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D245. Des cercles dans un carré

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Academic year: 2022

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D245. Des cercles dans un carré

Dans un carré de côté 80, je trace des cercles dont la longueur totale des circonférences est égale à 2008. Montrer qu’il existe une droite qui coupe au moins 8 d’entre eux.

Solution

Proposée par Fabien Gigante

Raisonnons par l’absurde, et faisons l’hypothèse que toute droite coupe au maximum 7 cercles.

Lorsqu’on projette les cercles sur un côté du carré, on obtient des segments dont les longueurs sont égales aux diamètres des cercles. Selon notre hypothèse, un point donné pris sur le côté du carré appartient à 7 segments maximum car la perpendiculaire au côté en ce point coupe au maximum 7 cercles. La longueur totale des segments, égale à la somme des diamètres des cercles, est alors inférieure ou égale à 7 80 560. Par conséquent, la somme des circonférences des cercles est inférieure ou égale à 560. Puisque cette valeur est donnée égale à 2008, nous avons une contradiction.

On conclut qu’il existe nécessairement une droite qui coupe au moins 8 cercles.

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