E 581. Sur le tableau noir. ***
Zig écrit sur le tableau noir la liste L ci-après de 20 entiers :
9050, 22675, 10585, 17280, 13019, 24696, 10947, 27603, 7099, 10505, 21041, 29088, 31473, 992, 10417, 26939, 14472, 16930, 12291 et 22728.
Il propose à Puce le jeu suivant qui s'effectue en plusieurs tours : à chaque tour Puce choisit à sa
convenance tout ou partie des entiers figurant dans L puis un entier positif k (pas nécessairement le même à chaque tour) de sorte qu'en retranchant k des entiers qu'il a choisis, les entiers obtenus après soustraction ne sont jamais négatifs. Puce est gagnant s'il parvient à obtenir une liste qui contient 20 zéros en moins de 14 tours.
Q1 Démontrer que Puce est capable de gagner le jeu et déterminer la séquence d'entiers k qui lui permet d'arriver à ses fins.
Q2 Pour les plus courageux : donner la formule générale du nombre minimum de tours joués par Puce quand Zig choisit n entiers pas nécessairement distincts compris entre 1 et N.
Solution proposée par Michel Lafond :
Q1) Décomposons en base 2 les 20 nombres du tableau :
16384 8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 n
1 1 1 1 1 1 1 9050
1 1 1 1 1 1 1 22675
1 1 1 1 1 1 1 10585
1 1 1 1 17280
1 1 1 1 1 1 1 1 1 13019
1 1 1 1 1 1 24696
1 1 1 1 1 1 1 10947
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 27603
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7099
1 1 1 1 1 10505
1 1 1 1 1 1 21041
1 1 1 1 1 1 29088
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31473
1 1 1 1 1 992
1 1 1 1 1 1 10417
1 1 1 1 1 1 1 1 1 26939
1 1 1 1 1 14472
1 1 1 1 16930
1 1 1 1 12291
1 1 1 1 1 1 22728
Retrancher k = 16384 à la liste revient à supprimer le bit de poids 16384 dans l’écriture en base 2 des 10 nombres supérieurs ou égaux à 16384. Aucun autre bit n’est affecté.
Cela revient concrètement à supprimer la première colonne dans le tableau associé à la nouvelle liste.
Il est donc clair qu’en choisissant successivement k dans {16384, 8192, 4096, 2048, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 2, 1} on arrivera à une liste de 20 zéros en 13 tours.
Pour la question Q2) il n’est pas évident que la méthode précédente fournisse le nombre minimal de tours.
En effet, avec par exemple la liste [1, 3, 4], on a le tableau de décomposition ci-dessous :
4 2 1 n
0 0 1 1
0 1 1 3
1 0 0 4
En retranchant successivement 4, 2, 1 on obtient bien [1, 3, 0] puis [1, 1, 0] puis [0, 0, 0]
Mais en deux tours seulement, en retranchant successivement 3, et 1 on obtient aussi [1, 0, 0] puis [0, 0, 0]
