Devoir Surveillé n˚5 : fonctions. Correction.
Exercice 1 (9 points)
1. Le domaine de définition de f est Df = [−4; 4] (f définie pourxallant de -4 à 4).
2. • L’image de 1 parf est 2 carf(1) = 2.
• f(−2)est l’image de -2 parf.f(−2) =−1.
3. Les antécédents de 2 par f sont x1 = −3.5, x2 =
−0.6,x3= 1etx4= 4, carf(−3.5) = 2,f(−0.6) = 2,f(1) = 2, etf(4 = 2.
4. Le minimum def sur [−4; 4] est environ -2.25. En
effet, pour toutx∈[−4; 4],f(x)≥ −2.25.Le maxi- mum de f sur [−4; 4] est 4. En effet, pour tout x∈[−4; 4],f(x)≤4.
5.
x −4 −2 0 2.75 4
3 4 2
f(x)
-1 -2.25
6. On voit graphiquement que sur [−4; 4], les images f(x) sont en-dessous de y = −0.5 pour x ∈ [−2.5;−1.5] ∪ [1.75; 3.5]. Donc l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) ≤ −0.5 est
S = [−2.5;−1.5]∪[1.75; 3.5].
7. Pour tracer la courbe représentative Cg de la fonc- tion g :x7→2x, il suffit de placer deux points par lesquels elle passe (c’est en effet une droite). Elle passe par(0; 0)et (1; 2)par exemple.
8. Pour résoudre f(x) = g(x), on relève les abscisses (on ”cherche un ou des x”) des points d’intersection des courbes Cf et Cg. Elles ne se croisent qu’en un point, d’abscisse 1. Donc l’équationf(x) =g(x)n’a qu’une solution : x= 1 .
Exercice 2 (6 points)
1. • L’image de 1 par la fonctionf :x7→ x+11 estf(1) = 1+11 = 12. Donc l’image de 1 par la fonctionf est 12.
• L’image de -2 par la fonction g : x7→(2−x)(3 +x)est g(−2) = (2−(−2))(3 + (−2)) = 4×1 = 4. Donc l’image de -2 par la fonctiong est4.
2. L’antécédent de 5 parg:x7→ −2x+ 1est solution de−2x+ 1 = 5. On a donc−2x= 4 soitx=−2. L’unique antécédent de 5 parg est -2.
3. Les antécédents de 8 parh:x7→x2−1sont solutions dex2−1 = 8, soit encorex2= 9. Cette équation a deux solutions : 3 et -3. Donc 8 a deux antécédents parh: 3 et -3.
4. • On af(x) =x−14 doncf(x) =14×x−14. Doncf(x) =ax+baveca=14 etb=−14, doncf est affine.a >0, doncf est croissante surIR.
• On a g(x) = −2x+√
2 doncg(x) = ax+b aveca = −2 et b = √
2, donc g est affine. a <0, donc f est décroissante surIR.
• hn’est pas affine : il y a un terme enx2.
Exercice 3 (5 points)
1. L’ensemble de définition def est [−5; 3]. Son mini- mum sur [−5; 3] est -1, car pour tout x ∈ [−5; 3], f(x)≥ −1.
• Si x ∈ [−5;−1], −5 ≤ x ≤ −1 alors f(−5) ≥ f(x)≥f(−1) carf est décroissante sur[−5;−1]
(l’ordre est renversé).
• 0 <1 donc f(0) < f(1) car f est croissante sur [−1; 3](et 0 et 1 sont dans cet intervalle).
2. .
1
