d´eplac´e de la distance x=na?

3

Tu quoque filii

1. Selon Jeans (aucun rapport avec l’inventeur du pantalon pour gar¸cons vachers), chacune de vos inspirations contient une mol´ecule du dernier souffle de Jules C´esar. Quelles r´eflexions cette assertion vous inspire-t-elle ?

2. On consid`ere un r´ecipient de volume V contenant N particules statistiquement ind´ependantes et uniform´ement r´eparties en moyenne, et on demande le nombre moyen de particules contenues dans un volumev et ses fluctuations.

4

Distribution normale

Une variable al´eatoire continueX est caract´eris´ee par la densit´e de probabilit´e

w(x) = 1

√2π be^−(x−a)

2

2b² , x∈]− ∞,+∞[.

V´erifier que cette loi est bien normalis´ee. Calculer hXietσ_X^{2 df}=h(X− hXi)²i.

5

Somme de variables al´eatoires

Un marcheur progresse toujours dans la mˆeme direction. Ses pas ont une longueur variant de l−a

`

a l+a. On appelle X_j la variable al´eatoire indiquant la longueur du j-`eme pas ; elle ob´eit `a une loi de probabilit´e uniforme, quel que soitj.

1. Calculer la densit´e de probabilit´e de Xj en fonction de a. Calculer la valeur moyenne et l’´ecart quadratique moyen deXj.

2. L’homme fait n pas. Son d´eplacement est d´esign´e par S ^df= P

Xj et on suppose que les longueurs de chaque pas sont des variables al´eatoires ind´ependantes. Calculer la valeur moyenne et l’´ecart quadratique moyen deS.

6

Limite normale

On reprend la probabilit´ePN(n) denpiles lors du jet deNpi`eces. Montrer que lorsqueN est grand, on peut approximer la distribution binomiale au voisinage de hnipar une loi normale de mˆeme moyenne et variance. Montrer que l’on peut traiterncomme une variable quasi-continue siN petN qsontÀ1.

7

Fonction d’une variable al´eatoire

En un point d’un plan existe un champ magn´etique B al´eatoire, appartenant au plan, de module constant b₀, et dont les directions sont ´egalement probables.

1. Quelle est la probabilit´e pour que la projection du champ sur l’axexˆsoit comprise entreb_xetb_x+db_x? 2. Quelle est la probabilit´e pour que cette projection soit comprise entre 0 et b₀/2 ?

2 Paris 7, Phy. Stat. 1 : probabilit´es.

8

Distribution de Maxwell

Maxwell a mod´elis´e le comportement d’un gaz parfait, autrement dit constitu´e d’un tr`es grand( ?) nombre de mol´ecules sans ( ?) interaction. La vitesseVd’une mol´ecule est ainsi une variable al´eatoire, et la probabilit´e pour que cette vitesse soit dans le pav´e (v,d³v) est de la forme

d³P³

V∈(v,d³v)´

=F(v) d³v, ou encore :

d³P³

V_x∈[v_x, v_x+ dv_x[, V_y∈[v_y, v_y+ dv_y[, V_z∈[v_z, v_z+ dv_z[´

=F(v_x, v_y, v_z) dv_xdv_ydv_z.

1. Maxwell suppose que la distribution d’une composante de la vitesse est ind´ependante des valeurs des autres composantes. Montrez que cela implique queF soit de la formeF(vx, vy, vz) =f(vx)g(vy)h(vz).

2. Maxwell suppose encore que la distribution est isotrope. Quelle forme cela implique imm´ediatement pourF(vx, vy, vz) ?

3. Mais l’isotropie a d’autres cons´equences, pas seulement sur l’´equivalence des directions x,ˆ ˆy,ˆz, mais detoute direction. Autrement dit :

v_x²+v_y²+v_z²= cte ⇒ F(v_x, v_y, v_z) = cte.

i) En d´eduire la forme diff´erentielle de cette implication.

ii) Combien y a-t-il, dans ces conditions, de variations dvx, dvy, dvz ind´ependantes ? iii) Calculez, juste pour voir, (1/F)(∂F/∂vx).

iv) Montrez que l’on doit avoir :

³ 1 f(v_x)

df

dv_x+λv_x´

dv_x+³ 1 f(v_y)

df

dv_y +λv_y´

dv_y+³ 1 f(v_z)

df

dv_z +λv_z´

dv_z= 0, quels que soient dv_y, dv_z (par exemple) etλ(v_x, v_y, v_z).

v) Montrez qu’un choix convenable de λ implique la condition pr´ec´edente quelles que soient les variations dvx, dvy et dvz.

vi) En d´eduire une ´equation diff´erentielle que doit satisfairef. Montrez queλdoit ˆetre une constante.

vii) Int´egrez cette ´equation diff´erentielle pour trouver la forme de f. Quel doit ˆetre le signe de λ? Calculez le facteur de normalisation permettant d’achever la d´etermination def en terme deλ.

4. L’enceinte de volume V contientN mol´ecules.

i) Calculez le nombre moyen d⁴N de mol´ecules

— dont la composante V_xde la vitesse est dans [v_x, v_x+ dv_x[,

— qui viennent frapper l’´el´ement d’aire d²Ad’une paroi perpendiculaire `a l’axeˆx,

— pendant la dur´ee dt.

ii) Chaque mol´ecule `a une massemet les chocs avec la paroi sont ´elastiques. Calculez la composante selonxˆde la quantit´e de mouvement de l’ensemble de ces mol´ecules avant le choc sur la paroi, soit d<sup>4</sup>P<sub>i</sub>. Calculez de mˆeme la composante sur ˆxde la quantit´ede mouvement de ces mol´ecules apr`es le choc, soit d⁴P_f.

iii) En d´eduire la force moyenne d³F_m/pexerc´ee par cet ensemble de mol´ecules sur l’´el´ement d’aire d²A de la paroi.

iv) En d´eduire la force moyenne d²F_m/p exerc´ee par toutes les mol´ecules qui frappent l’´el´ement d’aire d²A.

v) En d´eduire l’expression de la pressionp du gaz.

vi) En d´eduire l’expression (th´eorique, il est temps de le rappeler) du produitpV en termes deN,m et λ.

5. Empiriquement, et historiquement, on a ´et´e conduit `a appeler “temp´erature” la quantit´eT =pV/N k (o`ukest une constante conventionnelle :k=R/NA) associ´ee `a des gaz dans des conditions ordinaires (pas trop denses, pas trop froids).

i) Exprimez la constante th´eoriqueλen terme de T.

ii) En d´eduire l’expression de la distribution de Maxwell des vitesses en terme de T.

iii) Calculez l’´energie cin´etique moyenne d’une mol´ecule du gaz en fonction deT.