Chapitre 12 Fonctions de référence

Chapitre 12

Fonctions de référence

Sommaire

12.1 Fonctions affines . . . 125

12.2 Fonction carré . . . 126

12.3 Fonction cube . . . 127

12.4 Fonction inverse . . . 128

12.5 Fonction racine carrée . . . 129

12.6 Fonction valeur absolue . . . 130

12.7 Exercices et problèmes . . . 131

12.7.1 Exercices . . . 131

12.7.2 Problèmes . . . 132

12.1 Fonctions affines

Les fonctions affines sont des fonctions de référence mais ont déjà l’objet d’une étude dans le cha- pitre 10. Rappelons toutefois les principaux résultats :

Définition 12.1. Les fonctions f , définies sur R, dont l’expression peut se mettre sous la forme f (x) = mx + p où m et p sont des réels

sont appelées fonctions affines.

Propriété 12.1. La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est une droite.

Celle d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

Propriété 12.2. Soit f : x 7→ mx + p une fonction affine.

• Si m > 0 alors f est strictement croissante sur R.

• Si m < 0 alors f est strictement décroissante sur R.

• Si m = 0 alors f est constante sur R.

12.2 Fonction carré

12.2 Fonction carré

Définition 12.2. La fonction f définie sur R par f : x 7→ x

est appelée fonction carrée.

A CTIVITÉ 12.1.

Soit f la fonction carrée.

1. Montrer que la fonction carrée est paire.

2. Compléter le tableau ci-dessous.

3. À l’aide des deux questions précédentes, tracer la courbe représentative de la fonc- tion carrée dans le repère ci-contre.

Ce type de courbe s’appelle une parabole.

4. Quel semble être le sens de variation de f sur R

?

Démontrons cette conjecture.

(a) Factoriser a

− b

(b) Soit 0 6 _{a < b.}

i. Quel est le signe de a − b ? ii. Quel est le signe de a + b ? iii. En déduire le signe de a

− b

.

iv. En déduire le sens de variation de f : x 7→ x

sur R

.

5. En déduire le sens de variation de f sur R

.

0 1 2 3

− 1

− 2

− 3 0

− 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x y

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

f (x)

Propriété 12.3. Soit f la fonction carrée.

• La fonction carrée est une fonction paire.

• Elle est strictement décroissante sur R

et strictement croissante sur R

et admet comme mi- nimum 0.

x −∞ 0 +∞

f (x) = x

0

Seconde

12.3 Fonction cube

12.3 Fonction cube

Définition 12.3. La f définie sur R par f : x 7→ x

est appelée fonction cube.

A CTIVITÉ 12.2.

Soit f la fonction cube.

1. Montrer que la fonction cube est impaire.

2. Compléter le tableau ci-dessous.

3. À l’aide des deux questions précédentes, tracer la courbe représentative de la fonc- tion cube dans le repère ci-contre.

4. Quel semble être le sens de variation de f sur R

?

Démontrons cette conjecture.

(a) Montrer que a

− b

= (a − b)(a

+ ab + b

).

(b) Soit 0 6 a < b

i. Quel est le signe de a − b ?

ii. Quel est le signe de ab ? En dé- duire le signe de a

+ ab + b

. iii. En déduire le signe de (a − b)(a

+

ab + b

) puis celui de a

− b

. iv. En déduire les variations de f :

x 7→ x

sur R

.

5. En déduire le sens de variation de f sur R

.

0 1 2

− 1

− 2 0

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

− 7

− 8 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

f (x)

Propriété 12.4. Soit f la fonction cube.

• La fonction cube est une fonction impaire.

• Elle est strictement croissante sur R

x −∞ 0 +∞

f (x) = x

0

12.4 Fonction inverse

12.4 Fonction inverse

Définition 12.4. La fonction f définie sur R

= ] −∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞ [ par f : x 7→

est appelée fonction inverse.

A CTIVITÉ 12.3.

Soit f la fonction inverse.

1. Montrer que la fonction inverse est im- paire.

2. Compléter le tableau ci-dessous.

3. À l’aide des deux questions précédentes, tracer la courbe représentative de la fonc- tioninverse dans le repère ci-contre.

Ce type de courbe s’appelle une hyperbole.

4. Quel semble être le sens de variation de f sur R

= ]0 ; +∞ [?

Démontrons cette conjecture.

(a) Montrer que

−

=

. (b) Soit 0 < a < b

i. Quel est le signe de b − a ? ii. Quel est le signe de ab ?

iii. En déduire le signe de

puis celui de

−

.

iv. En déduire les variations de f : x 7→

sur ]0 ; +∞ [.

5. En déduire le sens de variation de f sur R

= ] − ∞ ; 0[.

0 1 2

− 1

− 2

− 3 0

− 1

− 2

− 3

− 4 1 2 3 4

x y

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

f (x)

Propriété 12.5. Soit f la fonction inverse.

• La fonction inverse est une fonction impaire.

• f est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0[ et f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞ [

x −∞ 0 +∞

f (x) = 1

x

Seconde

12.5 Fonction racine carrée

12.5 Fonction racine carrée

Définition 12.5. La fonction f définie sur R

= [0 ; +∞ [ par f : x 7→ p x est appelée fonction racine carrée.

A CTIVITÉ 12.4.

Soit f la fonction racine carrée.

1. La fonction racine carrée est-elle paire? Impaire?

2. Compléter le tableau ci-dessous puis tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée dans le repère de la figure 12.1 de la présente page.

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 3,5 4

f (x)

3. Que peut-on conjecturer quant aux variations de la fonction racine carrée?

Prouvons-le.

Soit 0 6 a < b.

(a) Que peut-on dire alors de b − a ? (b) Montrer que b − a = ( p

b + p a)( p

b − p a).

(c) Que peut-on dire du signe de p

b + p a ? En déduire le signe de p

b − p a . (d) En déduire alors le sens de variation de la fonction racine.

F IGURE 12.1: Repère de l’activité 12.4

0 1 2 3 4

1 2

x y

Propriété 12.6. Soit f la fonction racine carrée.

f est strictement croissante sur [0 ; +∞ [.

x 0 +∞

f (x) = p x

0

12.6 Fonction valeur absolue

12.6 Fonction valeur absolue

Définition 12.6. On appelle valeur absolue d’un réel x le réel, noté | x | , tel que :

½ Si x > 0 alors | x | = x Si x 6 _{0 alors | x | = − x}

La fonction valeur absolue est la fonction définie sur R par f : x 7→ | x | . Par exemple, | 3 | = 3 et | − 7 | = 7.

A CTIVITÉ 12.5.

Soit f la fonction valeur absolue.

1. Montrer que la fonction valeur absolue est paire.

2. Compléter le tableau ci-dessous.

3. À l’aide des deux questions précédentes, tracer la courbe représentative de la fonc- tion carrée dans le repère ci-contre.

4. Quel semble être le sens de variation de f sur R

?

Démontrons cette conjecture.

Montrer que si 0 6 _{a < b alors | a | < | b | .} Que peut-on en déduire?

5. En déduire le sens de variation de f sur R

.

0 1 2 3

− 1

− 2

− 3 0

− 1 1 2 3

x y

x 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 2,5 3

f (x)

Propriété 12.7. Soit f la fonction valeur absolue.

• La fonction valeur absolue est une fonction paire.

• Elle est strictement décroissante sur R

et strictement croissante sur R

et admet comme mi- nimum 0.

x −∞ 0 +∞

f (x) = | x |

0

Seconde

12.7 Exercices et problèmes

12.7 Exercices et problèmes

12.7.1 Exercices

E XERCICE 12.1.

Déterminer graphiquement l’ensemble S des solutions de chacune des inéquations suivantes.

On construira avec soin les représentations graphiques des fonctions de référence concernées et on fera apparaître les traits de constructions.

2 6 _x

^p _x > _{2 | x | > 1}

> _{− 3}

O

x y

O

x y

O

x y

O

x y

S = ... ... S = ... ... S = ... ... S = ...

1 6 _x

6 _{5 3} 6 ^p _x 6 _{4 4 > | x | > 2}

_{< 2}

O

x y

O

x y

O

x y

O

x y

S = ... ... S = ... ... S = ... ... S = ...

E XERCICE 12.2.

En s’aidant éventuellement de la courbe de la fonction carrée ou de son tableau de variation, com- pléter par ce qu’il est possible de déduire pour x

:

1. Si x > 3 alors . . . . 2. Si x < − p

2 alors . . . . 3. Si x > 2 alors . . . . 4. Si x < − 3 alors . . . .

5. Si x < 4 alors . . . . 6. Si x > − 10 alors . . . . 7. Si x < 1 alors . . . . 8. Si x > − 5 alors . . . . E XERCICE 12.3.

Résoudre les équations ou inéquations suivantes : 1. x

= 4 ;

2. x

= 5 ; 3. x

= 0 ;

4. x

= − 2 ; 5. x

< 4 ; 6. x

> _{9 ;}

7. x

> − 2 ; 8. x

6 _{− 3 ;} 9. 4 6 _x

6 _{9 ;}

10. − 1 6 _x

6 _{9 ;} 11. 0 6 _x

6 _{8 ;} 12. 4 > x

> 1.

E XERCICE 12.4.

En s’aidant éventuellement de la courbe de la fonction inverse ou de son tableau de variation, com- pléter :

1. Si x > 3 alors . . . . .

. . . . . 2. Si x < − p

2 alors . . .

. . . 3. Si x > 2 alors . . . . .

. . . . .

4. Si x < − 3 alors . . . .

. . . . 5. Si x < 4 alors . . . . .

. . . . . 6. Si x > − 10 alors . . . .

. . . .

7. Si x < 1 alors . . . . .

. . . . .

8. Si x > − 5 alors . . . .

. . . .

12.7 Exercices et problèmes

E XERCICE 12.5.

Calculer p

x

dans les cas suivants :

• x = 3 • x = − 3 • x = 2 • x = − 2

En déduire la valeur de p x

.

12.7.2 Problèmes

P ROBLÈME 12.1.

Résoudre les inéquations suivantes :

1. x 6 _x

_2.

6 _{x 3. x}

6 _x

P ROBLÈME 12.2.

On donne les fonctions f , g et h suivantes :

• f : x 7→ x ; • g : x 7→ x

; • h : x 7→ x

.

Leurs courbes sont notées, respectivement, C

, C

et C

. Sur [O ; +∞ [, étudier les positions relatives :

1. de C

et de C

; 2. de C

et de C

; 3. de C

et de C

. P ROBLÈME 12.3.

Accoudée à son balcon, Morgan laisse échapper son téléphone portable.

La hauteur h par rapport au sol, en mètre, à laquelle le téléphone se situe après t secondes de chute est donnée par la relation : h(t) = − 4,90t

+ 15.

1. De quelle hauteur Morgan lâche-t-il son téléphone?

2. Au bout de combien de temps passe-t-il au 3

étage situé à une hauteur de 9 mètres?

3. Combien de temps s’écoule-t-il pour que le téléphone atteigne le sol ? P ROBLÈME 12.4.

La petite station balnéaire de Port-Soleil est de plus en plus fréquentée. Aussi pour satisfaire les vacanciers, le maire a-t-il décidé d’agrandir l’aire de jeu. Actuellement, cette aire a la forme d’un carré de 5 mètres de côté. Le responsable du projet propose d’allonger chacun de ses côtés pour lui donner la forme rectangulaire ci-dessous :

ancienne aire

5 5

y

x extension

1. Exprimer l’aire de cette nouvelle aire de jeu en fonction de x et y.

2. Les contraintes budgétaires de la commune font que la surface de la nouvelle aire de jeu devra être de 100 mètres carrés.

Démontrer que y =

− 5.

Seconde

12.7 Exercices et problèmes

(a) La valeur de y est limitée à 5 mètres par le bord de mer. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

(b) Représenter la fonction f avec la calculatrice sur l’intervalle [5 ; 15].

(c) Quelles semblent être les variations de f sur l’intervalle [5 ; 15]?

(d) Parmi les deux valeurs suivantes de x, laquelle donne à la nouvelle aire de jeu la plus grand périmètre : x

= 5 m ou x

= 10 m?

P ROBLÈME 12.5.

Sur les côtés d’un carré ABC D de côté 4, on place les points M , N, P , Q, R, S, T et U comme indiqué sur le dessin, où 0 6 x 6 2. On note A (x) l’aire du domaine grisé.

x x

x x

A M N B

U E F

P

T H G

Q

D S R C

1. Montrer par un raisonnement géométrique que A (x) peut s’écrire sous l’une des formes sui- vantes : A (x) = 4x

+ (4 − 2x)

ou A (x) = 16 − 4x(4 − 2x).

2. Montrer que l’on a aussi : A (x) = 8x

− 16x + 16.

3. En utilisant la forme la plus adaptée, calculer A (2) puis A ( p 3).

4. (a) Montrer que : A (x) = 8(x − 1)

+ 8.

(b) En déduire que l’aire A (x) est minimale pour x = 1.

5. (a) Montrer que : A (x) = (2x − 1)(4x − 6) + 10.

(b) En utilisant l’expression précédente de A (x), déterminer les valeurs de x telles que l’aire A (x) soit égale à 10.

P ROBLÈME 12.6.

Les maîtres nageurs d’une plage disposent d’un cordon flottant d’une longueur de 400 m avec le- quel ils délimitent la zone de baignade surveillée, de forme rectangulaire.

Le problème est de déterminer les dimensions de ce rectangle pour que l’aire de baignade soit maxi- male.

On appelle x la largeur du rectangle et y sa longueur.

plage

zone de baignade x

y

12.7 Exercices et problèmes

1. Expression de l’aire de la zone de baignade

(a) Calculer l’aide de la zone de baignade lorsque x = 50 m et lorsque x = 100 m.

(b) Quelles sont les valeurs posibles pour x ?

(c) Sachant que la longueur du cordon est de 400 m, exprimer y en fonction de x.

(d) Exprimer, en fonction de x, l’aire A (x) de la zone de baignade. Sur quel intervalle cette fonction est-elle définie?

2. Recherche graphique de l’aire maximale.

(a) Représenter dans un repère aux unités bien choisies la courbe de A . (b) Pour quelle(s) valeur(s) de x, l’aire semble-t-elle maximale?

3. Recherche par le calcul de l’aire maximale.

(a) Démontrer que pour tout x ∈ [0;400], A (x) peut s’écrire sous la forme : A (x) = 20000 − 2(x − 100)

(b) Peut-on obtenir une aire de 22 000 m

? Justifier.

(c) Quelle est l’aire maximale qu’on peut obtenir? Quelles sont alors les dimensions du rec- tangle?

P ROBLÈME 12.7.

Soient f et g les fonctions définies sur R par : f : x 7→ − x

+ 4x et g (x) = − x

+ 4. On a tracé sur le graphique 12.2 de la présente page les courbes représentatives de f et de g .

1. Associer chaque courbe à la fonction qu’elle représente. Justifier succintement.

2. Déterminer graphiquement le nombre de solution des équations :

• f (x) = 0 ;

• g (x) = 0 ;

• f (x) = g (x).

3. Résoudre par le calcul : f : (x) = 0 et g (x) = 0 4. Résoudre graphiquement : f (x) 6 _{g (x).}

5. Un logiciel de calcul formel affiche les choses suivantes : (%i1) factor(-x^3+x^2+4*x-4);

(%o1) - (x - 2) (x - 1) (x + 2) (a) Interpréter ces deux lignes.

(b) En déduire une résolution algébrique de l’inéquation f (x) 6 g (x).

Seconde

12.7 Exercices et problèmes

F IGURE 12.2: Graphique de l’exercice 12.9

0 1 2 3

− 1

− 2

− 3 0

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5 1 2 3 4

O _~ ı

~ 

x y

C

C