E581 - Sur le même tableau noir

Zig écrit sur le tableau noir la liste L ci-après de 20 entiers :

9050, 22675, 10585, 17280, 13019, 24696, 10947, 27603, 7099, 10505, 21041, 29088, 31473, 992, 10417, 26939, 14472, 16930, 12291 et 22728 .

Il propose à Puce le jeu suivant qui s'effectue en plusieurs tours : à chaque tour Puce choisit à sa convenance tout ou partie des entiers figurant dans L puis un entier positif k (pas nécessairement le même à chaque tour) de sorte qu'en retranchant k des entiers qu'il a choisis, les entiers obtenus après soustraction ne sont jamais négatifs. Puce est gagnant s'il parvient à obtenir une liste qui contient 20 zéros en moins de 14 tours.

Q₁ Démontrer que Puce est capable de gagner le jeu et déterminer la séquence d'entiers k qui lui permet d'arriver à ses fins.

Q₂ Pour les plus courageux: donner la formule générale du nombre minimum de tours joués par Puce quand Zig choisit n entiers pas nécessairement distincts compris entre 1 et N.

Q

: En écrivant chaque nombre comme une somme de puissances de 2 (en binaire), on s’aperçoit que 2

=4 et 2

=1024 ne sont pas utilisés : on peut donc annuler tous les nombres en 13 tours en retranchant les autres puissances de 1 à 2

=16384.

Q

: Si 2

≤N<2

, il faudra, en appliquant la méthode ci-dessus, un maximum de Inf(m, n) tours pour éliminer les n entiers choisis entre 1 et N, le cas le plus

défavorable étant celui des n=m entiers de la forme 2

-1 pour 1≤i<m.

E581 - Sur le même tableau noir