Math 202 B USTL El´ements de calcul diff´erentiel Parcours PC et SPI
Examen 2e session, le 19 Juin 2008 `a 14h,Dur´ee : 3h Documents, calculatrices et t´el´ephones interdits
Exercice I. (Question de cours) (3 points)
(a) Donner la d´efinition de la diff´erentiabilit´e en un point d’une fonction f :R2 →R.
(b) Donner un exemple de fonction deR2dansRdiff´erentiable surR2et donner sa diff´erentielle.
Exercice II. (3 points) On consid`ere la fonctionf d´efinie sur R2 par f(x, y) = xy2
x4+y2 −y pour (x, y)6= (0,0); et f(0,0) = 0.
(a) Montrer quef est continue en (0,0).
(b) Calculer ∂f
∂x(0,0) et ∂f
∂y(0,0).
(c) Montrer quef n’est pas diff´erentiable en (0,0).
Exercice III. (3 points) SoitD ={(x, y, z) ∈R3 |x ≥0, 0 ≤z ≤y, x2+y2 ≤ 1}.Calculer ZZZ
D
xyz dxdydz.
Exercice IV. (6 points) Soit ω=xdx+xydy une forme diff´erentielle surR2. 1. Est-ce que ω est ferm´ee sur R2 ?
2. Soit Γ1={(x, y)|x2+y2 = 2, y >0,−1≤x≤1}orient´e du point (1,1) au point (−1,1).
Calculer Z
Γ1
ω.
3. Soit ΓZ 2 ={(x, y)|y = x2,−1 ≤ x ≤1} orient´e du point (−1,1) au point (1,1). Calculer
Γ2
ω.
4. Soit D={(x, y)∈R2|x2 ≤y, x2+y2 ≤2}. Calculer ZZ
D
ydxdy.
5. Faire un dessin repr´esentant D, Γ1 et Γ2. Justifier une relation entre les trois int´egrales pr´ec´edentes.
Exercice V. (5 points) Soient U ={(x, y)∈R2 |x <0< y} un ouvert deR2, etϕ:U →R2 d´efinie parϕ(x, y) = (xy, x+y).
1. Montrer queϕ est un changement de variables (diff´eomorphisme) de classeC1 de U sur V ={(u, v)∈R2 |u <0}.
Donner l’expression de l’application r´eciproque ϕ−1(u, v).
2. On cherche les solutions f de classeC1 surU de l’´equation aux d´eriv´ees partielles
∂f
∂x −∂f
∂y = 3(y−x).
On posef(x, y) =F(u, v) o`u u=xy, v=x+y.
(i) Trouver l’´equation aux d´eriv´ees partielles que v´erifie F.
(ii) R´esoudre l’´equation pourF et en d´eduire les solutions pourf.
