UNSA 2009/2010 L3–Variable complexe

UNSA 2009/2010 L3–Variable complexe Feuille d’exercices n^o3

Indice d’un lacet.

1. Le th´eor`eme de Lucas. SoitP(z) = (z−α1)(z−α2)∈C[z].

1.a. Montrer que ^P_P(z)^0(z) =_z−α¹

1+_z−α¹

2.

1.b. Soit β une racine de ^P_P(z)^0(z). Montrer que _|β−α^β−α1

1|² +_|β−α^β−α2

2|² = 0. En d´eduire qu’il existe µ1, µ2 ∈ R⁺ tels que µ1+µ2 = 1 et β = µ1α1+µ2α2. Conclure que le segment [α1, α2] contient la racine deP⁰(z).

1.c. SoitQ(z) = (z−α₁)· · ·(z−α_n)∈C[z] un polynˆome de degr´e n. En s’inspirant de ce qui pr´ec`ede, exhiber une partie compacte et connexe deCqui contient toutes les racines deQ⁰(z).

2. L’indice d’un lacet. On rappelle que Indγ(a) = _2πi¹ R

γ dz

z−a est une fonction continue ena∈C`a valeurs enti`eres, appel´ee l’indice du lacet γ ena.

On poseγ_r^a(t) =a+re^2πit poura∈C,r∈R^∗+ ett∈[0,1].

2.a. CalculerInd_γ0 r(0).

2.b. Montrer queInd_γ0

r(0) =Indγ_r^a(a).

2.c. Montrer queInd_γa

r(z) = 1 pour toutz∈Ctel que |z−a|< r.

2.d. Montrer que pour N ∈N⊂C, la limite lim_N→∞Indγ_r^a(N) est nulle.

En d´eduire queIndγ_r^a(z) = 0 pour toutz∈Ctel que|z−a|> r.

2.e. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que, pourP(z)∈C[z], l’int´egrale 1

2πi Z

γ_r^a

P⁰(z) P(z)dz

est ´egale au nombre de racines deP(compt´ees avec leur multiplicit´es) contenues dans le disque ouvert de centrea et de rayonr(sous l’hypoth`ese que son bord ne contient aucune racine deP).

3. Une fraction rationnelle. On consid`ere la fractionf(z) =^(2+i)z_z3−z²²+z−1^−2z+i. 3.a. Ecrire le d´enominateur de f(z) sous forme (z−α₁)(z−α₂)(z−α₃).

En d´eduire quef(z) = _z−α^β1

1 +_z−α^β2

2 +_z−α^β3

3 pourα_i, β_i∈C, i= 1,2,3.

3.b. Calculer les int´egrales 1 2πi

Z

γ_r⁰

f(z)dz et 1 2πi

Z

γ_r⁻¹

f(z)dz

en fonction der∈R⁺∗.