E581. Sur le même tableau noir ***
Zig écrit sur le tableau noir1 la liste L ci-après de 20 entiers :
9050, 22675, 10585, 17280, 13019, 24696, 10947, 27603, 7099, 10505, 21041, 29088, 31473, 992, 10417, 26939, 14472, 16930, 12291 et 22728 .
Il propose à Puce le jeu suivant qui s'effectue en plusieurs tours : à chaque tour Puce choisit à sa convenance tout ou partie des entiers figurant dans L puis un entier positif k (pas nécessairement le même à chaque tour) de sorte qu'en retranchant k des entiers qu'il a choisis, les entiers obtenus après soustraction ne sont jamais négatifs. Puce est gagnant s'il parvient à obtenir une liste qui contient 20 zéros en moins de 14 tours.
Q1 Démontrer que Puce est capable de gagner le jeu et déterminer la séquence d'entiers k qui lui permet d'arriver à ses fins.
Q2 Pour les plus courageux: donner la formule générale du nombre minimum de tours joués par Puce quand Zig choisit n entiers pas nécessairement distincts compris entre 1 et N.
1Nota; il s'agit du même tableau noir que celui de E580
Solution proposée par Jean Nicot
Q1- Les 20 entiers de la liste sont inférieurs à 2^15=32768. En les écrivant en base 2, on voit qu’il faut retrancher 2^14 de tous ceux au moins égaux à 2^14, puis 2^13 à ceux au moins égaux, jusqu’à 1 aux derniers impairs.
Il faut donc au plus 15 tours. Mais dans la liste proposée, il n’a pas de chiffre binaire pour 1024 et 4 donc 13 tours suffiront.
La séquence d’entiers est rapidement obtenue avec un tableur excel
A B C D E F G H I J K L M N O P Q
1 N N-16384? N-8192? N-4096? C3=SI(B3>=C$2;B3-C$2;B3)
2 16384 8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 3 9050 9050 858 858 858 858 346 90 90 26 26 10 2 2 0 0 4 22675 6291 6291 2195 147 147 147 147 19 19 19 3 3 3 1 0 5 10585 10585 2393 2393 345 345 345 89 89 25 25 9 1 1 1 0 6 17280 896 896 896 896 896 384 128 0 0 0 0 0 0 0 0 7 13019 13019 4827 731 731 731 219 219 91 27 27 11 3 3 1 0 8 24696 8312 120 120 120 120 120 120 120 56 24 8 0 0 0 0 9 10947 10947 2755 2755 707 707 195 195 67 3 3 3 3 3 1 0 10 27603 11219 3027 3027 979 979 467 211 83 19 19 3 3 3 1 0 11 7099 7099 7099 3003 955 955 443 187 59 59 27 11 3 3 1 0 12 10505 10505 2313 2313 265 265 265 9 9 9 9 9 1 1 1 0 13 21041 4657 4657 561 561 561 49 49 49 49 17 1 1 1 1 0 14 29088 12704 4512 416 416 416 416 160 32 32 0 0 0 0 0 0 15 31473 15089 6897 2801 753 753 241 241 113 49 17 1 1 1 1 0 16 992 992 992 992 992 992 480 224 96 32 0 0 0 0 0 0 17 10417 10417 2225 2225 177 177 177 177 49 49 17 1 1 1 1 0 18 26939 10555 2363 2363 315 315 315 59 59 59 27 11 3 3 1 0 19 14472 14472 6280 2184 136 136 136 136 8 8 8 8 0 0 0 0 20 16930 546 546 546 546 546 34 34 34 34 2 2 2 2 0 0
21 12291 12291 4099 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 0
22 22729 6345 6345 2249 201 201 201 201 73 9 9 9 1 1 1 0
Q2- Le nombre d’entiers N n’a aucune incidence. Le nombre de tours maximum est fourni par le plus grand N dont la représentation binaire possède n bits n = Log(N)/Log(2) arrondi par excès. Ce nombre peut se trouver réduit si le même poids binaire est absent de toute la liste de nombres
