1 Th´ eor` eme de Banach–Steinhaus

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Théorème de Banach–Steinhaus Théorèmes de l’application ouverte et du graphe fermé.

1 Th´ eor` eme de Banach–Steinhaus

Théorème de Banach-Steinhaus: SoientEetFdeux espaces vectoriels normés. Supposons queEsoit un espace de Banach. Soit (Ti)i∈Iune collection deL(E, F). Si pour toutx∈E, on a sup_i∈IkTi(x)k<∞, alors sup_i∈IkTik<∞.

Th´eor`eme de Banach-Steinhaus sur la convergence : Soient E et F deux espaces de Banach.

Soit (T_n)_n≥1 une suite de L(E, F). Soit D un ensemble dense de E. Les propositions suivantes sont

´

equivalentes :

a) ∀x∈E, lim_n→∞T_n(x) existe.

b) ∀x∈ D, limn→+∞T_n(x) existe et sup_n≥1kTnk<∞.

Lorsque ces conditions sont vérifiées, l’application T : E → F définie par T(x) = lim_n→∞T_n(x) est linéaire et continue aveckTk ≤lim inf_n→∞kTnk.

Exercice 1 (les suites faiblement convergentes sont born´ees) SoitEun espace de Banach et E^∗ son dual. Soit (xn)_n≥1une suite deE, et (Λn)n une suite deE^∗.

a) Montrer que si Λn

*∗ Λ alors (kΛnk)n est born´ee etkΛk ≤lim inf_n→∞kΛnk.

b) Montrer que sixn* xalors (kxnk)n est born´ee etkxk ≤lim inf_n→∞kxnk.

Exercice 2 Soit E un espace de Banach et E^∗ son dual. Soit (xn)n≥1 une suite de E, et (Λn)n une suite deE^∗.

a) Montrer que si Λn→Λ pour la topologie forte et si xn* xalorshΛn, xni*hΛ, xi.

b) Montrer que si Λn

*∗ Λ et sixn→xfortement dansE, alorshΛn, xni → hΛ, xi.

c) Construire un exemple d’une suitexn* xet d’une suite Λn

*∗ Λ telles que hΛn, xni 6→ hΛ, xi.

Exercice 3 Soit 1< p≤ ∞. Soit (fk)⊂`^p.

1. Montrer que, si 1< p <∞,fk* f si et seulement si (fk) est born´ee dans (`^p,k · kp) et∀n∈Non a fk(n)→f(n).

2. Montrer que si p= +∞, fk

* f∗ (dans la topologie T(`^∞, `¹)) si et seulement si (fk) est born´ee dans (`^∞,k · k_∞) et∀n∈Non afk(n)→f(n).

Remarque.Pour l’espace`¹, on peut démontrer le résultat inattendu suivant : fk * f ⇐⇒ fk →f (propriété de Schur). En particulier, (i) la sphère {x∈ `¹:kxk1 = 1} est séquentiellement fermée avec la topologie faible de`¹ (mais non-fermée avec cette même topologie !). (ii) l’applicationx7→ kxk1 est séquentiellement continue (mais non continue !) avec la topologie faible de`¹,

Exercice 4 Soit E1 un espace de Banach et soient E2 et F deux espaces vectoriels normés. Soit B :E₁×E₂ →F une application bilinéaire dont les applications partielles sont continues, c.-à-d. pour tout x ∈ E₁, l’application de E₂ dans F qui à y associe B(x, y) est continue et pour tout y ∈ E₂, l’application deE₁ dansF qui à xassocieB(x, y) est continue.

Montrer queB est continue surE₁×E₂.

Exercice 5 (La s´erie de Fourier d’une fonction continue peut diverger) On noteC2πl’ensemble des fonctions de R dans C, qui sont 2π-p´eriodiques et continues dans R, muni de la norme kfk_∞ = sup_{−π≤t≤π}|f(t)|. Pour toutf ∈ C2π, on note

∀p∈Z, cp(f) = 1 2π

Z π

−π

f(t)e^−iptdt,

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lep-i`eme coefficient de Fourier def. Pour toutn∈N^∗, on consid`ere l’applicationTn: C2π →Ctelle que

Tn(f) =

n

X

p=−n

cp(f).

1. Supposons l’existence d’une suite gn: R → C de fonctions continues, 2π-périodiques, telles que kgnk∞≤1 et|Tn(gn)| → ∞. Déduire du théorème de Banach–Steinhaus qu’il existe une fonction f ∈ C2π dont la série de FourierP∞

p=−∞cp(f)e^iptdiverge en t= 0.

2. On se propose de construire la suite (gn).

(a) SoitEl’espace des fonctions 2π-p´eriodiques, continues par morceaux, muni de la normekfk1=

1 2π

Rπ

−π|f(t)|dt. Montrer queT_n ∈ L(E,C).

(b) SoitDn(t) =Pn

p=−neîpt. Montrer, en utilisant une série géométrique, queDn(t) = ^sin((N⁺

1 2)t) sin(t/2) . Conclure quekDnk1→ ∞ (ne pas calculer l’int´egrale, mais chercher une minoration).

(c) Soithn(t) = sign(Dn(t)). D´emontrer que Tn(hn) =kDnk1.

(d) Construire une suite (gn) de fonctions continues dansRet 2π-p´eriodiques v´erifiantkgnk_∞= 1 et khn−gnk ≤ ¹_n. Conclure que|Tn(gn)| → ∞.

2 Th´ eor` emes de l’application ouverte et du graphe ferm´ e

Théorème de l’application ouverte: Soient E et F deux espaces de Banach. SoitT : E → F une application linéaire continue et surjective. Alors :

a) Il existeC >0 tel que∀y∈Y,∃x:T(x) =y aveckxk ≤Ckyk.

b) SiV est un ouvert de X,T(V) est un ouvert deY.

Exercice 6 Démontrer le théorème de Banach qui affirme que :siE etF sont deux espaces de Banach etT ∈ L(E, F)est bijective alors T⁻¹∈ L(F, E).

SoitEl’espace des fonctions polynomiales sur [0,1] muni de la normek·k_∞. Construire une application lin´eaireT:E→F continue et bijective, avec inverseT⁻¹:F →E discontinue.

Exercice 7 (Rigidit´e de la norme)

1. Montrer que, dans un e.v.n. de dimension infinie, on peut toujours construire une nouvelle norme strictement plus forte (autrement dit, la topologie induite par la nouvelle norme est strictement plus fine). (Indication : définir une nouvelle norme en considérant une application linéaire discontinue).

2. En appliquant le théorème de l’application ouverte à l’identité, démontrer le fait suivant :On ne peut pas mettre sur un e.v. deux normes de Banach dont l’une est strictement plus forte que l’autre.

Exercice 8 SoientE et F deux espaces de Banach et T:E→F une application lin´eaire.

1. On suppose que

xn→x et T xn→y

⇒ y=T x. (∗)

Montrer quekxk1=kxkE+kT xkF d´efinit une nouvelle norme de Banach surE.

2. En d´eduire queT ∈ L(E, F) si et seulement siT v´erifie (∗).

3. Donner une interpretation topologique de la condition (∗).

Théorème du graphe fermé: SoientE etF deux espaces de Banach. SoitT :E→F une application linéaire. SiG(T) :={(x, T(x) :x∈E}est fermé dansE×F, alorsT est continue.

Exercice 9 SoitT:C¹([0,1])→C([0,1]) l’opérateur de dérivation,T(f) =f⁰. Montrer que siC¹([0,1]) etC([0,1]) sont munis de la norme k · k_∞, alors le grapheG(T) est fermé, maisT n’est pas continu.

Exercice 10 Pourx= (x_n)∈`^∞ et (a_n)⊂C, on posekxk=P∞ 1 |anx_n|.

1. Donner une c.n.s. sur la suite (a_n) pour quek · k: `^∞→Rd´efinisse une norme.

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2. Démontrer quek · kn’est jamais équivalente à k · k_∞ dans`^∞. 3. Démontrer quek · kn’est jamais une norme de Banach sur`^∞.

Exercice 11 (Rigidité de la topologie) Soit X un ensemble muni de deux topologiesT1 ⊂ T2. On suppose que (X,T1) est séparé et que (X,T2) est compact. Montrer queT1=T2.

(En particulier :Si X est un espace topologique compact et séparé, lorsqu’on rajoute des ouverts on perd la compacité, lorsqu’on en enlève on perd la propriété de séparation).

Exercice 12 SoientEetF deux espaces de Banach etT :E−→F une application lin´eaire. On suppose que, pour toute suite (xn)n deEconvergeant vers 0 et pour toute forme lin´eaire continue ϕ^∗∈F^∗, on a

n→+∞lim ϕ(T x_n) = 0.

Montrer queT est continue (on pourra utiliser le théorème du graphe fermé).

Exercice 13 Soit E un espace de Banach, A et B deux sous-espaces ferm´es de E. Supposons que E=A+B. Montrer qu’il existe une constanteγ <+∞telle que, pour toutx∈E, il existe (a, b)∈A×B avec

x=a+b et kak+kbk ≤γkxk.

Exercice 14 SoitM un sous-espace fermé d’un espace vectoriel normé E. On dit que M admet un supplémentaire topologique s’il existe un sous-espace ferméN deX tel que

E=M+N et M∩N ={0}.

On utilise dans ce cas la notationE=M ⊕N.

1. SoitP une projection sur E, c’est `a dire une application lin´eaire P:E →E telle queP ◦P =P. On suppose queP est continue. Montrer que alors

E= Im(P)⊕ker(P).

2. R´eciproquement si E est un espace de Banach et si E = A⊕B (avec A et B deux sous-espaces ferm´es deE), alors la projection d’imageAet de noyauB est continue.

3. En déduire qu’un sous-espace fermé d’un espace de BanachEadmet un supplémentaire topologique si et seulement si il est l’image d’une projection continue surE.

Exercice 15 SoitE un e.v.n. etM un sous-espace ferm´e deE

Montrer queM admet un suppl´ementaire topologique dansE, dans les deux cas suivant : (i) dimM <+∞ (ii) dim (E/M)<+∞.

Indication :pour (i) si {e1, e2, . . . , en} est une base deM, on pourra considérer les applications coor- données x7−→αi(x), où

x=

n

X

i=1

αi(x)ei.

Remarque.Un théorème du cours affirme que dans un espace de Hilbert tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique. On peut démontrer que ce n’est pas le cas en général (même dans les espaces reflexifs).

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