PanaMaths Janvier 2015

PanaMaths Janvier 2015

On donne :

²

0

2

e

t

dt π

+∞

∫

−

= ^. Convergence et calcul de :

2

2 0

1 e

^t

dt t

+∞

−

−

∫ ^.

Analyse

L’analyse de l’intégrande (strictement positive sur ^*₊ ) au voisinage de 0 (limite) et de +∞

(majoration) permet rapidement de conclure à la convergence. Pour le calcul proprement dit, la dérivée de la fonction t e^−t2 doit faire penser à une intégration par parties.

Résolution

Notons d’abord que l’on a, pour tout réel t strictement positif : t²>0, donc e^t2 >1 puis

2

0<e^−t <1. D’où : 0 1< −e^−t2 <1 et enfin :

2

2 2

1 1

0 e t

t t

− −

< < .

La fonction

2

2

1 e ^t

t t

− −

définie sur ^*₊ prend donc des valeurs strictement positives.

Comme on a classiquement :

01

ex∼ +x, il vient : ^{2 2}

01

e⁻t ∼ −t puis ^{2 2}

0

1−e^−t ∼t et enfin :

2

2 0

1 1

e t

t

− − ∼ , c'est-à-dire :

2

0 2 0

lim1 1

t x

x

e t

−

→>

− = .

L’intégrale

2

2 0

1 e ^t t dt

+∞ − −

∫

est donc faussement impropre en 0.

Pour le comportement en +∞, on peut utiliser l’inégalité

2

2 2

1 e ^t 1

t t

− − < et rappeler que la

fonction de référence 1₂

t t est intégrable sur tout intervalle de la forme

[

^{a;+ ∞}

[

^{où a est}

un réel strictement positif. On en déduit alors que la fonction

2

2

1 e ^t

t t

− −

est également intégrable sur tout intervalle de la forme

[

^{a;+ ∞}

[

où a est un réel strictement positif.

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Finalement, l’intégrale

2

2 0

1 e ^t t dt

+∞ − −

∫

est convergente.

Soit maintenant a un réel strictement positif quelconque fixé et x et y deux réels strictement positifs tels que : 0< < <x a y.

Intéressons-nous à l’intégrale :

2

2

a1 t

x

e dt t

− −

∫

^.

Nous pouvons procéder à une intégration par parties :

: 1 ^t2

u t −e⁻ donne u t' : 2te^−t2

2

' : 1

v t t dont une primitive est 1 :

v t −t On a alors :

( )

2

2 2

2

2

2 2

2 2

1 1 1

1 2

1 2

1 1

2

a t a a

t t

x x x

a a

t

t x x

a x a

t x

e dt e te dt

t t t

e e dt

t

e e

e dt

a x

− − −

− −

− −

−

− =⎡⎢⎣ − × −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎤⎥⎦ − × −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠

⎡ − ⎤

= −⎢ ⎥ +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

− −

= − + +

∫ ∫

∫

∫

On a : ^{2 2}

0

1−e^−x ∼x et donc

2

0

1 e ^x x x

− − ∼ . D’où :

2

0 0

0 0

lim1 lim 0

x

x x

x x

e x

x

−

→ →

> >

− = = .

On en déduit :

2 2

2

2

0 0

1 1

2

a t a a

e e t

dt e dt

t a

− −

− = − − + −

∫ ∫

^.

En procédant de façon analogue, on a :

2 2

2

2 2

2 2

1 1

2

1 1

2

y t t y y

t

a a a

y a y

t a

e e

dt e dt

t t

e e

e dt

y a

− −

−

− −

−

⎡ ⎤

− = −⎢ − ⎥ +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

− −

= − + +

∫ ∫

∫

Comme lim ^y2 0

y e⁻

→+∞ = , il vient 1 2

lim 0

y y

e y

−

→+∞

− = puis :

2 2

2

2

1 1

2

t a

t

a a

e e

dt e dt

t a

+∞ − − +∞

− = − + −

∫ ∫

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Les deux résultats ci-dessus nous permettent d’écrire :

2 2 2

2

2 2 2

0 0

1 1 1

1

t a t t

a a

e e e

dt dt dt

t t t

e a

+∞ − − +∞ −

−

− = − + −

= − −

∫ ∫ ∫

2 2

0

2 1

a a

t e

e dt a

− − −

+

∫

+ ²

2

0

2 2

t a t

e dt

e dt

+∞ −

+∞

−

+

=

∫

∫

Soit finalement, en tenant compte de ²

0 2

e t dt π

+∞

− =

∫

^:

2

2 0

1 e ^t

t dt π

+∞

∫

− − = ^.

Résultat final

L’intégrale

2

2 0

1 e ^t t dt

+∞ − −

∫

est convergente et on a :

2

2 0

1 e ^t

t dt π

+∞

∫

− − =