NotonsOK l’anneau des entiers de K

Universit´e Paris Diderot Arithm´etique – Ann´ee 2011-12 ENS Cachan

M1 math´ematiques

Feuille d’exercices 3

D´ecomposition des id´eaux premiers dans les corps quadratiques, entiers cyclotomiques

I

SoitK une extension quadratique deQ. Soit pun nombre premier. NotonsOK l’anneau des entiers de K. SoitQun id´eal premier au dessus dep. On noteeQl’indice de ramification deQ. Notonsgp le nombre d’id´eaux premiers deOK au dessus dep.

On rappelle que si K=Q(√

d), avec d6= 0,1 entier sans facteur carr´e, on a OK =Z[√

d] sid≡2 ou 3 (mod 4) et O_K =Z[(1 +√

d)/2] sid≡1 (mod 4). On rappelle qu’il existe un polynˆomeQ_d∈Z[X] de discriminantD, o`u estD=dsid≡1 (mod 4) etD= 4dsid≡2 ou 3 (mod 4).

1. Montrer queF_Q=OK/Q est un corps fini `a poup²´el´ements. Notonsf_Qle degr´e r´esiduel [F_Q:Fp].

2. Montrer que le discriminant deK surQestD.

3. Montrer que si D est un carr´e non nul modulo p, on a f_Q = 1, e_Q = 1 et gp = 2. On dit que p est d´ecompos´edansK.

4. Montrer que siD n’est pas un carr´e modulop, on a fQ= 2, eQ= 1 et gp = 1. On dit quepest inerte dansK.

5. Montrer que siDest nul modulop, on af_Q= 1, e_Q= 2 etg_p= 1. On dit quepestramifi´edansK.

II

Soit n un entier ≥ 1. Le n-`eme polynˆome cyclotomique est le polynˆome Φn d´efini par r´ecurrence sur n par la formule Φn(X) = (X<sup>n</sup>−1)/Πd|n,d6=n,d>0Φd(X). Ainsi, on a Φ1(X) = X −1, Φ2(X) = X + 1, Φ3(X) =X<sup>2</sup>+X+ 1, Φ4(X) =X<sup>2</sup>+ 1, Φ5(X) =X<sup>4</sup>+X<sup>3</sup>+X<sup>2</sup>+X+ 1, Φ6(X) =X<sup>2</sup>−X+ 1. On sait que Φn est un polynˆome irr´eductible surQ, `a coefficients entiers, et que ses racines sont les racines primitives n-`emes de l’unit´e.

Unn-`eme corps cyclotomiqueest un corps de d´ecomposition de Φ<sub>n</sub>, ou, ce qui revient au mˆeme, un corps de d´ecomposition deX<sup>n</sup>−1. Il est commode de plonger un tel corps dansC. Len-`eme corps cyclotomique est alors unique : il est ´egal `aQ(ζ) o`uζ est une racine primitiven-`eme de l’unit´e dansC. Par exemple on peut poserζ=e^2iπ/n.

Supposons quen=p^kaveckentier≥1. NotonsOl’anneau des entiers deQ(ζ). Posonsd=p^k−p^k−1= φ(p^k). C’est le degr´e de l’extensionQ(ζ)|Q.

1. Montrer qu’on a Φ_pk(X) = Φp(X^pk−1).

2. Montrer que N_Q(ζ)/Q(1−ζ) =p.

3. En utilisant la formule 1−ζⁱ= (1−ζ)(1 +ζ+...+ζⁱ⁻¹), montrer quepest un multiple de (1−ζ)^d dans O.

4. Comparer les d´ecompositions en produits d’id´eaux premiers de p et de 1−ζ dans O. En d´eduire que l’id´eal (1−ζ)Oest premier et que pO= (1−ζ)^dO.

5. Montrer que l’anneau quotientO/(1−ζ)Oest un corps `ap´el´ements. Quel est le degr´e r´esiduel en (1−ζ)O de l’extension Q(ζ)|Q? Quel est l’indice de ramification de (1−ζ)O? Combien y a-t-il d’id´eaux premiers au dessus depdansO?

6. Montrer qu’on a (1−ζ)O+Z[ζ] =O. En d´eduire par r´ecurrence sur l’entiertqu’on a (1−ζ)^tO+Z[ζ] =O (tentier≥1).

7. En utilisant que (1, ζ, ..., ζ^d−1) est une base de Z[ζ] et que D(1, ζ, ..., ζ^d−1) est une puissance dep(voir feuille 2), montrer queZ[ζ] est un sous-groupe d’indice une puissance depdeO.

8. En d´eduire qu’on aO=Z[ζ].

III

Soit M un corps de nombres contenant deux sous-corpsL1 et L2. Notons O1 et O2 les anneaux des entiers deL1et L2respectivement. Supposons queM soit engendr´e parL1 etL2et qu’on a [M :Q] = [L1: Q][L2:Q] (on dit que les extensionL1|QetL2|Qsontlin´eairement ind´ependantes).

On suppose de plus que les discriminantsD1etD2des corpsL1etL2sont premiers entre eux. Montrons que l’anneau des entiers deM est l’anneauO2O1 engendr´e parO1 etO2.

1. Soit (y1, ..., yn) une base deO2surZ. Montrer que c’est une base deM surL1. Montrer queD(y1, ..., yn) endendreD2.

2. Consid´erons la base (y₁⁰, ..., y_n⁰) de L₂ duale de (y₁, ..., y_n) pour la forme bilin´eaire (x, y)7→Tr_L2/Q(xy).

Soit x = Pn

i=1α_iy⁰_i ∈ O avec α_i ∈ L₁. Montrer que Tr_L/L1(xy_i) = α_i (i ∈ {1, ..., n}). En d´eduire que α_i∈ O1.

3. NotonsAla matrice de passage de (y₁, ..., y_n) `a (y<sup>0</sup><sub>1</sub>, ..., y<sup>0</sup><sub>n</sub>). Montrer queA= Tr<sub>L2/Q</sub>(y<sub>i</sub>y<sub>j</sub>)<sub>1≤i,j≤n</sub> et que A<sup>−1</sup> = Tr<sub>L2/Q</sub>(y<sub>i</sub><sup>0</sup>y<sup>0</sup><sub>j</sub>)<sub>1≤i,j≤n</sub>. En d´eduire que la matrice A<sup>−1</sup> est `a coefficients dans D(y₁, ..., y_n)⁻¹Z, puis quey₁⁰, ...,y⁰_n sont dansD(y1, ..., yn)⁻¹O2

4. En d´eduire quex∈ D⁻¹₂ O2O1, puis quex∈ D⁻¹₁ O2O1.

5. Posons dansZ, 1 =d1+d2, avec d1∈ D1 et d2∈ D2. Montrer quex=d1x+d2x∈ O2O1. En d´eduire queO=O2O1.

6. En utilisant l’exercice pr´ec´edent, en d´eduire que l’anneau des entiers du corps cyclotomiqueQ(ζ) estZ[ζ], lorsqueζ est une racine de l’unit´e.

7. Montrer que le discriminant absolu deM est donn´e par la formuleD^[L₁ ^2:Q]D^[L₂ ^1:Q].