E581. Sur le même tableau noir ***
Zig écrit sur le tableau noir1la listeLci-après de 20 entiers :
9050, 22675, 10585, 17280, 13019, 24696, 10947, 27603, 7099, 10505, 21041, 29088, 31473, 992, 10417, 26939, 14472, 16930, 12291 et 22728 .
Il propose à Puce le jeu suivant qui s’effectue en plusieurs tours : à chaque tour Puce choisit à sa conve- nance tout ou partie des entiers figurant dansLpuis un entier positifk(pas nécessairement le même à chaque tour) de sorte qu’en retranchantk des entiers qu’il a choisis, les entiers obtenus après soustrac- tion ne sont jamais négatifs. Puce est gagnant s’il parvient à obtenir une liste qui contient 20 zéros en moins de 14 tours.
Q1 - Démontrer que Puce est capable de gagner le jeu et déterminer la séquence d’entierskqui lui permet d’arriver à ses fins.
Q2 - Pour les plus courageux : donner la formule générale du nombre minimum de tours joués par Puce quand Zig choisitnentiers pas nécessairement distincts compris entre 1 etN.
1Nota : il s’agit du même tableau noir que celui de E580.
Solution de Claude Felloneau
Q1 - Puce est capable de gagner le jeu en 13 tours.
Pour cela, il peut utiliser la stratégie suivante : Choisir les entiers qui sont supérieurs ou égaux à la plus grande puissance de 2 qui est inférieure ou égale au terme maximum de la liste et re- trancher l’entierkqui est cette puissance de 2.
Tour Max Puissance de 2 Liste
0 9050, 22675, 10585, 17280, 13019, 24696, 10947, 27603, 7099, 10505, 21041, 29088, 31473, 992, 10417, 26939, 14472, 16930, 12291, 22728 1 31473 214=16384 9050, 6291, 10585, 896, 13019, 8312, 10947, 11219, 7099, 10505,
4697, 12704, 15089, 992, 10417, 10555, 14472, 546, 12291, 6344 2 15089 213=8192 858, 6291, 2393, 896, 4827, 120, 2755, 3027, 7099, 2313, 4697, 4512,
6897, 992, 2225, 2363, 6280, 546, 4099, 6344
3 7099 212=4096 858, 2195, 2393, 896, 731, 120, 2755, 3027, 3003, 2313, 601, 416, 2801, 992, 2225, 2363, 2184, 546, 3, 2248
4 3027 211=2048 858, 147, 345, 896, 731, 120, 707, 979, 955, 265, 601, 416, 753, 992, 177, 315, 136, 546, 3, 200
5 992 29=512 346, 147, 345, 384, 219, 120, 195, 467, 443, 265, 89, 416, 241, 480, 177, 315, 136, 34, 3, 200
6 480 28=256 90, 147, 89, 128, 219, 120, 195, 211, 187, 9, 89, 160, 241, 224, 177, 59, 136, 34, 3, 200
7 241 27=128 90, 19, 89, 0, 91, 120, 67, 83, 59, 9, 89, 32, 113, 96, 49, 59, 8, 34, 3, 72 8 120 26=64 26, 19, 25, 0, 27, 56, 3, 19, 59, 9, 25, 32, 49, 32, 49, 59, 8, 34, 3, 8 9 59 25=32 26, 19, 25, 0, 27, 24, 3, 19, 27, 9, 25, 0, 17, 0, 17, 27, 8, 2, 3, 8 10 27 24=16 10, 3, 9, 0, 1, 8, 3, 3, 11, 9, 9, 0, 1, 0, 1, 11, 8, 2, 3, 8
11 11 23=8 2, 3, 1, 0, 1, 0, 3, 3, 3, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 3, 0, 2, 3, 0 12 3 2 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0 13 1 1 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 La séquence des valeurs dekest donnée dans la 3ecolonne.
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Q2 - N étant fixé supérieur à 1, le nombre minimum de tours joués par Puce quand Zig choisitn entiers pas nécessairement distincts compris entre 1 et N esttn =min
µ n,
·lnN ln 2
¸ +1
¶ où [...]
désigne la partie entière.
• On peut obtenir la liste nulle en choisissant successivement pourkchacun des entiers don- nés par Zig. Donctn6n.
• Soiti0=
·lnN ln 2
¸
, on a 2i06N<2i0+1.
Tout entier compris entre 1 etN s’écrit avec au plusi0+1 chiffres en base 2. En utilisant la stratégie utilisée dans la question Q1 pourn entiers compris entre 1 etN, on parvient à la liste nulle en au plusi0+1 tours. Donctn6i0+1.
• Pour tout entier naturelj, il faut au moinsj+1 tours pour passer de la listeLj=¡
1, 2, 22, ..., 2j¢ à la liste nulle.
On raisonne par récurrence surj:
— L0=(1) nécessite au moins un tour pour obtenir la liste nulle.
— Soitjun entier naturel. Supposons que la propriété est vraie pour tout entieriinférieur ou égal àjet démontrons qu’elle est alors vraie pourj+1.
Si tel n’est pas le cas, on peut obtenir la liste nulle à partir deLj+1en au plusj+1 tours.
On peut supposer que c’est effectivement enj+1 tours en prenant au besoin des valeurs nulles pourk.
Soitk1,k2,...,kj,kj+1la séquence de valeurs dek correspondante, rangée dans l’ordre croissant.
Pour touticompris entre 0 et j+1, 2iest donc une somme de certainskp et on a donc k161 et
j+1
X
i=1
ki>2j+1.
Or 2j+1>2j+1−1=
j+1
X
i=1
2i−1donc il existej0, compris entre 1 et j+1 tel quekj0>2j0−1. Commek161, on aj0>2.
On a doncki >2j0−1pouri >j0. Pour touti compris entre 0 et j0−1, 2i est donc une somme de certainskpavec 16p6j0−1 donc on peut obtenir la suite nulle à partir de la suiteLj0−1en au plus j0−1 tours, ce qui est contraire à l’hypothèse de récurrence. Il est donc impossible que la propriété ne soit pas vraie pourj+1.
— Par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturelj.
• Si l’ensemble des entiers choisis par Zig contient toutes les 2i avec 06i6i0il faut alors au moinsi0+1 tours pour obtenir la liste nulle. Donctn>i0+1.
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