Problème - La fonction ζ d'Euler

MPSI A & B 2003-2004

Devoir commun n

2

jeudi 4 mars Exercice

Soit E un espace vectoriel de dimension nie sur le corps K etp un projecteur deL(E). Soitq = Id_E −p.

1. Montrer que q est un projecteur dont on déterminera image et noyau en fonction de ceux de p.

2. On dénit des parties F etG deL(E).

F ={f ∈ L(E)|il existe u∈ L(E) tel que f =u◦p}

G={f ∈ L(E)|il existe u∈ L(E) tel que f =u◦q}

Montrer que F etG sont des sous-espaces vectoriels deL(E). 3. Montrer que L(E) = F ⊕G.

Problème - La fonction ζ d'Euler

Soitζ_N(x) =PN k=1

1

k^x. On étudie dans ce problème la fonctionζ dénie pour x réel par la limite, lorsqu'elle existe,lim_N→+∞ζ_N(x).

Partie 1 - Étude de la fonction ζ Soit x un nombre réel.

1. (a) Montrer que si x≤0, la suite (ζn(x))n≥1 n'est pas convergente.

(b) Soit x >0. Montrer que pour tout entiern ≥2: Z n+1

n

dt t^x ≤ 1

n^x ≤ Z n

n−1

dt t^x. (c) En déduire le domaine de dénition de ζ.

2. Montrer que ζ est strictement décroissante sur]1,+∞[. 3. Montrer que pour tout x∈]1,+∞[,

1

x−1 ≤ζ(x)≤ x x−1. En déduire un équivalent de ζ en1⁺.

4. Calculer lim_x→+∞ζ(x).

5. Donner le tableau de variation de ζ. 1

Partie 2 - Calcul de ζ(2) 1. (a) Calculer

Z π

0

te^intdt En déduire

Z π

0

tcos(nt)dt, Z π

0

tsin(nt)dt, Z π

0

t²cos(nt)dt

(b) Déterminer un polynôme P de degré 2 tel queP(0) = 0et pour tout n≥1,

Z π

0

P(t) cosnt dt= 1 n². 2. Simplier PN

n=1cosnt et déterminer un réel λ tel que pour tout t 6= 0 mod 2π,

N

X

n=1

cosnt= sin(n+ ¹₂)t 2 sin₂^t −λ.

3. Soit h la fonction dénie pour t∈]0, π] par h(t) = P(t)

2 sint/2.

Montrer queh est prolongeable par continuité en 0. On désigne encore par h la fonction prolongée sur [0, π]. Montrer queh est de classe C¹.

4. Montrer que

lim

N→+∞

Z π

0

h(t) sin(N +1

2)t dt= 0.

5. Déterminer ζ(2). Partie 3 - Calcul des ζ(2p)

1. Formules de Newton

Soit P un polynôme de degrén ≥1.

P = a_n(X−z₁)(X−z₂)· · ·(X−z_n)

= a_nXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+· · ·+a₀ On pose pour p∈N

S_p =

n

X

k=1

z_k^p.

(a) Etablir que pour p≥n,

a_nS_p+an−1Sp−1+· · ·+a_kSp−n+k+· · ·+a₀Sp−n = 0.

2

(b) Rappeler l'identité remarquable exprimant a^k−b^k comme un produit de deux facteurs.

(c) Montrer que P⁰ =P

1≤k≤n

P−P(zk) X−z_k .

(d) En considérant deux expressions de P⁰, montrer que 1≤p≤n−1, anSp+an−1Sp−1+· · ·+an−p+1S1+an−pp= 0.

2. Soit n≥1 un entier.

(a) Montrer qu'il existe un unique polynôme Q_n tel que pour toutx sin(2n+ 1)x= (sin²ⁿ⁺¹x)Q_n(cotan²x).

(On partira de(e^ix)²ⁿ⁺¹) Déterminer le degré de Q_n et son coecient dominant.

(b) Montrer queQ_nadmetnracines distinctes strictement positives et donner sa décomposition en produit d'irréductibles surR.

(c) On dénit pour p≥1 entier

up(n) =

n

X

k=1

cotan^2p kπ

2n+ 1, vp(n) =

n

X

k=1

1 sin^2p_2n+1^kπ . Montrer queu₁(n) = ^n(2n−1)₃ et en déduirev₁(n).

(d) Établir

(²ⁿ⁺¹₁ )u_p(n) = (²ⁿ⁺¹₃ )up−1(n)−(²ⁿ⁺¹₅ )up−2(n) +· · ·+ (−1)^{p 2n+1}_2p−1

u₁(n) + (−1)^{p+1 2n+1}_2p+1 p.

3. Montrer par récurrence sur p que la suite

up(n) n^2p

n≥1 est convergente et que sa limite α_p vérie

α_p = 2²

3!αp−1− 2⁴

5!αp−2+· · ·+ (−1)^p 2^2p−2

(2p−1)!α₁+ (−1)^p+1 2^2p (2p+ 1)!p.

Calculer α₁, α₂ et α₃. 4. Montrer que

vp(n) =

p

X

i=1

(^p_i)ui(n) +n.

En déduire limn→+∞vp(n) n^2p . 5. On pose

ζ_n(2p) =

n

X

k=1

1 k^2p.

3

(a) Montrer que pour tout x∈]0,^π₂[, cotanx≤ 1

x ≤ 1 sinx.

(b) En déduire

π^2p 2^2p

u_p(n)

(n+ ¹₂)^2p ≤ζ_n(2p)≤ π^2p 2^2p

v_p(n) (n+ ¹₂)^2p.

(c) Exprimer la valeur deζ(2p)en fonction deα_p. Calculerζ(2),ζ(4)etζ(6).

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