Définition d'un modèle d'incertitude-type composée pour les Systèmes LiDAR Mobiles

Définition d’un modèle d’incertitude-type composée

pour les Systèmes LiDAR Mobiles

Mémoire

Willian Ney Cassol

Maîtrise en sciences géomatiques - avec mémoire

Maître ès sciences (M. Sc.)

Définition d’un modèle d’incertitude-type composée

pour les Systèmes LiDAR Mobiles

Mémoire

Willian Ney Cassol

Sous la direction de:

Christian Larouche, directeur de recherche Nicolas Seube, codirecteur de recherche

Résumé

Les Systèmes LiDAR Mobiles (SLM) sont devenus des outils d’acquisition de données géo-spatiales de plus en plus accessibles pour plusieurs professionnels oeuvrant dans différents domaines. Cette accessibilité permet à ces professionnels la modélisation 3D de leurs projets s’étendant sur de longs corridors routiers, côtiers, ferroviaires, etc. Les premiers SLM ont été développés pour des applications de cartographie sur des plateformes aériennes (avions, hélicoptères). Plus récemment (à partir des années 90), ils ont été adaptés aux véhicules ter-restres, aux embarcations marines et aux drones. Un SLM est une combinaison d’au moins trois capteurs, un récepteur GNSS, une centrale inertielle et un scanneur LiDAR. D’autres capteurs peuvent s’ajouter pour améliorer la qualité de l’acquisition des données.

Un facteur important, lors d’une acquisition des données ou du post-traitement des données acquises, est de connaître la qualité associée. Cette qualité peut être estimée en connais-sant les incertitudes-types de chaque capteur fournies par les spécifications du système. De plus, l’incertitude associée aux points observés par le système ne provient pas seulement des incertitudes-types des capteurs. Les erreurs peuvent être divisées en trois composantes. La première composante est la source d’erreur, qui provient des spécifications des capteurs. La deuxième, est la variable d’état du système qui dépend de la plateforme sur laquelle le SLM est embarqué. Puis, la troisième, est la géométrie de l’objet scanné, ou pour les SLM consi-dérés dans ce projet, la morphologie du terrain. Cette combinaison montre que ce n’est pas seulement l’incertitude-type des capteurs qui est responsable de la qualité du levé, mais aussi sa plateforme et le terrain à lever. Par exemple, un système terrestre qui observe les données d’une certaine surface à partir d’une voiture ne produira pas nécessairement des données de même qualité que celles levées sur cette même surface avec le même système embarqué sur un drone.

L’objectif de ce projet de recherche est de développer un modèle mathématique qui consi-dère ces trois composantes d’erreurs et de valider ce modèle avec les données acquises sur le terrain avec un SLM terrestre. Le système utilisé pour l’acquisition des données est un SLM disponible au Département des sciences géomatiques de l’Université Laval. Un site de levé a été sélectionné sur le campus de la même université.

Abstract

Mobile LiDAR Systems (MLS) have become more accessible geospatial data collection tools to more professionals in different areas. This accessibility allows these professionals to carry out 3D modeling of their projects. The first Mobile LiDAR Systems were developed for aerial cartography applications and more recently (from the 90s) they were adapted to land vehicles, marine crafts and drones. A MLS is a combination of at least three sensors, a GNSS receiver, an IMU and a LiDAR scanner. Other sensors can be added to improve the quality of the data acquisition.

An important factor when acquiring or post-processing MLS data is knowing the associated quality. This quality can be estimated by using the standard measurement uncertainty of each sensor. This information is available in these sensor specifications datasheets. Moreover, the uncertainty associated to points collected by the system do not come only from the sensor standard measurement uncertainty. In fact, three types of uncertainties are involved. The first type of uncertainty comes from the sensor specifications datasheets. The second one is the system state variable which depends on the system platform. The third one is the geometry of the scanned object, and more specifically for this project, the field morphology. This combination shows that the standard measurement uncertainty of the sensors is not the only one responsible for the quality of the acquired data, but also the moving platform and the field to be scanned. For instance, the same system that collects data of a surface from a car will not have necessarily the same quality as the data acquired on the same surface with the same system if it is installed on a drone.

The research project objective is to develop of a mathematical model that considers the above three components of mentionned uncertainties and to validate this model by using data acquired in a field with a terrestrial MLS. The system used for data acquisition is a MLS available at the Department of Geomatics Sciences of Laval University and the data acquisition site is located on the campus of the same university.

Table des matières

Résumé iii

Abstract iv

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures ix

Remerciements xiii 1 Introduction 1 1.1 Mise en contexte . . . 1 1.2 Problématique . . . 3 1.3 Solution proposée. . . 4 1.4 Objectifs. . . 5 1.5 Organisation du mémoire . . . 6 2 Révue de littérature 7 2.1 Modèle mathématique . . . 7

2.2 Paramètres du modèle mathématique. . . 10

2.3 Types d’erreurs . . . 10

2.4 Propagation des variances covariances . . . 15

2.5 Ellipsoïdes d’erreurs . . . 16

2.6 Étude de l’incertitude-type des SLM en incluant la géométrie de l’objet . . 17

3 Méthodologie 22 3.1 Cadre mathématique de la méthodologie . . . 22

3.2 Propagation des variances-covariances pour le positionnement (ΣδPn) . . . . 23

3.3 Propagation des variances-covariances pour an (Σδan) . . . 23

3.4 Propagation des variances-covariances pour rn (Σδrn) . . . 25

3.5 Calcul de l’incertitude-type composée de Xn . . . 30

4 Validation du modèle mathématique 31 4.1 Système LiDAR Mobile Trimble MX2 . . . 31

4.2 Données simulées . . . 32

4.3 Analyse de l’impact de l’incertitude-type des capteurs sur l’incertitude-type composée des données simulées . . . 35

4.4 Analyse de l’incertitude-type composée des matrices des variances-covariances 44

4.5 Analyse de l’incertitude-type composée des données réelles . . . 51

5 Acquisition et traitement des données réelles 52 5.1 Acquisition des données . . . 52

5.2 Traitement des données acquises . . . 56

5.3 Traitement des données extraites . . . 64

6 Présentation des résultats 66 6.1 Données associées aux points sélectionnés . . . 67

6.2 Coordonnées des points moyens . . . 67

6.3 Incertitudes de pointage . . . 70

6.4 Incertitudes-types composées des points choisis . . . 71

6.5 Écart-type des points choisis . . . 77

7 Analyse des résultats 81 7.1 Analyse par tests statistiques sur la variance . . . 81

7.2 Analyse de l’influence de l’incertitude de pointage et l’incertitude-type sur les données géoréférencées . . . 83

7.3 Analyse de la fidélité des données acquises . . . 85

8 Conclusion 87 8.1 Retour sur les objectifs . . . 87

8.2 Recommandations pour des projets futurs . . . 89

Bibliographie 92 A Graphiques produits par POSPac MMS suite au post-traitement des données de navigation 95 B Tests statistiques 98 C Fonctions développées sur Matlab 102 C.1 Fonction qui calcule l’incertitude-type composée (CSMU) . . . 102

Liste des tableaux

2.1 Incertitudes associées aux données de navigation. . . 12

2.2 Incertitudes associées aux données du scanneur LiDAR. . . 13

2.3 Incertitudes associées à l’intégration des capteurs. . . 13

4.1 Spécifications du SLM MX2 (Trimble, 2013). . . 32

4.2 Paramètres de montage du MX2 (Landry, 2017). . . 32

4.3 Informations des données simulées. . . 34

4.4 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour le GNSS.. . . 37

4.5 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour la latence GNSS-LiDAR. . 37

4.6 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour le IMU. . . 38

4.7 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour la latence scanneur-IMU.. 40

4.8 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour les angles de visée. . . 41

4.9 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour les bras de levier. . . 43

4.10 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour le scanneur. . . 43

4.11 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour la matrice des variances-covariances Pn. . . 45

4.12 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour la matrice des variances-covariances an. . . 46

4.13 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour la matrice des variances-covariances rn. . . 48

4.14 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour la matrice des variances-covariances sn. . . 48

4.15 Incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 pour la matrice des variances-covariances Xn. . . 50

6.1 Nombre de mesures par point des extraits des jeux A, B et C. . . 67

6.2 Coordonnées calculées des points en utilisant la moyenne des observations ef-fectuées par le MX2. Il s’agit des coordonnées UTM pour lesquelles les trois premiers chiffres pour X (326) et les quatre premiers pour Y (5183) ont été retranchés afin d’améliorer l’affichage du tableau. . . 68

6.3 Coordonnées des points sélectionnés calculées avec les incertitudes-types des observations fournies lors du post-traitement des données de navigation sur POSpac MMS. Il s’agit des coordonnées UTM pour lesquelles les trois premiers chiffres pour X (326) et les quatre premiers pour Y (5183) ont été retranchés afin d’améliorer l’affichage du tableau. . . 69

6.5 Incertitude-type composée des points calculée avec les incertitudes-types

four-nies par les spécifications des capteurs. . . 72 6.6 Incertitude-type composée des points calculée avec les incertitudes-types

four-nies par POSPac MMS. . . 73 6.7 Écart-type des données réelles des points géoréférencés en utilisant

l’incertitude-type fournie par le fabricant dans le modèle mathématique de géoréférencement. 77 6.8 Écart-type des données réelles des points géoréférencés en utilisant

l’incertitude-type fournie par POSPac MMS dans le modèle mathématique de

géoréférence-ment . . . 78 B.1 Test statistique effectué sur les incertitudes-types composées du jeu A calculées

avec l’incertitude-type des données de navigation fournies par les spécifications

et avec les écart-types de la moyenne des données acquises par le MX2. . . 98 B.2 Test statistique effectué sur les incertitudes-types composées du jeu A calculées

avec l’incertitude-type des données de navigation estimées par POSPac MMS

et les écart-types de la moyenne des données acquises par le MX2. . . 99 B.3 Test statistique effectué sur les incertitudes-types composées du jeu B calculées

avec l’incertitude-type des données de navigation fournies par les spécifications

et les écart-types de la moyenne des données acquises par le MX2. . . 99 B.4 Test statistique effectué sur les incertitudes-types composées du jeu B calculées

avec l’incertitude-type des données de navigation estimées par POSPac MMS

et les écart-types de la moyenne des données acquises par le MX2. . . 100 B.5 Test statistique effectué sur les incertitudes-types composées du jeu C calculées

avec l’incertitude-type des données de navigation fournies par les spécifications

et les écart-types de la moyenne des données acquises par le MX2. . . 100 B.6 Test statistique effectué sur les incertitudes-types composées du jeu C calculées

avec l’incertitude-type des données de navigation fournies par POSPac MMS

Liste des figures

1.1 Système Trimble MX8 (Trimble, 2018) à gauche et Trimble MX2 à droite. . . 2

1.2 Le systèmes Microdrones mdMAPPER1000DG (Microdrones, 2018). . . 2

1.3 Le système Trimble MX2 embarqué sur le navire du CIDCO. . . 5

2.1 Représentation des paramètres d’un SLM. . . 9

2.2 Vitesse linéaire (V ) et les composantes V x, V y et V z pour un véhicule terrestre. 14 2.3 Vitesse linéaire (V ) et les composantes V x, V y et V z pour un drone. . . . 14

2.4 Morphologie en milieu urbain. . . 15

2.5 Morphologie en milieu rural. . . 15

2.6 Angle d’incidence du faisceau par rapport au terrain (Schaer et al., 2007). . . . 17

2.7 Distribution énergétique de l’empreinte du système LiDAR optech ALTM (Glen-nie, 2006). . . 19

2.8 Distribution de retour énergétique de l’empreinte du faisceau (Schaer et al., 2007). . . 19

2.9 Effet de la divergence du faisceau et les systèmes associés (Schaer et al., 2007). 20 2.10 Composantes de l’ellipse formées par l’intersection du cône/plan - Empreinte du faisceau sur le terrain (Schaer et al., 2007). . . 21

3.1 Incertitude de pointage due à l’incertitude liée au roulis (ϕ).. . . 27

3.2 Géoréférencement des points en considérant l’incertitude de pointage calculée. . 29

4.1 Système Trimble MX2 (Solitech,2018). . . 31

4.2 Situation du levé simulé. . . 33

4.3 Système positionné à 35m (jeu 1). . . . 33

4.4 Système positionné à 10m et 60m (jeux 2 et 3). . . . 34

4.5 Faisceau perpendiculaire à l’objet à scanner et faisceau rasant. . . 35

4.6 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant seulement les incertitudes-types du récepteur GNSS (sc=20). . . 36

4.7 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composée des jeux 1, 2 et 3 en considérant seulement les incertitudes-types générées par une latence de 0,008 sec provenant d’une vitesse linéaire dans le sens du déplacement du véhicule (axe X) seulement (sc=60). . . 38

4.8 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant seulement les incertitudes-types du IMU (sc=20). . . 39

4.9 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant seulement l’incertitude-type de la latence scanneur-IMU (sc=20). 40 4.10 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant seulement les incertitudes-types des angles de visée (sc=60). . . 42

4.11 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composée des jeux 1, 2 et 3 en

considérant seulement les incertitudes-types du scanneur (sc=60).. . . 44

4.12 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composée des jeux 1, 2 et 3 en considérant seulement la matrice des variances-covariances Pn (sc=20).. . . 45

4.13 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant la matrice des variances-covariances an (sc=60). . . 46

4.14 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant la matrice des variances-covariances rn (sc=60). . . 47

4.15 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant la matrice des variances-covariances sn (sc=60). . . 49

4.16 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux 1, 2 et 3 en considérant la matrice des variances-covariances Xn (sc=20).. . . 50

4.17 Les tours du Pavillon Félix-Antoine Savard (à droite) et de la Faculté des Sciences de l’éducation (à gauche) de l’Université Laval. . . 51

5.1 Représentation des jeux des données A, B et C. . . 52

5.2 Système d’acquisition des données du SLM MX2. . . 53

5.3 Trajectoire parcourue avec le SLM. . . 54

5.4 Site d’initialisation du SLM (stationnement pavillon Casault) et site du levé entre les bâtiments des pavillons Félix-Antoine Savard (F) et Faculté des Sciences de l’éducation (Sc). . . 54

5.5 Interface du logiciel LV-POSView. . . 55

5.6 Interface du logiciel Trident Capture.. . . 56

5.7 Vitesse du Système MX2 pendant le levé (les périodes du levé des façades où le MX2 était immobile sont encerclées en vert - système immobile). . . 58

5.8 Incertitudetype des coordonnées X North (rouge), Y East (gris) et Z -Down (vert). . . 58

5.9 PDOP des données GNSS collectées de la trajectoire.. . . 59

5.10 Incertitude-type des angles de navigation (ψ- vert, ϕ- rouge* θ- gris). . . . 59

5.11 Gradient de l’incertitude-type du lacet. . . 60

5.12 L’incertitude-type de la coordonnée Z. . . . 61

5.13 Lignes de balayage (jaune - MX2 à 35m de chaque façade (position A), rouge - MX2 à 10m et 60m des façades (positions B et C respectivement). . . 62

5.14 Données acquises de la position A. . . 62

5.15 Données acquises des positions B et C. . . 63

5.16 Zones d’intérêt extraites pour le jeu A (bloc en noir sur la façade). . . 63

5.17 Zones d’intérêt extraites pour les jeux B et C (blocs en noir sur les façades).. . 64

6.1 Réprésentation de l’incertitude-type composée du point moyen (point en noir), des points levés (points en rouge) et de l’ellipsoïde d’erreur. . . 66

6.2 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux A, B et C en considérant les incertitudes-types fournies par les fabricants des capteurs (sc=20). . . 74

6.3 Ellipsoïdes d’erreurs pour les incertitudes-types composées des jeux A, B et C en considérant les incertitudes-types fournies par POSPac MMS (sc=20). . . . 75

6.4 Ellipsoïdes d’erreurs pour les écart-types des jeux A, B et C (sc=200). . . 79

7.1 Exemple montrant le besoin de rapprocher la plateforme du bâtiment pour

observer des points levés par des faisceaux rasants. . . 86 A.1 Angle de navigation ϕ (roulis). Angle mesuré à partir de la rotation autour de

l’axe X et présentant des variations entre -5,5° et 5,5°. . . . 95 A.2 Angle de navigation θ (tangage). Angle mesuré à partir de la rotation autour

de l’axe Y et présentant des variations entre -6° et 16°.. . . 96 A.3 Angle de navigation ψ (lacet). Angle mesuré à partir de la rotation autour de

l’axe Z (gisement) et présentant des variations entre 0° et 360°. . . . 96 A.4 Coordonnée Z (altitude). . . . 97 A.5 Nombre de satellites visibles(Rouge - système GPS, Gris - système GLONASS

"(...) Minha terra tem palmeiras, Onde canta o Sabiá.

Não permita Deus que eu morra, Sem que eu volte para lá ; Sem que eu desfrute os primores Que não encontro por cá ; Sem qu’inda aviste as palmeiras, Onde canta o Sabiá."

Remerciements

Je tiens à remercier Dieu de m’avoir donné les forces nécessaires pour surmonter les difficultés rencontrées et pour m’adapter à un nouveau pays et à une nouvelle université.

Je tiens à remercier l’Université Laval, qui m’a permis de relever de nouveaux défis.

Le programme Mitacs Accelération, qui a financé ce projet de maîtrise. Sans ce support financier, je n’aurais pas été capable de poursuivre les études aux cycles supérieures.

Le CIDCO, pour son soutien financier supplémentaire et l’appui de différents professionels de recherche qui ont aidé au développement de ce projet.

Les compagnies Applanix et Trimble, pour avoir rendu disponible des licences des logiciels de traitement des données acquises par le système MX2 à différentes périodes de cette recherche. La Faculté de Foresterie, de Géographie et de Géomatique, pour la bourse à la résussite et pour la disponibilité des ressources qui ont toujours répondu à mes questions d’ordre administratif. Le Département des Sciences Géomatiques, qui a permis l’utilisation de plusieurs logiciels de traitement de données notamment Matlab et le système LiDAR mobile MX2 utilisés dans ce projet de recherche.

Christian Larouche, le directeur de recherche. Les nombreuses heures de rencontre et d’échange de connaissances ont permis l’avancement de ce projet de recherche. Aussi, j’aimerais souligner sa grande disponibilité, non seulement pour les sujets concernant la recherche, mais aussi son aide concernant la vie académique.

Nicolas Seube, le codirecteur de recherche. La disponibilité pour plusieurs rencontres à dis-tance et ses enseignements sur la conception du modèle mathématique et son développement sont vraiment appréciés. Le partage de connaissances concernant les modèles mathématiques des systèmes et son fonctionnement ont été fondamentales pour atteindre l’objectif de ce projet. Il m’a aussi encouragé à découvrir des nouveaux logiciels de calcul et de rédaction scientifique qui ont facilité la production de ce mémoire.

Marc Cocard, pour les enseignements dans le cadre de son cours de Compensation Avancée qui ont beaucoup aidé dans la réalisation de ce projet de recherche et aussi pour ses conseils

en tant que directeur des programmes de 2ème et 3ème cycles.

Stéphanie Bourgon, qui a aidé lors de l’application et développement du modèle de propaga-tion d’erreurs et pour sa disponibilité.

Mes collègues Papa-Médoune Ndir, Mohsen Hassanzadeh Shahraji et Sorel Kontchou Kouaya pour l’encouragement et l’esprit de travail en équipe. Un merci spécial à Papa-Médoune Ndir, qui a beaucoup aidé lors de l’acquisition, l’extraction et le post-traitement des données. Le COMREN (Canadian Ocean Mapping Research Network) qui a financé la participation à la conférence CHC-NSC 2018 à Victoria.

Mon épouse Vicky Binette, qui est sans doute la personne qui m’a le plus encouragé tout au long de la réalisation de cette maîtrise. Elle est la personne qui m’a supporté, m’a écouté et m’a donné des forces dans les moments difficiles de ce parcours académique.

Finalement, je remercie mon père, ma mère et mon frère qui même à plus de 10 000 kilomètres sont fiers de moi et m’ont toujours supporté dans ma décision de poursuivre des études supérieures.

Merci à vous tous qui avez contribué à la réalisation de ce projet de maîtrise, Willian Ney Cassol

Chapitre 1

Introduction

1.1

Mise en contexte

Le domaine des sciences géomatiques a connu une croissance significative des technologies d’acquisition des données au cours des dernières années. Une de ces technologies est le LiDAR (Light Detection And Ranging). Ce système permet l’acquisition de données par des mesures laser et peut aussi enregistrer l’intensité des objets réfléchis et leurs coordonnées. Les Sys-tèmes LiDAR Mobiles (SLM) permettent le déplacement d’un capteur LiDAR qui peut être associé à un récepteur GNSS, une centrale inertielle, des caméras et un odomètre. Nous ob-servons une augmentation de l’efficacité de ces systèmes que est généralement dépendante des coûts. Plus les SLM sont efficaces et performants, plus ils sont dispendieux. Notamment, les SLM actuellement disponibles sur le marché, offrent des précisions qui varient d’une précision métrique à centimétrique.

Le concept de la télémétrie mobile a été exploité pour la première fois avec le système GPSVanT M _{par l’Ohio State University. Ce premier système était composé d’un récepteur}

GPS, deux gyroscopes, deux odomètres, deux caméras CCD monochromatiques et deux sys-tèmes d’enregistrement par VHS tel que décrit par (Novak, 1991). Ce système, tout comme le système VisatT M _{développé par l’Université de Calgary (El-Sheimy, 1996) utilisait des}

camé-ras comme capteurs principaux. Les systèmes avec LiDAR sont apparus plus tard (Ellum et El-Sheimy, 2002), comme les systèmes MoSES (Graefe et al., 2001) et Laser scanner MMS (Li et al., 2001). Depuis, les SLM ont présenté des améliorations importantes reliées à la quantité de points levés, la portée du signal et la précision offerte. Ces améliorations ont été réalisées par les fabricants d’instruments et logiciels de mesures géospatiales.

Il y a plusieurs applications de ces systèmes dépendamment du modèle utilisé. Grâce à la possibilité d’un SLM de couvrir de longs corridors en peu de temps, il peut servir à réaliser un levé grossier permettant de connaître la morphologie du terrain avant d’effectuer un levé avec une autre technique. Un SLM peut aussi être utilisé pour effectuer un levé aérien (par avion

ou drone) qui permettra de générer un Modèle Numérique de Terrain (MNT) ou un Modèle Numérique de Surface (MNS). Ce levé LiDAR aérien peut être fait simultanément à un levé photogrammétrique permettant d’obtenir une source d’informations complémentaires. Quand le SLM est embarqué sur un véhicule routier, il peut effectuer des levés servant à l’inventaire des infrastructures routières s’étendant sur de longs corridors et ces levés peuvent se faire à une vitesse, pouvant atteindre la vitesse maximale permise sur une autoroute (environ 100 km/h). Des exemples de systèmes embarqués sur des véhicules routiers sont présentés à la Figure 1.1alors que la Figure 1.2montre un système embarqué sur un drone.

Figure 1.1 – Système Trimble MX8 (Trimble, 2018) à gauche et Trimble MX2 à droite.

Figure 1.2 – Le systèmes Microdrones mdMAPPER1000DG (Microdrones, 2018).

Il s’agit de systèmes complexes composés de plusieurs capteurs, tous présentant des limites de performance et d’incertitude. Afin de bien modéliser les incertitudes associées aux différents capteurs, à la plateforme où ils sont installés et au terrain ou objets à cartographier, il est important de définir dès le début les termes métrologiques qui seront utilisés dans ce mémoire. La 3° édition du Vocabulaire International de Métrologie VIM– Concepts fondamentaux et

généraux et termes associés (JCGM, 2012) est utilisé.

Les incertitudes qui sont fournies par les spécifications des capteurs sont des incertitudes-types ou des écarts-incertitudes-types. L’incertitude-type est définie par l’incertitude de mesure exprimée sous la forme d’un écart-type. L’écart-type est une expression de l’incertitude de mesure, et l’incertitude de mesure est un paramètre, associé au résultat d’un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs (adapté de JCGM, 2012).

Ce mémoire fera souvent référence au terme incertitude-type composée qui est définie comme étant l’incertitude-type obtenue en combinant les incertitudes-types individuelles associées aux observations réalisées par chacun des capteurs ou grandeurs introduites dans un modèle de mesure. Ceci permet donc d’estimer les variances pour chaque grandeur. Lorsque des corrélations existent entre les grandeurs entrées dans un modèle de mesure, il faut alors considérer des covariances dans le calcul de l’incertitude-type composée. Le terme anglais équivalent à l’incertitude-type composée est "Combined Standard Measurement Uncertainty (CSMU)".

Il est possible pour les utilisateurs de SLM de monter leur propre système qui leur permettra d’atteindre une incertitude répondant mieux à leurs besoins. Il est alors nécessaire d’assurer l’intégration d’un récepteur GNSS, d’une centrale inertielle et d’un scanneur LiDAR. L’utilisa-teur doit aussi s’assurer qu’avec les incertitudes-types fournis dans les spécifications de chaque capteur, il est possible d’arriver à l’incertitude-type composée recherchée lors des levés. Dans les spécifications techniques d’un SLM, les incertitudes-types (incertitudes de mesure) de chaque capteur sont fournies et non l’incertitude-type composée du système complet. Il est alors possible d’y retrouver l’incertitude de mesure (incertitude-type) associée au récepteur GNSS, à la centrale inertielle (IMU) et au scanneur LiDAR.

Lors de la sélection d’un SLM commercial ou du montage d’un SLM personnalisé, l’utilisateur ne peut pas prendre seulement en considération ces spécifications des fabricants pour déter-miner si le système atteint ou pas l’incertitude recherchée. Il doit procéder à une propagation des variances-covariances afin d’obtenir l’incertitude-type composée du système complet.

1.2

Problématique

Le projet porte sur le développement d’un modèle d’incertitude totale propagée pour les SLM. Pour obtenir cette incertitude totale propagée, il faut d’abord définir le modèle mathématique de base, c’est-à-dire l’équation de géoréférencement. Ce modèle permet d’estimer des points géoréférencés à partir des données fournies par les capteurs qui composent le système (dans le cas le plus simple, un récepteur GNSS, une centrale inertielle et un scanneur LiDAR). Pour estimer l’incertitude propagée, il faut prendre en considération les incertitudes-types de chaque capteur, qui sont fournies par les spécifications et effectuer une propagation des

variances-covariances à partir du modèle mathématique défini. Après cette propagation des variances-covariances, il est possible de connaître l’incertitude-type composée d’un SLM et ainsi connaître les limites du système et par conséquent l’incertitude attendue lors d’un levé. Ce qui différencie ce modèle de propagation d’erreur par rapport aux autres modèles dévé-loppés est que son approche prend en considération la morphologie du terrain dans le calcul de l’incertitude-type composée. Comme aucune étude traitant de cette problématique dans la littérature n’a encore été réalisée, ceci rend notre approche innovante.

1.3

Solution proposée

Une méthode a donc été développé dans ce projet de recherche dans le but de calculer l’incertitude-type composée d’un SLM. Cet algorithme servira notamment à l’utilisateur pour calculer l’incertitude-type composée d’un SLM après avoir effectué la collecte des données et ainsi vérifier la qualité de ces données. La méthode aidera aussi l’utilisateur lors de la séléction et l’utilisation des données. Par exemple, comme ce sera détaillé au chapitre de validation du modèle mathématique de ce mémoire, il n’est pas recommandé d’utiliser des données avec une incertitude-type composée élevée pour effectuer l’ajustage du système, car cette incertitude sera propagée dans les paramètres d’ajustage, ce qui est indésirable.

Une implémentation de cette méthode en temps réel lors de la réalisation des levés est éga-lement envisageable. Actueléga-lement, certains SLM permettent la collecte de millions de points à un certain seuil. Par contre, si la valeur d’incertitude-type composée des données est supé-rieure à celle attendue, cela peut rendre ces données inutilisables. Donc, cette implémentation en temps réel aurait comme avantage de corriger la trajectoire à parcourir afin d’assurer une incertitude-type composée inférieure à celle attendue au départ. Cette application contraste avec la méthode habituelle de réaliser un levé où il faut planifier la trajectoire à parcourir d’avance tandis que dans cette méthode, elle peut être corrigée pendant la réalisation du levé. Le modèle a été dévéloppé pour des SLM embarqués sur les véhicules routiers, des drones, ainsi que quelques applications avec le système sur des navires (voir Figure 1.3). Le modèle a été vérifié avec des données simulées et des données réelles. Les sites de collecte de données pour la vérification du modèle présentent quelques particularités qui seront discutées dans les chapitres qui suivent.

Pour le dévéloppement du modèle de propagation d’incertitude-type composée des SLM, les incertitudes sont divisées en trois composantes :

— sources d’erreurs des capteurs - l’incertitude de mesure associée à chaque capteur du système et fournie dans les spécifications techniques des capteurs publiées par les fabri-cants ;

Figure 1.3 – Le système Trimble MX2 embarqué sur le navire du CIDCO.

— géométrie des objets scannés - la morphologie du terrain.

Parmi les sources d’erreurs, on considère aussi l’incertitude-type associée aux paramètres estimés lors du processus d’ajustage du SLM.

Comme mentionné précédemment, on considère que la plateforme où le SLM est embarqué peut être sur un drone, un véhicule routier et ou une embarcation marine. Il faut savoir que la variable d’état du système affecte également les incertitudes-types composées associées, étant donné que les vitesses angulaires et linéaires du système dépendent seulement de la plateforme sur laquelle il est embarqué.

Quant à la géométrie de l’objet, elle représente la partie centrale dans ce projet. Une méthode que tient compte de la morphologie du terrain, laquelle a un impact direct sur l’incertitude-type composée du système, a donc été développée.

Le calcul de l’incertitude-type composée dans le projet prendera en compte les trois compo-santes d’incertitudes ci-haut mentionnées, il détaillera chaque source d’erreur et son incertitude-type.

1.4

Objectifs

L’objectif central du projet consiste à développer un modèle mathématique dont les sources d’erreurs, la variable d’état du système et la morphologie du terrain sont considérés lors du cal-cul de l’incertitude-type composée d’un point géoréférencé. Un autre objectif, plus spécifique, consite à estimer l’impact de chaque incertitude-type des paramètres du système (fournis par les spécifications des capteurs) sur l’incertitude-type composée du système. Finalement, un dernier objectif spécifique consiste à vérifier la fidélité des données acquises par le SLM MX2.

Un autre élément important qui a été étudié est l’angle d’incidence du faisceau sur l’objet et son impact sur l’incertitude-type composée du système. Lorsqu’une acquisition des données est réalisé en milieu urbain, cet effet peut affecter directement la qualité des données. Il faut donc évaluer l’impact de l’angle d’incidence avant l’acquisition des données et définir le mieux possible une trajectoire avec le moins de faisceaux rasants pour améliorer la qualité des données acquises.

Pour calculer et démontrer les résultats du projet, un algorithme qui calcule l’incertitude-type composée du système, à partir des paramètres d’entrée du modèle de géoréférencement direct et ceux associés à la morphologie du terrain a donc été développé en langage Matlab. Cet algorithme présente un fort potentiel d’utilisation et d’intégration dans des logiciels de traitement des nuages de points LiDAR mobile.

1.5

Organisation du mémoire

Le présent mémoire suit la chronologie de développement du modèle mathématique jusqu’à sa validation et l’évaluation de la fidélité d’acquisition des données par le MX2. Le cha-pitre 2 traite d’autres études déjà effectuées à partir de différents modèles mathématiques pour estimer l’incertitude-type composée. Le chapitre 3 décrit le développement du modèle mathématique de propagation d’incertitude-type composée à partir de l’équation du géoréfé-rencement direct. Le chapitre 4 effectue une validation avec les données simulées du modèle mathématique développé au Chapitre 3 et présente une proposition de validation sur des données réelles. Le chapitre 5 montre l’acquisition et le post-traitement des données réelles acquises. Le chapitre 6 présente les résultats obtenus et le chapitre 7 effectue une analyse de ces résultats ainsi qu’une analyse sur la fidélité d’acquisition des données par le MX2. Finale-ment, le chapitre 8 présente, en conclusion, les éléments importants de ce projet de recherche et suggère quelques recommandations pour d’autres recherches sur ce même sujet.

Chapitre 2

Révue de littérature

Pour développer un algorithme de calcul de l’incertitude-type composée d’un SLM à partir des incertitudes de mesure (incertitude-type) des différents capteurs et d’une approximation d’un modèle de terrain à scanner fournies par l’utilisateur, il faut d’abord définir son modèle mathématique.

2.1

Modèle mathématique

Les paramètres du modèle mathématique (observations effectuées avec le SLM) et les incertitudes-types associés doivent être connus par l’utilisateur de l’algorithme, considérant que ces incer-titudes des capteurs sont fournies par les spécifications du fabricant et ceux des paramètres de montage du système obtenus par ajustage de l’équipement. L’équation de géoréférencement direct d’un SLM est représentée par les Équations2.1et2.2. La notation et le développement des équations sont bien documentés dans la littérature (Baltsavias, 1999) et (Schaer et al., 2007). Xn=     xn yn zn    =     xPn yPn zPn    + C n bI(ϕ, θ, ψ) (CbSbI(ϕb, θb, ψb)     0 ρcos γ ρsin γ    +     ax ay az    ) (2.1)

Il est possible de généraliser l’Équation 2.1pour qu’elle devienne l’Équation 2.2.

Xn= Pn(tP) + CbIn(tI) (CbSbI rbS(tL) + abI) (2.2)

Les paramètres de l’équation du géoréférencement direct fournis par le SLM sont :

— xn, yn et zn sont les coordonnées calculées des points levés dans le système

— xPn, yPn et zPn sont les coordonnées observées par le récepteur GNSS représentant le

point central ou l’origine du SLM ; — Cn

bI(ϕ, θ, ψ) est la matrice de changement entre le récepteur GNSS et la centrale inertielle

(IMU) avec les angles roulis(ϕ), tangage (θ) et lacet (ψ), observés par l’IMU ; — CbI

bS(ϕb, θb, ψb) est la matrice de changement avec les angles de montage du système

LiDAR par rapport à l’IMU, obtenue par étalonnage ;

— ρ est la portée (range) du LiDAR, c’est-à-dire la distance entre le centre optique du LiDAR et le point détecté ;

— γ est l’angle de balayage du LiDAR entre 0° et 360° ;

— ax, ay et az sont les bras de levier entre le système LiDAR et l’IMU, obtenus par

ajus-tage ;

— associé à chaque capteur les temps tL, tP et tIqui sont respectivement, les temps associés

aux scanneur, GNSS et IMU.

Lors d’une acquisition des données avec un SLM, trois repères distincts sont présents. Le premier repère est celui du récepteur GNSS. Le deuxième repère est celui associé à l’IMU (bI - body inertial). Le troisième repère du modèle est celui du scanneur LiDAR (bS - body system). Les données acquises par le SLM proviennent donc de trois capteurs différents et à chacun d’eux est associé un repère. Une transformation entre les repères est nécessaire pour avoir les points géoréférencés dans le repère n. Le repère du GNSS est le même que le repère cartographique (n).

Les matrices de changement CbI

bS et CbIn sont une combinaison de trois matrices de

transfor-mation R1, R2 et R3, c’est-à-dire CbSbI = R1(ψb)R2(θb)R3(ϕb) et CbIn = R1(ψ)R2(θ)R3(ϕ). Les

matrices R1, R2 et R3 peuvent être observés dans les Équations2.3,2.4 et2.5.

R1(ψ) =     cos ψ − sin ψ 0 sin ψ cos ψ 0 0 0 1     (2.3) R2(θ) =     cos θ 0 sin θ 0 1 0 −sin θ 0 cos θ     (2.4) R3(ϕ) =     1 0 0 0 cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ     (2.5)

Les données collectées par le système LiDAR mobile et leurs repères respectifs sont représen-tées à la Figure 2.1.

Figure 2.1 – Représentation des paramètres d’un SLM.

L’équation du géoréférencement direct permet de calculer les coordonnées (Xn) des points

levés dans le système cartographique à partir des observations effectuées par le SLM et des paramètres obtenus par ajustage. Par conséquent, une modélisation des erreurs aléatoires et une propagation des variances-covariances associées à ces coordonnées peuvent être effectuées. Les latences qui existent entre le scanneur LiDAR et le récepteur GNSS et entre le scanneur LiDAR et l’IMU sont également considérées à la propagation des incertitudes, tel que montré aux Équations 2.6et2.7 respectivement.

δtLP = tL− tP (2.6)

δtLI = tL− tI (2.7)

2.2

Paramètres du modèle mathématique

Une étude sur les sources d’erreur considérées dans l’Équation 2.1 et une évaluation de l’im-plication de chacun des paramètres sont possibles après avoir défini le modèle mathématique et les paramètres qui le composent.

Comme mentionné précédemment, un SLM est composé d’un minimum de trois capteurs, dont un récepteur GNSS, un IMU et un scanneur LiDAR. Le récepteur GNSS fournit les coordonnées xPn, yPn et zPn avec les incertitudes-types respectives.

L’IMU fournit les angles de navigation de la plateforme : roulis (ϕ), tangage (θ) et lacet (ψ). L’origine du SLM se situe à l’origine de l’IMU et pour cette raison, les autres observations doivent être transformées dans ce repère.

L’utilisateur doit connaître les bras de levier (lever arms) et les angles de visée (boresight angles) du système LiDAR par rapport à l’IMU et l’incertitude-type de ces paramètres de montage. Contrairement aux autres paramètres de l’équation, les paramètres de montage ne sont pas observés par l’équipement, mais calculés par l’utilisateur. Les fabricants des SLM fournissent généralement ces paramètres de manière approximative. Il revient donc à l’utilisateur d’effectuer une étalonnage du SLM pour améliorer ces valeurs d’incertitude-type composée.

La portée et l’angle de balayage du LiDAR sont fournis par le scanneur lorsqu’il y a un retour du signal émis. L’incertitude-type associé à la portée peut être divisé en deux portions tel que développé dans ce projet de recherche. La première portion étant l’incertitude-type de mesure de la portée fournie par le fabricant et l’autre portion étant celle calculée en fonction de la morphologie du terrain. Quand à l’incertitude-type de l’angle de balayage, elle est fournie par le fabricant du scanneur.

2.3

Types d’erreurs

Une définition des erreurs associées aux observations effectuées par les capteurs est néces-saire pour pouvoir procéder au calcul de l’incertitude-type composée associée du SLM. Trois types d’erreurs peuvent affecter la qualité des données lors d’un levé : grossière, systéma-tique et aléatoire. La théorie des erreurs fait l’analyse des erreurs commises pour savoir s’ils sont statistiquement acceptables. Ensuite, les mesures doivent être ajustées par rapport aux

spécifications géométriques ou autres particularités (conditions ou restrictions) qui peuvent intervenir dans la procédure de mesure. Finalement, il est possible d’obtenir la meilleure détermination du point moyen (Machado, 2012).

L’erreur grossière est causée par un comportement aberrant du système. C’est une erreur de méprise comme une mauvaise cible, une lecture incorrecte ou autre confusion. Elle peut être due à des erreurs de transmission de données ou à des instruments défectueux (Cocard, 2016). Cette erreur peut être détectée, vu le désaccord par rapport aux autres observations, par des procédures de vérification. Par contre, les procédures de détection des erreurs grossières ne sont pas faciles à implémenter et demandent beaucoup de temps d’analyse pour l’utilisateur. Une fois les erreurs grossières éliminées, il reste les erreurs systématiques et aléatoires. L’erreur systématique peut être définie comme une erreur provenant de facteurs externes. L’erreur sys-tématique est une composante de l’erreur de mesure qui, sans des mesurages répétés, demeure constante ou varie de façon prévisible. Les causes de cette erreur peuvent être connues ou in-connues. Il est possible d’appliquer une correction pour compenser une erreur systématique connue (JCGM,2012).

Les erreurs aléatoires sont les erreurs qui n’ont pas de causes connues. Cependant, quand il y a une grande quantité d’observations, il est possible de remarquer que la moyenne des résidus (différence entre l’observation et la moyenne) s’approche de zéro. Cette erreur est une composante de l’erreur de mesure qui, dans des mesurages répétés, varie de façon imprévisible (JCGM,2012).

La définition des concepts de justesse de mesure et fidélité de mesure est nécessaire dans la définition d’un modèle d’incertitude. La justesse de mesure est l’étroitesse de l’accord entre la moyenne d’un nombre infini de valeurs mesurées répétées et une valeur de référence. La justesse de mesure varie en sens inverse de l’erreur systématique, mais n’est pas liée à l’erreur aléatoire. La fidélité de mesure est l’étroitesse de l’accord entre les indications ou les valeurs mesurées obtenues par des mesurages répétés du même objet ou d’objets similaires dans des conditions spécifiées. La fidélité est en général exprimée numériquement par des caractéristiques telles que l’écart-type, la variance ou le coefficient de variation dans des conditions spécifiées. Ce terme peut aussi désigner l’exactitude de mesure (JCGM,2012).

Le calcul de l’incertitude-type composée d’un SLM prend seulement en considération la mo-délisation des erreurs aléatoires et il suppose qu’il n’y a pas d’erreur grossière parmi les ob-servations. Alors ce qui est évalué des SLM est la fidélité de mesure, vu que l’incertitude-type composée est associée aux incertitudes-types des capteurs qui le composent.

Dans ce projet de recherche, les erreurs sont considérées comme une combinaison de trois facteurs : la source de l’erreur, la variable d’état du système et la géométrie des objets scannés.

2.3.1 Source d’erreur

Comme mentionné précédemment les sources d’erreurs sont les données acquises par le système avec les incertitudes-types associées. Dans ce mémoire, un SLM est composé de trois capteurs (récepteur GNSS, IMU et scanneur). À chacun de ces capteurs, il est possible d’énumérer les erreurs considérées et leurs origines, puis s’il est pris en considération ou non, comme montré au Tableau2.1(pour les incertitudes associées aux données de navigation). Les erreurs inventoriées peuvent être trouvées dans la littérature, notamment par Schaer et al. (2007), Chu (2012), Wang et al. (2008), Glennie (2007), Baltasavias (1999) et Goulden et Hopkinson (2010).

GNSS

Source d’erreur Traité dans le modèle

Effets atmosphériques Oui

Multi trajet Oui

Géométrie des satellites Oui Synchronisation des horloges Oui

Nombre de satellites Oui

Centrale inertielle

Dérive temporelle Oui

Détermination des angles Oui

Initialisation Oui

Tableau 2.1 – Incertitudes associées aux données de navigation.

Les incertitudes associées au récepteur GNSS et au IMU sont traitées dans les logiciels de post-traitement des données de navigation. Ces logiciels seront discutés à la section de post-traitement des données réelles.

En ce qui concerne le scanneur LiDAR, les incertitudes-types prises en considération sont les incertitudes de mesures associées au faisceau laser et le biais de l’angle de balayage du système, ceux-ci sont fournis par le fabricant. Toutes les incertitudes associées au scanneur LiDAR sont présentées au Tableau 2.2. Les incertitudes associées à l’angle d’incidence et la morphologie du terrain seront abordées à la section2.3.3et discutées en détails aux chapitres 3 et 4.

Les incertitudes de mesure associées à l’intégration des capteurs du SLM sont aussi considérées comme source d’erreur comme montré au Tableau2.3.

Le bras de levier existant entre le récepteur GNSS et l’IMU peut aussi être considéré comme une source d’incertitude liée à l’intégration des capteurs. Par contre, dans les SLM utilisés dans ce projet de recherche, l’IMU est intégrée au récepteur GNSS, donc ce paramètre n’est pas considéré.

Scanneur LiDAR

Source d’erreur Traité dans le modèle

Réflexion du faisceau Non

Time jitter Non

Photon noise Non

Effets atmosphériques Non

Bruit du signal Non

Temps émission/réception Non

Divergence faisceau LiDAR Non

Atténuation de la lumière par le miroir Non

Erreur de mesure Oui

Biais de l’angle de balayage Oui

Angle d’incidence Oui

Morphologie du terrain Oui

Tableau 2.2 – Incertitudes associées aux données du scanneur LiDAR. Intégration des capteurs

Source d’erreur Traité dans le modèle

Latence GNSS-LiDAR Oui

Latence Centrale inertielle-LiDAR Oui Bras de Levier Centrale inertielle-LiDAR Oui Angles de visée Centrale inertielle-LiDAR Oui

Tableau 2.3 – Incertitudes associées à l’intégration des capteurs.

Chacune des incertitudes listées dans les Tableaux 2.1,2.2 et2.3est associée à un des para-mètres du modèle du géoréférencement direct et par conséquent doit être considérée lors de la propagation de variances-covariances (servant à calculer l’incertitude-type composée associée au système).

2.3.2 Variable d’état du système

La plateforme sur laquelle le SLM est embarqué peut être considérée comme la variable d’état du système. Cette plateforme, qui est responsable du déplacement du SLM elle soumet le système à des vitesses linéaires et angulaires. Par exemple, si la plateforme du SLM est un véhicule terrestre et l’axe X du système n est orienté vers le sens du déplacement du véhicule, il y aura une vitesse linéaire significative dans la composante X et des vitesses linéaires résiduelles dans les axes Y et Z, comme il est possible d’observer à la Figure 2.2. Si la plateforme du système est un drone, il y aura des vitesses linéaires associées aux trois axes, X, Y et Z, comme montre la Figure2.3.

Figure 2.2 – Vitesse linéaire (V ) et les composantes V x, V y et V z pour un véhicule terrestre.

Figure 2.3 – Vitesse linéaire (V ) et les composantes V x, V y et V z pour un drone.

mathématique seront traitées lors de la propagation des variances-covariances.

2.3.3 Géométrie de l’objet scanné

La géométrie des objets à scanner est associée, dans le cas des SLM, à la morphologie du terrain. Pour ce projet, le terme "morphologie du terrain" signifie la forme du terrain sur lequel la collecte des données sera effectuée. En milieu urbain, la forme du terrain sera beaucoup plus variée (Figure 2.4) qu’en milieu rural (Figure2.5).

Dans le cadre de la propagation de variances-covariances, la morphologie du terrain sera traitée comme une problématique affectant la portée du LiDAR. Les paramètres de la surface levée (définie comme un objet tridimensionnel) sont associés aux données acquises par le système LiDAR et par conséquent, il est possible de calculer l’influence des autres paramètres (ceux du récepteur GNSS et du IMU ainsi que ceux obtenus par ajustage) sur la portée. Cette

Figure 2.4 – Morphologie en milieu urbain.

Figure 2.5 – Morphologie en milieu rural.

incertitude, qui est purement géométrique et qui est associée à la surface levée, est considérée comme une erreur de pointage.

2.4

Propagation des variances covariances

Le calcul de l’incertitude-type composée des coordonnées des points levés considère le modèle mathématique décrit à l’Équation 2.2 et les incertitudes-types (incertitudes de mesure) des paramètres qui la composent. Pour effectuer ce calcul, la loi de propagation des variances-covariances sera utilisée.

La technique de propagation des covariances consiste à déduire la matrice de variances-covariances Σyy d’un vecteur de variables aléatoires Y définies en fonction d’un vecteur de

variables aléatoires X dont on connaît la matrice de variances-covariances Σxx(Cocard, 2016).

Donc, étant donné que la matrice Σxx est la matrice qui contient les incertitudes-types des

capteurs lesquels sont fournis par les fabricants, il est possible d’utiliser la loi de propagation des variances-covariances exprimée dans l’Équation 2.8.

Σyy = JΣxxJT (2.8)

Où :

Σyy représente la matrice variance-covariance des coordonnées xn, yn et zn;

J représente la matrice de dérivées partielles (jacobien de Y par rapport à X) ; Σxx représente la matrice variance-covariance des paramètres.

2.5

Ellipsoïdes d’erreurs

Une manière d’observer l’incertitude-type composée associée aux coordonnées d’un point est le calcul d’une région de confiance autour du point levé, dans ce cas l’ellipsoïde d’erreur. En considérant que la variable aléatoire tridimensionnelle (coordonnée obtenue du point géoré-férencé) suit une loi normale et considérant la fonction de densité de probabilité conjointe pour ce vecteur de trois variables aléatoires indépendantes x, y et z (coordonnées levées par le système), il est possible de voir que les points pour lesquels la densité de probabilité est constante sont donnés par l’Équation 2.9 (adapté de Cocard, 2016).

f(x, y, z) = cte (x − µx)2 k2_σ2 x +(y − µy)2 k2_σ2 y +(z − µz)2 k2_σ2 z = 1 (2.9) Où :

— µx, µy et µz sont les valeurs correspondants à la moyenne des coordonnées x, y et z,

respectivement, levées par le système ; — σ2

x, σy2 et σ2z sont les variances associées aux coordonnées.

L’Équation 2.9 correspond à un ellipsoïde à 3 axes centrés sur la coordonnée (µx, µy, µz)

ayant comme axes ax = kσx, ay = kσy et az = kσz. La coordonnée du centre de l’ellipsoïde

est la moyenne obtenue à partir des observations effectuées avec le système. Les axes associés à cet ellipsoïde (σx, σy et σz) sont obtenus à partir de la matrice de variances-covariances

calculée lors de la propagation de variances-covariances pour le calcul de l’incertitude-type composée.

Il est possible de poser la valeur de k3 _{= 1 pour avoir une région de confiance de 1σ ou 19,8%}

comme montre l’Équation 2.10(pour le cas 3D).

P( s (x − µx)2 σ2 x +(y − µy)2 σ2 y +(z − µz)2 σ2 z ) = 19, 8% (2.10)

L’Équation 2.10 donne la probabilité qu’un point se situe à l’intérieur de l’ellipsoïde calculé. Ainsi, chacun des axes de l’ellipsoïde doit être multiplié par la valeur du facteur k correspon-dant.

Lorsque les dimensions des axes de l’ellipsoïde d’erreur sont connues, il faut déterminer leur orientation. Il faut procéder avec une transformation orthogonale pour avoir l’ellipsoïde dans le système de coordonnées n. Pour se faire, il faut trouver une matrice orthogonale (R) qui permet la transformation entre les repères (X en X = RX) de sorte que la matrice de variance-covariance Σxx soit diagonale (adapté de Cocard,2016).

Dans le cas de ce projet, comme la région de confiance est un ellipsoïde (3D), l’orientation de cette région sera donnée par une matrice de rotation R de dimension 3x3 provenant de la matrice de vecteurs propres de la matrice variance-covariance (Σxx). Cette rotation sera

appliquée sur les axes calculés de l’ellipsoïde en permettant, donc, son affichage graphique.

2.6

Étude de l’incertitude-type des SLM en incluant la

géométrie de l’objet

2.6.1 Modèle mathématique et incertitudes considérées

Une étude qui tient compte de la géométrie du terrain a été réalisé par Schaer et al. (2007). Cette étude considère les Systèmes LiDAR Mobiles aéroportés et l’angle d’incidence d’un faisceau par rapport au terrain comme le montre la Figure 2.6.

Figure 2.6 – Angle d’incidence du faisceau par rapport au terrain (Schaer et al., 2007).

Cette approche repose sur une approximation de la normale du terrain local par la décompo-sition des valeurs propres et des vecteurs propres de cette surface. Le terrain autour du point levé est modélisé comme un plan dont la normale est calculée à partir de points voisins.

L’in-formation concernant cette normale est utilisée avec l’empreinte ou la divergence du faisceau (fournie par le fabricant). L’influence de la forme de l’empreinte et la distance mesurée par la portée affectent directement la qualité des données et par conséquent le géoréférencement des données collectées. Le modèle mathématique utilisé est le même que celui de l’Équation 2.2. Les incertitudes associées à chaque capteur qui composent le système sont les mêmes que celles détaillées aux Tableaux 2.1, 2.2 et2.3. Cependant, certaines incertitudes mériteraient encore une attention spéciale. Néanmoins, ce sont les incertitudes liées au modèle mathéma-tique. Schaer et al. (2007) fait mention de 14 incertitudes qui sont associées directement aux paramètres du modèle :

— 6 incertitudes associées à la navigation : incertitudes provenant du positionnement ab-solu (σxn, σyn et σzn) et celles associées aux angles d’orientation du système (σϕ, σθ et

σψ) qui sont associées aux capteurs GNSS et l’IMU. La source de ces incertitudes est donnée au Tableau 2.1;

— 6 incertitudes associées à l’ajustage du système : les incertitudes de détermination des angles de visée (σϕb, σθb et σψb) et de bras de levier (σax, σay et σaz) ;

— 2 incertitudes associées au système LiDAR : l’incertitude associée à la portée (σρm) et

celle associée à l’angle de balayage (σγ). Ces deux incertitudes sont intrinsèques aux

systèmes et sont fournies par le fabricant.

2.6.2 Analyse de la géométrie de l’objet à scanner

En ce qui concerne le retour énergétique de l’empreinte, il n’est pas possible de prévoir la vraie position du point géoréférencé sur l’empreinte. C’est-à-dire, qu’il n’est pas possible d’affirmer que le point de retour (le point géoréférencé) est au centre de l’empreinte du faisceau. Une étude associée à cette problématique a été abordée par Lichti et Gordon (2004). Ils considèrent l’estimation d’incertitude comme uniforme sur l’empreinte produite par le faisceau sur le terrain. Cependant le retour énergétique de l’empreinte n’est pas uniforme. À la Figure2.7, il est possible d’observer le retour énergétique non uniforme sur l’empreinte est approximé par une distribution de Gauss dont 100% du retour est dans l’empreinte.

Par exemple, si l’angle d’incidence est de 0°, le retour énergétique sera beaucoup plus concen-trée quand comparé à un angle d’incidence de 60°, dont le retour énergétique sera étalonnée sur la surface de l’empreinte. Cette problématique peut être observée à la Figure2.8.

En ce qui concerne les paramètres associés à la normale du terrain scanné, il faut connaître d’avance ces paramètres ou les calculer en faisant une opération pour connaître les valeurs et vecteurs propres par rapport au voisinage du point en question.

Les systèmes et l’effet associé à la divergence du faisceau ainsi que les paramètres considérés par Schaer et al (2007). peuvent être visualisés à la Figure 2.9.

Figure 2.7 – Distribution énergétique de l’empreinte du système LiDAR optech ALTM (Glen-nie, 2006).

Figure 2.8 – Distribution de retour énergétique de l’empreinte du faisceau (Schaer et al., 2007).

2.6.3 Calcul de l’incertitude associée à la divergence du faisceau

Le calcul de l’incertitude-type associée à l’empreinte du faisceau laser sur e terrain est modélisé par une ellipse (ou circonférence) formée à partir de l’intersection d’un cône avec le plan local. Ce cône est formé à partir de l’origine du système LiDAR (O) où le vecteur direction de la portée mesurée (rbs), la valeur de la divergence du faisceau et le plan local sont définis par

une normale ~n, comme montré aux Figures 2.9et2.8.

Une fois que les paramètres de l’ellipse (demi-grand axe - a et demi-petit axe - b) de l’empreinte sont calculés il est possible de calculer l’extension maximale des axes, c’est-à-dire, pour a il y aura ax, ay et az et pour b : bx, by et bz, comme montré à la Figure2.10.

Comme indiqué précédemment, la distribution énergétique du faisceau est considérée comme une distribution symétrique de Gauss. Il est donc possible d’exprimer approximativement l’incertitude-type associée à la divergence et à la morphologie du terrain comme le montre

Figure 2.9 – Effet de la divergence du faisceau et les systèmes associés (Schaer et al., 2007).

l’Équation 2.11, dont le calcul est pour 1σ.

    σ_XDiv σ_YDiv σ_ZDiv    = 1 3max         ax ay az     ,     bx by bz         (2.11)

Pour vérifier la validité de cette incertitude-type calculée, puisque la qualité est directement liée aux paramètres associés au terrain (normale calculée par voisinage), il faut attribuer un indicateur de qualité - q (q-indicator) pour les points levés. Cet indicateur prend en considération les valeurs d’incertitudes obtenues à partir de l’Équation 2.11 et la trace de la matrice de variances-covariances calculée à partir du modèle mathématique (Équation 2.1). Donc, pour estimer la qualité attendue du calcul de l’incertitude-type associée à la divergence du faisceau et à la morphologie du terrain, il est nécessaire de réaliser un filtrage des données acquises afin d’éliminer les données indésirables, par exemple un champ de blé. Le critère pour ce filtrage est détaillé par Bae et Lichti (2004a).

Figure 2.10 – Composantes de l’ellipse formées par l’intersection du cône/plan - Empreinte du faisceau sur le terrain (Schaer et al., 2007).

Le calcul de l’incertitude-type qui est proposé par Schaer et al. (2007) prend en considération la divergence du faisceau, la morphologie du terrain en supposant un retour énergétique comme une distribution normale de Gauss. Alors, cette incertitude-type calculée peut-être associée aux incertitudes physiques du système (puisqu’elle prend en considération la supposition du retour énergétique). Dans ce projet, l’incertitude-type composée calculée est basée sur les incertitudes-type des paramètres et le couplage des capteurs ainsi que la morphologie du terrain. Comme ce projet étude l’incertitude géométrique, l’approche développée par Schaer et al. (2007) ne sera pas intégrée dans cette méthode.

Ceci complète la revue de littérature se rapportant au projet de recherche traitant de l’incertitude-type composée des SLM. Le chapitre suivant détaille la méthodologie employée au cours de cette recherche.

Chapitre 3

Méthodologie

Les chapitres précédents ont présentés l’incertitude-type composée associée au modèle du géoréférencement direct présenté dans l’Équation 2.2. La méthode développée par Schaer et al. (2007), qui prend en considération le retour énergétique associé au point levé, a aussi été présentée comme une incertitude d’origine physique. Ce projet de recherche a comme finalité le calcul de l’incertitude-type composée du modèle de géoréférencement et le calcul d’une incertitude géométrique liée à un système LiDAR mobile. Les sections suivantes définissent le cadre mathématique de la méthodologie proposée et la propagation des variances covariances pour le positionnement (GNSS) et l’attitude (IMU) de la plateforme, pour le scanneur LiDAR et ses paramètres d’installation et pour la géométrie du terrain.

3.1

Cadre mathématique de la méthodologie

Pour effectuer le calcul de l’incertitude-type composée du modèle de géoréférencement et pour observer l’influence de chacun des paramètres du modèle, il est possible de réécrire l’Équation 2.2 sous la forme de l’Équation3.1.

Xn= Pn+ CbInCbSbIrbS+ CbInabI (3.1)

En considérant que Cn

bICbSbIrbS = rn et CbInabI = an, l’Équation3.1 s’écrit comme l’Équation

3.2.

Xn= Pn+ rn+ an (3.2)

Lorsque la loi de propagation des variances-covariances (Équation2.8) est appliquée à l’Équa-tion 3.2, le calcul de l’incertitude-type composée du modèle peut être calculée par l’Équation 3.3.

ΣXn = ΣδPn+ Σδrn+ Σδan (3.3)

3.2

Propagation des variances-covariances pour le

positionnement (Σ

)

La première matrice de variances-covariances à déterminer est la matrice associée au position-nement ou à la matrice ΣδPn. Les paramètres associés à cette matrice sont les coordonnées

xn, ynet zn acquises dans le temps tP (Pn= Pn(xn, yn, zn, tP)). On note ξ = (xn, yn, zn, tP).

La matrice des variances-covariances Σδξet la matrice des dérivées partielles de Pnpar rapport

à ξ (∂Pn ∂ξ ) (Équations 3.4et3.5, respectivement). Σδξ=        σ2_xn 0 0 0 0 σ_y2_n 0 0 0 0 σ_z2_n 0 0 0 0 σ_t2_LP        (3.4) ∂Pn ∂ξ =     1 0 0 VN 0 1 0 VE 0 0 1 VD     (3.5) Où :

— VN, VEet VDsont les composantes de la vitesse linéaire de la plateforme du SLM, lorsque

le véhicule est en mouvement ;

— σxn, σyn et σzn sont les incertitudes de mesure (incertitudes-types) fournies par le

fabri-cant du récepteur GNSS ;

— σtLP représente l’incertitude de détermination de la latence existante entre le récepteur

GNSS et le système LiDAR (δtLP) obtenue par ajustage.

Pour connaître l’incertitude-type composée associée au terme Pn, il faut appliquer la loi

de propagation des variances-covariances (Équation 2.8) à ce terme. Le résultat peut être représenté par l’Équation 3.6.

ΣδPn = ∂Pn ∂ξ Σδξ ∂Pn ∂ξ T (3.6)

3.3

Propagation des variances-covariances pour a

(Σ

)

Ensuite, il faut déterminer la matrice de variances-covariances du terme an. De façon analogue

an(ζ) = CbIn(ϕ, θ, ψ, t)     ax ay az     (3.7) Où : — Cn bI = R1(ψ)R2(θ)R3(ϕ) ;

— ϕ, θ et ψ sont les angles de navigation fournis par l’IMU dans le temps tI;

— ax, ay et az représentent les trois composantes du bras de leviers entre l’IMU et le

scanneur LiDAR

Pour effectuer la propagation des variances-covariances, il faut obtenir la dérivée partielle de tI par rapport à an(ζ) : (

∂an

∂tI). Ce résultat est la matrice de vitesses angulaires (Ω bI n/bI)

associées à la plateforme du véhicule et mesurée par l’IMU Équation 3.8).

ΩbI n/bI =     0 −ω₃ ω2 ω3 0 −ω1 −ω2 ω1 0     (3.8) Où :

— ω1, ω2 et ω3 sont les composantes de la vitesse angulaire ;

Les composantes de la vitesse angulaire sont représentées par (ω1, ω2 et ω3). La matrice de

dérivées partielles (∂an

∂ζ ) peut être représentée par l’Équation 3.9. ∂an ∂ζ =  R1R2 ∂R3(ϕ) ∂(ϕ) abI R1 ∂R2(θ) ∂(θ) R3abI ∂R1(ψ) ∂(ψ) R2R3abI C n bIΩbIn/bIabI CbIn  (3.9)

La matrice de variances-covariances de ζ est représentée par l’Équation 3.10 en considérant aucune corrélation entre les paramètres (covariances nulles).

Σδζ =                σϕ2 0 0 0 0 0 0 0 σθ2 0 0 0 0 0 0 0 σψ2 0 0 0 0 0 0 0 σt2_LI 0 0 0 0 0 0 0 σa2_x 0 0 0 0 0 0 0 σa2_y 0 0 0 0 0 0 0 σa2_z                (3.10)

Les variances présentes dans l’Équation 3.10 sont fournies par le fabricant de l’IMU (σϕ, σθ et σψ) et obtenues par étalonnage du SLM (σtLI, σax, σay et σaz). En appliquant la loi de