Correction devoir surveillé n°5

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Correction devoir surveillé n°5

Exercice 1

1) et

2) ; donc cos 0

De plus, cos sin 1 pour tout réel donc cos sin 1 et donc cos13

12 1 !√2 √6

4 %

1 2 2√12 6

16 16 &8 2√12(

16 8 2 ) 2√3

16 2 √3

4

D’où : cos ^*+√

3) cos cos sin ^√,√_- sin sin cos ^*+√

cos cos sin ^√,√_-

sin sin cos ^*+√

Exercice 2

1) . / /^√ et 0 est tel que 12 3

24cos506 ^,_√8⁷⁸

8

)_√ ^√ sin506 _√8⁷⁸

8

√

9 d’où 0 _- 526

Finalement : ^√ ; _- 2)

a. &;<=====>;;?=====>( &;<=====>; @>( &@>; ;?=====>( 526 d’où &;<=====>;;?=====>( ^A 526 ou encore

&;<=====>; ;?=====>( 526 Remarque : on peut donc dire que 5;<6 et 5;?6 sont perpendiculaires.

b. B 4 cos 4 ) 2 et CB 4 sin 2√3 donc <&2; 2√3(

_D 3 cos ^A ^√ et C_D 3 sin ^A donc ? ^√ ;

c. Pour calculer la distance <?, on peut au choix, calculer la norme du vecteur <?=====> ou utiliser le fait que le triangle ;<? soit rectangle en ; (voir la question précédente) et utiliser le théorème de Pythagore. On trouve ainsi : <? 3 4 25 et donc <? 5

Exercice 3

&3F====>;4G>( 5F=>;G>6 526 5F=>; G>6 526

53F=>; 4G>6 H 526

52G>; F=>6 25F=>; 3G>6

5G>; F=>6 2&5F=>; G>6 ( 526 5F=>; G>6 25F=>; G>6 2 526

52G>; F=>6 25F=>; 3G>6 H 526

5F=>; G>6 5F=>; G>6

5F=>; G>6 5F=>; G>6 526 5F=>; G>6 5F=>; G>6 526

(2)

Exercice 4

cos56 ^&√,√( ^√ et I0; 2J donc K L_- ;^A_-M sin 2 donc

2 2N ou

2 2N Autrement dit : ^A N ou _- N

On ne considère que les solutions dans I0; 2J donc K L_-;;^A_- ;M sin56 _√ or

√_√ ^√ ^√ donc sin56 ^√ et donc K 0; O ^A ; 2

Exercice 5

&P?=====>;PQ=====>( &P?=====>;<?=====>( &<?=====>;<:=====>( &<:=====>; PQ=====>( 526 grâce à la relation de Chasles &?P=====>;?<=====>( &<:=====>; <?=====>( 526 car <:=====> et PQ=====> sont colinéaires et de sens contraire _- 526

^-,+ 526

Donc &P?=====>;PQ=====>( 526

Exercice 6

1) &R?====>;:<=====>( &<?=====> ;:<=====>( 526

Donc &R?====>;:<=====>( &<?=====> ;<:=====>( 526 ou encore &R?====>;:<=====>( ^- 526

2) Dans un premier temps, on peut remarquer que ? appartient à cet ensemble…

&RS=====>;:<=====>( 526 donc &:<=====>;RS=====>( 526

Comme &<:=====>;RS=====>( &:<=====>; RS=====>( 526 , on en déduit &<:=====>;RS=====>( ^A 526 ou encore &<:=====>;RS=====>( 526. L’ensemble des points S cherché est donc la demi-droite IR?6, en excluant R.