COURS 03 INTEGRALES A PARAMETRE 2020 2021

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CHAPITRE 3

INT´

EGRALES `

A PARAM`

ETRE

⊙

Nous entrons dans le champ des transformées de fonctions. Une transformée est une opération consistant à associer à une fonction appartenant à un espace fonctionnel une nouvelle fonction, la plupart du temps définie de manière intégrale, et appartenant à un espace fonctionnel potentiellement différent. Une transformation est donnée en général par T :f7→

(

T(f) :u7→

∫

If(t)K(u, t)dt

)

où Kest appelé le noyau de la transformationT sur un intervalle temporelI(sous réserve de convergence).

Au début du XIXe si`_{ecle, Fourier montre que toute fonction périodique peut se décomposer comme} somme d’une série de fonctionst7→cos(kt) et t7→sin(kt) (les harmoniques), il utilise cette décomposition pour étudier les solutions de l’équation de la chaleur. Mais il généralise cette propriété à toute fonction non périodique par la transform´_{ee de Fourier à valeurs réelles ou complexes dont la variable indépendante peut} s’interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation : cette transformation permet de passer du domaine temporel au domaine fréquentiel (spectre).

La transformation de Laplace généralise la transformation de Fourier ; elle est utilisée pour résoudre les équations différentielles. Contrairement à cette dernière, elle tient compte des conditions initiales et peut ainsi être utilisée en théorie des vibrations mécaniques ou en électricité dans l’étude des régimes forcés sans négliger le régime transitoire. Elle est très utilisée en automatique.

Il y a beaucoup d’autres transformations int´egrales, par exemple et de mani`ere non exhaustive, celles de Mellin, de Hankel, de Stieltjes, de Hilbert, de Weierstass....

Ces transformations sont d’autant plus intéressantes qu’elles sont bijectives et qu’on a une expression exploitable de la transformation inverse. Ce faisant, le travail sur les fonctions transformées peut donc donner en retour des informations sur le signal originel : par exemple, la résolution d’équations différentielles linéaires par la transform´_{ee de Laplace qui ramène cette résolution à une équation algébrique.}

Le théorème de convergence dominée, l’un des plus puissants de la théorie de l’int´_{egrale de Lebesgue,} nous permettra de prouver les théorèmes de continuité et de dérivabilité de ces transformées intégrales selon les propriétés de domination du noyauKou de sa dérivée partielle par rapport à la variableu.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : th´eor`eme de convergence domin´ee

- 1 : convergence simple d’une suite de fonctions. . . .page 56 - 2 : le fameux théorème. . . .page 56 Partie 2 : continuit´e des intégrales à paramètre

- 1 : version universelle. . . .page 57 - 2 : version “sur tout segment”. . . .page 58 - 3 : version “limite”. . . .page 58 Partie 3 : d´erivabilité des intégrales à paramètre

- 1 : version universelle. . . .page 59 - 2 : version “sur tout segment”. . . .page 60

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56 INT ÉGRALES À PARAM ÈTRE

PARTIE 3.1 : TH´

EOR`

EME DE

CONVERGENCE DOMIN´

EE

3.1.1 : Convergence simple d’une suite de fonctions

D ´EFINITION 3.1 :

Soit (fn)n∈ N∈F(I,K)N une suite de fonctions deI dans K.

On dit que la suite (fn)n∈ N converge simplement surI vers f∈F(I,K) si ∀x∈I, lim

n→+∞fn(x) =f(x).

La fonctionf:I→ K est alors appel´ee la limite simple de la suite (fn)n∈ N.

REMARQUE 3.1 : La convergence simple de la suite de fonctions (fn)n∈ N vers f sur I se traduit par

cette phrase math´ematique : ∀x∈I, ∀ε > 0, ∃n0∈ N, ∀n>n0, |fn(x)−f(x)|< ε.

EXEMPLE 3.1 : La suite (fn)n∈ N d´efinie par fn : x∈ [0;1]7→ xn converge simplement sur [0;1]

vers la fonctionftelle que f(x) =0six∈ [0;1[ etf(1) =1.

3.1.2 : Le fameux th´

eor`

eme

TH ÉOR ÈME DE CONVERGENCE DOMIN ÉE ( ÉNORME) 3.1 : Soit (fn)n∈ N∈F(I,K)N une suite de fonctions. On suppose que :

(H1) la suite (fn)n∈ N converge simplement sur I vers f,

(H₂) les fonctions f_n et la fonctionf sont continues par morceaux sur I,

(H3) ∃φ:I→ R+ continue par morceaux et int´egrable surI telle que ∀n∈ N,|fn| 6φ.

Alors :

(R1) Les fonctions fn et la fonction f sont int´egrables sur I.

(R2) lim n→+∞

∫

Ifn =

∫

If.

D´emonstration : hors programme.

EXEMPLE 3.2 : Calculer lim

n→+∞

∫

π/2

0 (n+1)sin

n₍_t₎_cos₍_t₎_dt_{. Qu’en conclure ?}

EXERCICE 3.3 : D´eterminer lim

n→+∞

∫

+_∞

0 e

−tn

dt.

REMARQUE 3.2 : Phrase du programme officiel : “L’hypothèse de continuité par morceaux def, imposée par les limitations du programme, n’a pas l’importance de l’hypothèse de domination”. Cela tient au fait que nous utilisons l’int´_{egrale de Riemann. Il en existe d’autres : l’intégrale de Lebesgue notamment} ou l’hypothèse de continuité par morceaux est remplacée par la mesurabilité de la fonction.

EXERCICE CLASSIQUE 3.4 : Soitfn: R+→ R telle que ∀t∈ [0;

√ n], fn(t) = ( 1−t2 n )n et fn(t) =0sit > √ nd`es que n>1. Exprimer

∫

+∞

0 fn(t)dten fonction des int´egrales de Wallis.

En d´eduire la valeur de l’int´_{egrale de Gauss :}

∫

+∞

0 e −t2

(3)

ORAL BLANC 3.5 : CCP PSI 2014 Gabriel Detraz SoitIn=

∫

+∞ 0 1 t(1+t2)sin ( t n ) dt.

a. V´erifier queI_n est bien d´efini et calculer lim

n→+∞In.

b. Trouver un ´equivalent deIn quandntend vers +∞.

PARTIE 3.2 : CONTINUIT´

E DES

INT´

EGRALES `

A PARAM`

ETRE

3.2.1 : Version universelle

On noteI etJdeux “vrais” intervalles de R ; c’est-à-dire qu’ils contiennent au moins deux réels distincts. TH ÉOR ÈME DE CONTINUIT É SOUS LE SIGNE SOMME ( ÉNORME) 3.2 :

Soit f:I×J→ K, on suppose que :

(H1) pour tout t∈J, la fonctionx7→f(x, t) est continue sur I,

(H2) pour tout x∈I, la fonction t7→f(x, t) est continue par morceaux (et int´egrable sur J),

(H₃) ∃φ:J→ R+ continue par morceaux, int´egrable sur Javec ∀(x, t)∈I×J, |f(x, t)| 6φ(t). Alors la fonction g:I→ K telle que g(x) =

∫

Jf(x, t)dtest continue sur I.

D´emonstration : Non exigible.

EXEMPLE 3.6 : Prenons iciI=J= R+ etf:I×J→ R d´efinie parf(x, t) =xe−tx.

Les hypothèses (H1) et (H2) sont clairement vérifiées.

Calculer directement, pourx∈ R+, la valeur deg(x) =

∫

+∞ 0 xe

−tx_dt_{. Qu’en d´}_{eduire ?}

REMARQUE FONDAMENTALE 3.3 : • On remarque encore que (H3) entraˆıne l’int´egrabilit´e dans (H2).

• Si les intervalles I et J sont des segments et si fest une fonction continue (de deux variables) sur I×J, on verra que les fonctions ”partielles” des hypoth`eses (H1) et (H2) sont continues et quef est

born´ee (parM) surI×Jdonc on peut choisirφ(t) =Mci-dessus.

EXERCICE 3.7 : Soitg:x7→

∫

+∞ −∞

e−x2t2 1+t2dt.

Donner l’ensemble de d´efinitionDdeget montrer quegest continue surD.

3.2.2 : Version “sur tout segment”

TH ÉOR ÈME DE CONTINUIT É SOUS LE SIGNE SOMME (VERSION SUR TOUS LES SEGMENTS) ( ÉNORME) 3.3 :

(H1) pour tout t∈J, la fonctionx7→f(x, t) est continue sur I,

(H₂) pour tout x∈I, la fonction t7→f(x, t) est continue par morceaux et int´egrable sur J, (H3) pour tout segment [a;b]⊂I, il existe une fonctionφa,b:J→ R+ continue par morceaux

et int´egrable sur Jtelle que ∀(x, t)∈ [a;b]×J, |f(x, t)| 6φa,b(t).

Alors la fonction g:I→ K telle que g(x) =

∫

(4)

58 INT ÉGRALES À PARAM ÈTRE REMARQUE 3.4 : • La fonctionφa,b peut dépendre dea etbmais elle doit être indépendante de x.

• Dans le théorème ci-dessus, on n’est pas obligé de considérer des segments, si par exemple on prouve quefest continue sur tous les intervalles de la forme [a; +∞[ poura > 0(le problème se trouvant dans ce cas au voisinage de0), alors on conclura tout de mˆeme à la continuité degsur R∗₊.

EXERCICE 3.8 :

Montrer queg:]−1;1[→ R d´efinie parg(x) =

∫

π

0 ln

(

1+x cos(t))dtest continue sur ]−1;1[.

3.2.3 : Version “limite”

REMARQUE HP 3.5 : Dans le même style mais hors programme, donc à savoir re-démontrer : Soitf:I×J→ K tel queI soit un voisinage de +∞ :

(H1) il existeh:J→ K continue par morceaux telle que pour toutt∈J, lim

x→+∞f(x, t) =h(t),

(H2) pour tout x∈I, la fonctiont7→f(x, t) est continue par morceaux surJ,

(H3) ∃φ:J→ R+ cont. par morceaux, int´egrable surJet ∀(x, t)∈I×J, |f(x, t)| 6φ(t). Alorsg:I→ K telle queg(x) =

∫

Jf(x, t)dt admet une limite en +∞ et x→+∞lim g(x) =

∫

Jh.

EXEMPLE 3.9 : Calculer lim

x→+∞

∫

+∞ 0 dt 1+t2etx .

PARTIE 3.3 : D´

ERIVATION DES

INT´

EGRALES `

A PARAM`

ETRE

3.3.1 : Version universelle

TH ÉOR ÈME DE D ÉRIVATION SOUS LE SIGNE SOMME ( ÉNORME) 3.4 : Soit I etJdes intervalles et f:I×J→ K telle que

(H1) pour tout t∈J,x7→f(x, t) est de classeC1 sur I,

(H2) pour tout x∈I, t7→f(x, t),t7→ ∂f_∂x(x, t) sont continues par morc. et int´egrables sur J,

(H₃) ∃φ:J→ R+ continue par morceaux, int´egrable sur Jet ∀(x, t)∈I×J, _∂x∂f(x, t) 6φ(t).

Alors :

(R₁) La fonction g:I→ K telle queg(x) =

∫

Jf(x, t)dt est de classe C 1 _sur _I. (R2) ∀x∈I, g′(x) =

∫

J ∂f ∂x(x, t)dt(formule de Leibniz).

D´emonstration : Non exigible.

REMARQUE 3.6 : Souvent, l’étude de la monotonie de gne nécessite pas l’utilisation de ce théorème.

EXEMPLE 3.10 : On poseg(x) =

∫

+∞

1

dt

tx+1. Donner le domaine de d´efinition deg. Montrer que la fonctiongest d´ecroissante et de limite nulle en +∞.

ORAL BLANC 3.11 : Petites Mines PSI 2014 Benjamin R.

PosonsS(x) =

∫

+∞

0 e −t2

cos(xt)dt. Montrer queS(x) converge, que Sest de classeC1 et établir une équation différentielle d’ordre1vérifiée parS. Que vautS(0) ? ExpliciterS(x).

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3.3.2 : Version “sur tout segment”

TH ÉOR ÈME DE D ÉRIVATION SOUS LE SIGNE SOMME (VERSION SUR TOUS LES SEGMENTS) ( ÉNORME) 3.5 :

(H1) pour tout t∈J, la fonctionx7→f(x, t) est de classe C1 sur I,

(H2) pour tout x ∈I, les fonctions t7→f(x, t) et t7→ _∂x∂f(x, t) sont continues par morceaux et

int´egrables sur J,

(H3) pour tout segment [a;b]⊂I, il existe une fonctionφa,b:J→ R+ continue par morceaux

et int´egrable sur Jtelle que ∀(x, t)∈ [a;b]×J, ∂f ∂x(x, t)

6φa,b(t).

Alors :

(R1) La fonction g:I→ K telle queg(x) =

∫

Jf(x, t)dt est de classe C 1 _sur _I. (R2) ∀x∈I, g′(x) =

∫

J ∂f ∂x(x, t)dt(formule de Leibniz).

EXERCICE CLASSIQUE 3.12 : Reprenons l’´etude de g :]−1;1[→ R d´efinie par la relation g(x) =

∫

π

0 ln

(

1+x cos(t))dt. Trouvons une expression “plus simple” deg(x) en explicitant sa d´eriv´ee.

REMARQUE 3.7 : Soitf:I×J→ K telle que g:I→ K d´efinie par ∀x∈I, g(x) =

∫

Jf(x, t)dtexiste.

Si on veut prouver que g : I → K est de classe Cn (avec n > 1) sur I, on proc`ede par r´ecurrence en utilisant le th´eor`_{eme de Leibniz}nfois. Il faut donc prouver que :

• ∀t∈J, x7→f(x, t) est de classeCn surI.

• ∀x∈I, t7→f(x, t) est continue par morceaux et int´egrable surJ(pour initialiser la r´ecurrence). • ∀k∈ [[1;n]], ∀x∈I, t7→ ∂kf

∂xk(x, t) est continue par morceaux surJ(on verra l’intégrabilité de cette fonction avec l’hypothèse de domination ci-dessous).

• ∀k ∈ [[1;n]], ∀[a;b] ⊂ I, ∃φa,b,k : J → R+ continue par morceaux et int´egrable sur J telle que

∀(x, t)∈ [a;b]×J, ∂kf ∂xk(x, t)

6φa,b,k(t) (∀x∈I, lest7→ ∂ k_f

∂xk(x, t) sont donc int´egrables sur J).

Alorsg:I→ K telle queg(x) =

∫

Jf(x, t)dt estC

n _sur_I_et _∀_k_{∈ [[}₀_;_n_]]_, _∀_x_∈_{I, g}(k)₍_x_{) =}

∫

J

∂kf

∂xk(x, t)dt.

EXEMPLE FONDAMENTAL 3.13 : Soit Γ d´efinie par Γ(x) =

∫

+∞

0 t

x−1_e−t_dt_:

• Γ (appel´ee fonction “Gamma” d’Euler) est d´efinie sur R∗ +.

• Γ est de classeC∞ sur son ensemble de d´efinition.

• ∀x > 0, Γ(x+1) =xΓ(x). Comme Γ(1) =1, par r´ecurrence : ∀n∈ N∗, Γ(n) = (n−1)!.

• Γ(1 2 )

=√πdonc par r´ecurrence : ∀n∈ N, Γ ( n+1 2 ) = (2n)! 22nn! √ π.

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60 INT ÉGRALES À PARAM ÈTRE

EN PRATIQUE : Pour ´etudier une fonction d´efinie parg(x) =

∫

b

a f(x, t)dt:

• On identifie l’intervalleJ(on inclut ou pas les bornesa oub).

• On vérifie quet7→f(x, t) est bien continue par morceaux et on détermine l’ensemble de définition de gqu’on décompose en intervallesI.

• On traite si possible élémentairement la parité, monotonie, limite aux bornes.... • On montre l’aspectC0 degavec le théorème ad-hoc éventuellement sur tout segment. • On montre l’aspectC1 degavec le théorème ad-hoc éventuellement sur tout segment.

• Pour obtenir une nouvelle expression deg(x) (sans int´_{egrale), on peut utiliser la formule de Leibniz} pour établir une équation différentielle vérifiée pargqu’on intègre.

EXERCICE CONCOURS 3.14 : Mines PSI 2015 Arthur Lacombe

On d´efinitI=

∫

1

0

ln(1+t)dt

1+t2 et, pourx∈ [0;1], on poseg(x) =

∫

1 0

ln(1+xt)dt 1+t2 . a. Expliciterg(x) et en d´eduire la valeur deI.

b. Par un changement de variable dansI, retrouver le r´esultat.

COMP´

ETENCES

• reconnaˆıtre le cadre de la convergence domin´ee quand on cherche lim

n→+∞

∫

In

f_n(t)dtquitte à inclure toutIn dans un même intervalleI(indépendant den) en complétant par la fonction nulle hors deIn.

• maˆıtriser la domination defn(t) en valeur absolue ou module par une fonction φint´egrable surI.

• reconnaˆıtre le cadre de la continuité ou la dérivabilité sous le signe somme quandg(x) =

∫

If(x, t)dt.

• énoncer une à une toutes les hypothèses de ces théorèmes lors de leurs utilisations. • dominer |f(x, t)| ou∂f

∂x(x, t)