Risque et incertitude Risque et incertitude

(1)

Risque et incertitude Risque et incertitude

Une introduction Une introduction

Louis Parent,

Louis Parent, ing ing. MBA . MBA

Risque et incertitude: une introduction 2

Contenu Contenu

Méthodes de définition des sources de risque de projet

Concepts élémentaires de probabilités

Distribution statistique de la PE

Techniques de simulation

Les décisions séquentielles et la valeur de l'information additionnelle

Référence: AEI, Chap. 13

(2)

Évolution des prÉvolution des prééoccupations des entreprises sur la rentabilitoccupations des entreprises sur la rentabilitééde projetde projet

Avant 1960:

Quel est le délai de récupération de l'investissement?

1960 – 1990:

Est-ce que la valeur actualisée de ce projet est positive?

Depuis 1990:

Quelle est la valeur actualisée de ce projet avec un niveau de confiance de 95%?

Dans le cas de très grands projets – comme par exemple le

développement d'un avion: quelle est la probabilité qu'une PE négative excède la valeur des capitaux propres de l'entreprise?

Depuis 2000:

Quelle est la PE stratégique de ce projet?

Quelle est la PE du projet, incluant la valeur des options stratégiques qui y sont enchâssées?

Les sources de risque d'un projet Les sources de risque d'un projet

Prévisions de ventes incertaines

Taille et taux de croissance du marché potentiel

Prix, réactions des concurrents et parts de marché

Technologie:

Problèmes de performance du produit

Innovations des concurrents et désuétude

Prévisions de coûts incertaines

Hypothèses de coûts irréalistes

Coûts de l'investissement

Dépassements budgétaires, imprévus

Retards dans la construction

Hypothèses financières:

Taux d'intérêt

Taux de change

Etc..

(3)

Mé M éthodes de d thodes de dé éfinition du risque finition du risque

1. Analyse de sensibilité 2. Analyse du point mort 3. Analyse de scénarios

Analyse de sensibilit Analyse de sensibilité é

Mesurer l'impact sur la PE du projet de changements dans une ou des variables du modèle financier du projet.

Exemples:

Qu'arrive-t-il si les ventes ne sont que de 1 000 unités/année au lieu de 2 000?

Qu'arrive-t-il si la croissance des ventes n'est que de 2% par année au lieu de 5%?

Méthode de présentation utile et pratique: le graphique de sensibilité

X: variation en % d'une variable d'entrée au modèle

Y: PE(TRAM)

La pente de la droite indique la sensibilité de la PE à un changement dans la variable d'entrée.

Ventes Pente PE

∆

= ∆

Exemple:

ÎPlus la pente est élevée, plus la PEest sensible à la variation des ventes

(4)

Analyse de sensibilit

Analyse de sensibilité é: Exemple 13.1 : Exemple 13.1

La société SMW désire obtenir un contrat de 5 ans pour la fabrication de coffres de transmission. Pour fabriquer ces pièces, elle doit investir 125 000$ dans une nouvelle machine à forger. Le volume annuel est estimé à 2 000 unités par année, à un prix unitaire de 50$. Les frais variables s'élèveraient à 15$/unité et les frais fixes à 10 000$ par année.

Le taux de DPA est pour la machine est de 30% et sa valeur de récupération dans 5 ans serait de 32% du coût initial.

Le TRAM est de 15% et le taux d'impôt de 40%

Les incertitudes ou éléments de risque:

Avant d'obtenir un contrat ferme, la société doit fournir des échantillons et investir dans l'équipement nécessaire.

Le prix unitaire pourrait baisser en fonction de la qualité des échantillons

La demande pourrait être plus basse que prévue, car le client ne garantit pas de quantités minimales. Si ses affaires baissaient, il pourrait décider de rapatrier la fabrication de ces pièces à l'interne.

La société connaît moins bien ce genre d'équipement. Son estimation des coûts variables et fixes pourraient être erronés.

La valeur de récupération dans 5 ans n'est qu'une estimation.

Analyse de sensibilit

Analyse de sensibilité é: Exemple 13.1 : Exemple 13.1

P = 125 000 $ t = 40%

d = 30% TRAM = 15%

S = 32%

Année 0 1 2 3 4 5

État des résultats Revenus

Prix unitaire 50 $ 50 $ 50 $ 50 $ 50 $

Demande (unités) 2 000 2 000 2 000 2 000 2 000

Revenus totaux 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ 100 000 $ Charges

Coût variable unitaire 15 $ 15 $ 15 $ 15 $ 15 $

Coût variable total 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $ 30 000 $

Coût fixe 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $

DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $

Bénéfice imposable 41 250 $ 28 125 $ 37 688 $ 44 381 $ 49 067 $

Impôts 16 500 $ 11 250 $ 15 075 $ 17 753 $ 19 627 $

Bénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $

État des flux de trésorerie

Bénéfice net 24 750 $ 16 875 $ 22 613 $ 26 629 $ 29 440 $

DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $

(Investissement) disposition (125 000 $) 40 000 $

Effet fiscal de la disposition (5 796 $)

Flux monétaire net (125 000 $) 43 500 $ 48 750 $ 44 925 $ 42 248 $ 74 578 $

PE(15%) 40 460 $

Le projet: la situation de référence ("Base case")

(5)

Analyse de sensibilit

Analyse de sensibilité é: Exemple 13.1 (suite) : Exemple 13.1 (suite)

Identifier les variables d'entrée fondamentales de ce projet:

1. Le prix unitaire 2. La demande

3. Le coût variable unitaire 4. Les coûts fixes

5. La valeur de récupération

Faire varier chacune des variables sur une fourchette plausible, par exemple +/- 20%:

Variation -20% -10% 0% 10% 20%

Prix 40.00 $ 45.00 $ 50.00 $ 55.00 $ 60.00 $

Demande 1 600 1 800 2 000 2 200 2 400

Coût variable unitaire 12.00 $ 13.50 $ 15.00 $ 16.50 $ 18.00 $

Coûts fixes 8 000 $ 9 000 $ 10 000 $ 11 000 $ 12 000 $

Valeur de récupération 32 000 $ 36 000 $ 40 000 $ 44 000 $ 48 000 $

Calculer la PE(TRAM)pour chacune de ces valeurs:

Variation -20% -10% 0% 10% 20%

Prix 234 $ 20 347 $ 40 460 $ 60 573 $ 80 686 $

Demande 12 302 $ 26 381 $ 40 460 $ 54 539 $ 68 618 $ Coût variable unitaire 52 528 $ 46 494 $ 40 460 $ 34 426 $ 28 393 $ Coûts fixes 44 483 $ 42 472 $ 40 460 $ 38 449 $ 36 438 $ Valeur de récupération 38 074 $ 39 267 $ 40 460 $ 41 654 $ 42 847 $

Analyse de sensibilit

Analyse de sensibilité é: Exemple 13.1 (suite) : Exemple 13.1 (suite)

0 $ 10 000 $ 20 000 $ 30 000 $ 40 000 $ 50 000 $ 60 000 $ 70 000 $ 80 000 $ 90 000 $

-20% -10% 0% 10% 20%

Variation

PE(15%) $

Prix unitaire

Demande

Valeur de récupération Coûts fixes Coût variable unitaire Valeur de

référence

Sensibilité élevée de la PE au:

Prix

Volume

Sensibilité modérée de la PE au:

Coût variable unitaire

Sensibilité faible de la PE au:

Coûts fixes

Valeur de récupération

Sensibilité élevée de la PE au:

Prix

Volume

Sensibilité modérée de la PE au:

Coût variable unitaire

Sensibilité faible de la PE au:

Coûts fixes

Valeur de récupération

Porter la PE(TRAM)sur un graphique.

PE(TRAM) varie de façon linéaire

Donc, pour tracer le graphique, nous n'avons besoin que d'un seul point par variable (par exemple +20%), car la valeur de référence est déjà connue (40 460$)

(6)

Analyse de sensibilit

Analyse de sensibilité é: Exemple 13.1 (suite) : Exemple 13.1 (suite)

( )( )

(

^Px ^CV

)

^.^CF ^. ^DPA

Q . A

DPA t DPA CF QCV QPx A

4 0 6 0 6

0

1 +

−

=

+

−

=

La variation de Apar rapport aux variations deQ, Px, CVet CFest donné par:

( ) ( )

( )

CF . A

CV CV

Q . A

Px Px

. Px Q . A

Q Q . Q CV Px . A

∆

−

=

∆

−

=

∆

−

=

∆

=

∆

=

∆

=

∆

=

∆

=

∆

−

=

∆

6 0

1200 6

0

1200 2000

6 0 6 0

21 35 6 0 6

0

La variation de la PEcausée par une variation de d% de la variable autour du scénario de base:

( )( )

( )(

P/A,

)

d

d . PE

d ,

A / P d PE

d ,

A / P d PE

d ,

A / P ρ PE

20113 15%,5

10000 6 0

60339 15%,5

15 200 1

129 201 15%,5 50

200 1

140791 15%,5 2000

21

−

=

−

=

∆

−

=

−

=

∆

=

∆

=

∆

PE PE

PE

PE= _base+∆ =

10 460 $

+∆

la PEdu scénario évalué sera donnée par:

Méthode analytique

Le flux monétaire Ades années 1 à 5, excluant la valeur de récupération est donnée par:

Posons:

∆

Variable = d(Valeur de base) oùd= variation en % de la variable part rapport au scénario de base

Analyse de sensibilit

Analyse de sensibilité é: Exemple 13.1 (suite) : Exemple 13.1 (suite)

Quant à la valeur résiduelle S, son impact F₅sur le flux monétaire de l'année 5 est donné par:

( )( ) ( ) ( )

FNACC . S . F

t FNACC t

S t FNACC S

S F

4 0 6 0

1

5 5

−

=

−

=

−

=

L'impact d'une variation de SsurF₅est donné par:

S . F = ∆

∆

₅

0 6

( )( P / F , , ) d d

.

PE = 0 6 40 000 15 % 5 = 11 932

∆

La PEtotale à cette valeur de Sest de:

d PE

PE

PE =

_base

+ ∆ = 40 460 + 11932

La variation de la PEcausée par une variation de d% de la valeur de récupération est donné par:

(7)

Analyse de sensibilit

Analyse de sensibilité é: Exemple 13.1 (suite) : Exemple 13.1 (suite)

On peut maintenant porter les fonctions de la PEen fonction de dsur un graphique

d PE

: S

d PE

: CF

d PE

: CV

d PE

: Px

d PE

: Q

932 11 460 40

13 1 20 460 40

39 3 60 460 40

129 201 460 40

791 140 460 40

+

=

−

=

−

= +

=

Ces fonctions sont linéaires.

Comme on connaît la PEdu scénario de base oùd=0%

(i.e. 40 460$), on a qu'à calculer un seul autre point.

Ex: pour Qàd= 20%:

( )

618 68 158 28 460 40

2 0 791 140 460 40

= +

= PE

. PE

Prix 80 686 $

Demande 68 618 $

Coûts variables 28 393 $

Coûts fixes 36 438 $

Valeur de récupération 42 847 $

PEàd= 20%

Analyse du point mort Analyse du point mort

Technique centrée sur la quantité vendue:

Jusqu'à quel point est-ce que les ventes peuvent tomber avant que le projet commence à ne plus être rentable?

Solution par ordinateur avec le Solveur d'Excel : 1 425 unités/année, soit 28.74% de moins que le cas de référence

Année 0 1 2 3 4 5

État des résultats Revenus

Prix unitaire 50 $ 50 $ 50 $ 50 $ 50 $

Demande (unités) 1 425 1 425 1 425 1 425 1 425

Revenus totaux 71 262 $ 71 262 $ 71 262 $ 71 262 $ 71 262 $

Charges

Coût variable unitaire 15 $ 15 $ 15 $ 15 $ 15 $

Coût variable total 21 379 $ 21 379 $ 21 379 $ 21 379 $ 21 379 $

Coût fixe 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $ 10 000 $

DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $

Bénéfice imposable 21 133 $ 8 008 $ 17 571 $ 24 265 $ 28 950 $

Impôts 8 453 $ 3 203 $ 7 028 $ 9 706 $ 11 580 $

Bénéfice net 12 680 $ 4 805 $ 10 543 $ 14 559 $ 17 370 $

État des flux de trésorerie

Bénéfice net 12 680 $ 4 805 $ 10 543 $ 14 559 $ 17 370 $

DPA 18 750 $ 31 875 $ 22 313 $ 15 619 $ 10 933 $

(Investissement) disposition (125 000 $) 40 000 $

Effet fiscal de la disposition (5 796 $)

Flux monétaire net (125 000 $) 31 430 $ 36 680 $ 32 855 $ 30 178 $ 62 508 $

PE(15%) 0 $

(8)

Analyse du point mort: Approche analytique Analyse du point mort: Approche analytique

Partir du scénario de base à 2 000 unités pour le quel la PEa été calculée précédemment à 40 460$. Nous avons établi précédemment que pour une variation dde Q:

d PE = 40 460 + 140 791

En solutionnant pour dàPE= 0, on trouve:

( ¹ ) ² ⁰⁰⁰ ( ¹ ⁰ ^. ²⁸⁷⁴ ) ¹ ⁴²⁵ ^unités

% 74 . 791 28 140

460 40

791 140 460 40 0

=

−

= +

=

−

− =

=

+

=

d Q Q

ρ

d PE

base PM

Analyse du point mort: Autre approche analytique Analyse du point mort: Autre approche analytique

L'impact de Q sur le flux monétaire A des années 1 à 5 est de:

( )( )

( )( ) . Q

Q A

t QCV QPx A

21 6 0 15 50

1 =

−

=

−

=

∆PE

= −40 460$

21∆Q

=

−40 460 (A/P, 15%, 5) = −

12 061

∆Q = 12 061/21 = 575

Ou:∆Q = nsolve(npv(15,0,{21Q},{5})=-40460,Q)=-574.8 Q_PM= Q_base+∆Q = 2 000 −

575 = 1 425 unités

On cherche la quantité

∆ Q qui rendra laPE

de ∆ A égale à – 40 460$

0 1 2 3 4 5

21∆Q 21∆Q 21∆Q 21∆Q 21∆Q

(9)

Analyse du point mort: Encore une autre approche analytique Analyse du point mort: Encore une autre approche analytique

Trouver la quantitéQoù la PEdu flux monétaire net est égale à 0.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

unités 425 3963 1 70

330 100

330 100 3953

70 0 15

0 mort - point Au

330 100 3953 70 15

330 100 3522 3 21 15

5 15 5

15%, 21

15

5

0

=

⇒

−

=

−

=

−

=

+

=

∑

⁼

=

Q .

% PE

PE ,

Q .

% PE

. Q

% PE

%, , F / P F ,

A / P Q

% PE

PM

PM PM

n n

n

Année 0 1 2 3 4 5

Entrées de fonds

Revenus, net d'impôt 50X(1-0.4) 30 Q 30 Q 30 Q 30 Q 30 Q

Crédit d 'impôt du à la DPA(0.4) 7 500 $ 12 750 $ 8 925 $ 6 248 $ 4 37 3 $

Récupération, net de l'effet fiscal 34 20 4 $

Sorties de fonds

Investissement (125 000 $ )

Coûts variables, nets d'impôts 15X(1-.04) (9Q) (9Q) (9Q) (9Q) (9Q) Coûts fixes, n et d'impôts (1-0.4) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 00 0 $) Flux monétaire net

Coefficient de Q 21Q 21Q 21Q 21Q 21Q

Constante (125 000 $ ) 1 500 $ 6 750 $ 2 925 $ 248 $ 32 57 8 $

tvm_pv(5,15,-1,0)= 3.3522 npv(15,-125000,{1500,6750, 2925,248,32578})=-100330 Calcul des coefficients:

Analyse du point mort: Graphiquement

(10)

Analyse de sc

Analyse de scé énarios narios

Façon simple de tenir compte de l'interaction entre et/ou du changement simultané de plusieurs variables.

La pratique commune: 3 scénarios

Pire scénario (worst case)

Meilleur scénario (best case)

Scénario le plus probable (most likely case)

Exemple:

Les questions qu'il faut maintenant adresser:

Quelle est la probabilité que chaque scénario se concrétise?

Quelle est la probabilité que la PE soit négative?

Variable Pire

Plus

probable Meilleur

D emande 1 500 2 000 2 500

Prix unitaire 48 $ 50 $ 53 $

C oût variable unitaire 17 $ 15 $ 12 $

C oûts fixes 11 000 $ 10 000 $ 8 000 $

Valeur de récupération 0 $ 40 000 $ 50 000 $

PE(15%) (20 749 $) 40 460 $ 112 833 $

Scénario

Analyse de la distribution de la

Analyse de la distribution de la PE PE

(11)

Revue des concepts

Revue des concepts é él lé émentaires de probabilit mentaires de probabilité és utiles s utiles à à la la dé d écision d'investissement cision d'investissement

Distribution des probabilités

Espérance et variance

Probabilités conjointes et probabilités conditionnelles

Covariance et coefficient de corrélation

Distribution de probabilit Distribution de probabilité és s

Une variable aléatoire X est un paramètre, ou variable, qui peut prendre plusieurs valeurs aux quelles sont associées des probabilités ou chances de réalisation.

La distribution de probabilités

f(x)

est une fonction, discrète ou continue, qui donne la probabilité

p_i

de chacune des valeurs x

_i

que peut prendre X.

∑ ^p

ⁱ

⁼ ¹

La distribution cumulative de probabilités F(x) indique la probabilité que

X atteigne une valeur inférieure ou égale à une valeur quelconque x.

Exemple:

y f(y)=p F(Y)

48 $ 30% 30%

50 $ 50% 80%

53 $ 20% 100%

100%

Prix unitaire (Y)

x f(x)=p F(X)

1 500 20% 20%

2 000 60% 80%

2 500 20% 100%

100%

U nités vendues (X)

(12)

Valeur esp

Valeur espé ér ré ée et variance e et variance

La valeur espérée(ou la moyenne) de X, E(X)ou µ, est une moyenne pondérée, selon les probabilités, des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X.

La variance de X, VAR(X)ou σ²est une mesure-clé du risquecar elle indique le niveau de dispersion ou d'écart des valeurs possibles de Xpar rapport à sa valeur espérée E(X). La variance est la moyenne pondérée, selon les probabilités, du carré des écarts entre xet E(X).

L'écart-type σest la racine carrée de la variance.

( ) X ⁼ ^µ

x

⁼ ∑ p

i

x

i

E

( ) ( ( ) ) [ ( ) ] ^{( )}

[ ( )

²

] ( )

²

2

2 2 2

2

X E x p

X E x p X

E x p X

VAR

i i x

x

i i i

i x

−

= σ

−

=

−

= σ

=

∑

E(X) VAR(X)

σ_x= 316

E(Y) VAR(Y)

σ_y= 1.73

x p xp (x-E(X))^2 (x-E(X))^2(p) y p yp (y-E(Y))^2 (y-E(Y))^2(p)

1 500 20% 300 250 000 50 000 48 $ 30% $14.40 4.00 1.20

2 000 60% 1 200 0 0 50 $ 50% $25.00 0.00 0.00

2 500 20% 500 250 000 50 000 53 $ 20% $10.60 9.00 1.80

100% 2 000 100 000 100% $50.00 3.00

Uni tés vendues (X) Prix unitaire (Y)

Probabilit

Probabilité és conjointes de variables al s conjointes de variables alé éatoires ind atoires indé épendantes pendantes

La probabilité conjointe

P(x,y)

est la probabilité que X et de Y prennent des valeurs précises en même temps.

Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes (i.e. la valeur de l'une ne dépend pas de la valeur de l'autre), P(x,y) est donnée par le produit de

P(x)

et de P(y):

( ) x , y P ( ) ( ) x P y

P =

Reprenons l'exemple de SMW:

Si le nombre d'unités vendues est indépendantdu prix unitaire – une hypothèse souvent irréaliste dans la pratique – la probabilité que le nombre d'unités vendues soit de 1 600 etque le prix soit de 48$, est de:

( ) x , y = P ( 1 600 , 48$ ) = P ( X = 1600 ) ( P Y = 48 $ ) = 20 % × 30 % = 6 % P

y f(y)=p F(Y)

48 $ 30% 30%

50 $ 50% 80%

53 $ 20% 100%

100%

x f(x)=p F(X)

1 500 20% 20%

2 000 60% 80%

2 500 20% 100%

100%

(13)

Quelle est la probabilité que ce projet ne soit pas rentable? Autrement dit. que laPE soit négative?

Pour répondre à des questions de ce type, nous devons connaître la distribution statistique de la PE

La distribution de la La distribution de la PE PE

Reprenons l'exemple de SMW et supposons que le volume et le prix peuvent varier en même temps et de façon indépendantede la manière suivante:

y f(y)=p F(Y)

48 $ 30% 30%

50 $ 50% 80%

53 $ 20% 100%

100%

x f(x)=p F(X)

1 500 20% 20%

2 000 60% 80%

2 500 20% 100%

100%

La distribution de la La distribution de la PE PE

Pour connaître la distribution statistique de la PE, il nous faut d'abord formuler la PE en fonction des deux variables aléatoires Xet Y:

( ) ( )( ) ∑

⁼

( )

=

+

−

= ⁵

0

15%, 5

15%, 9

6 % 15

n n

n P/F, n

F ,

A / P X XY . PE

tvm_pv(5,15,-1,0)= 3.3522

Année 0 1 2 3 4 5

Entrées de fonds

R evenus, net d'impôt XY(1-0.4) .6XY .6XY .6XY .6XY .6XY

C rédit d'impôt du à la DPA(0.4) 7 500 $ 12 750 $ 8 925 $ 6 248 $ 4 373 $

R écupération, net de l'effet fiscal 34 204 $

Sorties de fonds

Investissement (125 000 $)

C oûts variables, nets d'impôts 15X(1-.04) (9X) (9X) (9X) (9X) (9X) C oûts fixes, net d'impôts (1-0.4) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) (6 000 $) Flux monétaire net

Montants dépendants de X et Y .6XY-9X .6XY-9X .6XY-9X .6XY-9X .6XY-9X

Montants fixes (125 000 $) 1 500 $ 6 750 $ 2 925 $ 248 $ 32 578 $

( 15 ) = 3 3522 ( 6 − 9 ) − 100330

⇒ PE % . . XY X

npv(15,-125000,{1500,6750,2925,248,32578})=-100330

(14)

La distribution de la La distribution de la PE PE

Si le prix et le volume sont des variables aléatoires indépendantes, on peut calculer ainsi la distribution statistique de laPE:

E(PE) = 40 460$

VAR(PE) Îσ_PE=

23 352$

( 15 % )

=

3

.

3522 (

.

6

XY−

9

X

)

−

100 330

PE

x y P(x) P(y) P(x,y )

Distribution cumulative des probabilités (F) PE(1 5%)

PE po ndérée

(PE- E(PE))^2

pondéré

1 500 48 $ 20% 30% 6% 6% (771 $) (46 $) 102 002 234

1 500 50 $ 20% 50% 10% 16% 5 263 $ 526 $ 123 887 305

1 500 53 $ 20% 20% 4% 20% 14 314 $ 573 $ 27 346 226

2 000 48 $ 60% 30% 18% 38% 32 415 $ 5 835 $ 11 650 463

2 000 50 $ 60% 50% 30% 68% 40 460 $ 12 138 $ 0

2 000 53 $ 60% 20% 12% 80% 52 528 $ 6 303 $ 17 475 695

2 500 48 $ 20% 30% 6% 86% 65 602 $ 3 936 $ 37 924 685

2 500 50 $ 20% 50% 10% 96% 75 658 $ 7 566 $ 123 887 305

2 500 53 $ 20% 20% 4% 100% 90 743 $ 3 630 $ 101 132 494

40 460 $ 545 306 409

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

(771 $) 5 263

$ 14 314 $

32 415 $ 40 460 $

52 528 $ 65 602 $

75 658 $ 90 743 $ PE(15% )

Probabilité

P(x,y) = P(x)P(y)

Calculs des statistiques de la

Calculs des statistiques de la PE PE avec la Voyage 200 avec la Voyage 200

Stats /List Editor

F4, 1-Var Stats

E(PE)=40 462

σ

_PE^{=23 352}

PE="tvm_pv(5,15,-1,0)*(.6*x*y-9*x)

+npv(15,-125000,{1500,6750,2925,248,32578})"

pxy="px*py"

(15)

Calculs des statistiques de la

Calculs des statistiques de la PE PE avec la avec la Nspire Nspire

Le "Stats/List Editor"

est remplacé par "List

& Spreadsheet"

Menu, Statistics, Stat Calculations, One-variable statistics:

OK, Î

La distribution cumulative de la La distribution cumulative de la PE PE

On peut aussi porter la distribution cumulative de la PE sur un graphique et observer que:

La probabilité que la PE soit inférieure à 0 est de 6%.

La probabilité que la PE soit inférieure à la valeur de référence de 40 460$

est de 68%.

Le cas de référence peut donc être qualifié de légèrement optimiste, car sa probabilité est plus grande que 50%.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

(20 000 $) 0 $ 20 000 $ 40 000 $ 60 000 $ 80 000 $ 100 000 $ PE(15%)

Probabilité cumulative

PE de référence:

40 460$

P(PE< 10 460$)

= 68%

P(PE< 0$)

= 6%

(16)

Comparaison d'options ind

Comparaison d'options indé épendantes et de niveau de risque pendantes et de niveau de risque diffé diff érent: Exemple13.8 rent: Exemple13.8

L'entreprise Technologies Vertes a conçu un appareil permettant à un véhicule de passer de l'essence au gaz naturel. Elle a développé des prototypes pour 4 segments de marché différents: automobile compacte (modèle 1), automobile standard (modèle 2), VUS (modèle 3) et camion (modèle 4). N'étant pas convaincue de la demande du public, elle aimerait commencer par commercialiser l'appareil dans un seul segment. L'équipe du marketing de Technologies Vertes a compilé la distribution potentielle de la PEde chacun des modèles comme s'il était commercialisé indépendamment l'un de l'autre:

Recommandez lequel devrait être choisi comme produit de lancement.

PE(10%)

(en M$) Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 4

1 000 $ 35% 10% 40% 20%

1 500 $ 45% 40%

2 000 $ 40% 25%

2 500 $ 35% 30%

3 000 $ 20% 20%

3 500 $

4 000 $ 5% 15%

4 500 $ 10% 10%

100% 100% 100% 100%

Probabilités

Comparaison d'options ind

Comparaison d'options indé épendantes pendantes

Étape 1: Calcul de la PEespérée et de l'écart-type de la PEchaque option

( )

₁=1000$

(

0.35

)

+2000$

(

0.40

)

+3000$

(

0.20

)

+4000$

(

0.05

)

=1950$

=

∑

PE E

x p X

E _i _i

[ ( ) ] ( )

(

⁰³⁵

) (

¹⁰⁰⁰²

) (

^0.40

) (

²⁰⁰⁰²

) (

^0.20

) (

³⁰⁰⁰²

) (

^0.05

) (

⁴⁰⁰⁰²

)

¹⁹⁵⁰² ⁸⁶⁵^$

2 2 1

=

− +

+ +

=

−

=

σ

∑

.

X E x p_i _i

Exemple de calcul pour le modèle 1:

PE(10%)

(en M$) Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Modèle 4

1 000 $ 35% 10% 40% 20%

1 500 $ 45% 40%

2 000 $ 40% 25%

2 500 $ 35% 30%

3 000 $ 20% 20%

3 500 $

4 000 $ 5% 15%

4 500 $ 10% 10%

100% 100% 100% 100%

E(PE) 1 950 $ 2 100 $ 2 100 $ 2 000 $

σ(PE) 865 $ 957 $ 1 091 $ 1 000 $

Probabilités

(17)

Calcul des statistiques de la

Calcul des statistiques de la PE PE avec la TI: Exemple pour M1 avec la TI: Exemple pour M1

Stats /List Editor F4, 1-var Stats

E(PE)

σ

_PE

Risque et incertitude: une introduction 34 1 940 $ 1 960 $ 1 980 $ 2 000 $ 2 020 $ 2 040 $ 2 060 $ 2 080 $ 2 100 $ 2 120 $

800 $ 850 $ 900 $ 950 $ 1 000 $ 1 050 $ 1 100 $ 1 150 $

Comparaison d'options ind

Comparaison d'options indé épendantes (suite) pendantes (suite)

Étape 2: Élimination des options inefficaces du point de vue risque-rendement

Le défenseur initialest l'option à la plus grande PE: Modèle 2

Éliminer toutes les options ayant un écart-type plus grand que celui du Modèle 2.

Î élimination des Modèles 3 et 4: Offrent la même PEou moins, mais avec plus de risque.

Î Le Modèle 1 est l’aspirant

M2

M3

M4

M1 Frontière efficiente PE(10%)

σ

_PE

(18)

Comparaison d'options ind

Comparaison d'options indé épendantes (suite) pendantes (suite)

Étape 3: Évaluation des options restantes

Calculer la probabilité de tous les cas où le défenseur (Modèle 2) a une PEinférieure à celle de l’aspirant (Modèle 1):

PE(M1) PE(M2) p(M 1) p(M 2) p(M1)p(M 2)

2 00 0 $ 1 000 $ 40.0% 10.0% 4.00%

2 00 0 $ 1 500 $ 40.0% 45.0% 18.00%

3 00 0 $ 1 000 $ 20.0% 10.0% 2.00%

3 00 0 $ 1 500 $ 20.0% 45.0% 9.00%

3 00 0 $ 2 500 $ 20.0% 35.0% 7.00%

4 00 0 $ 1 000 $ 5.0% 10.0% 0.50%

4 00 0 $ 1 500 $ 5.0% 45.0% 2.25%

4 00 0 $ 2 500 $ 5.0% 35.0% 1.75%

44.50%

La probabilité que le Modèle 2 ait effectivement une PE inférieure à celle du Modèle 1 est inférieure à 50%.

Ceci qui devrait inciter un décideur rationnel à préférer le Modèle 2.

Comparaison d

Comparaison d’ ’options ind options indé épendantes (suite) pendantes (suite)

Taux de rendement sans risque

Courbe d'indifférence du marché financier (ou fonction de compromis entre le risque et le rendement)

0%

5%

10%

15%

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Indice de risque (υ, β, ou autre) TRAM

Prime de risque

LAfaçon correcte et sans équivoque de départager les options 1 et 2 serait de calculer leur PEen fonction d'un TRAMajusté pour le risque.

Un sujet qui serait abordé longuement dans un cours de Finance de niveau intermédiaire

(19)

Variables d

Variables dé épendantes pendantes

Il arrive très souvent en pratique que la valeur d'une variable aléatoire dépend de la valeur d'une autre variable aléatoire. Par exemple, si le volume dépend du prix:

( ) ( ) ( )

(

200048$

)

=

(

=2000 =48$

) (

=48$

)

=40%×30%=12%

=

Y P Y

| X P , P

y Y P y Y

| x X P y , x P

Si Xet Y sont des variables aléatoires dépendantes (i.e. la valeur de l'une dépend de la valeur de l'autre), la probabilité conjointe de Xet Y , P(x,y) , est donnée par:

Les probabilités marginales de Xsont données par:

( ) ( ) ( ) ( )

52%

% 8

% 32

% 12

3$

5 000 2 0$

5 000 2 8$

4 000 2 000 2

= + +

=

+ +

=

= P , P , P ,

X P

Prix

unitaire (Y) Probabilité Unités vendues

(X)

Probabilité conditionnelle

Probabilité conjointe

1 500 10% 3%

$48 30% 2 000 40% 12%

2 500 50% 15%

100% 30%

1 500 10% 5%

$50 50% 2 000 64% 32%

2 500 26% 13%

100% 50%

1 500 50% 10%

$53 20% 2 000 40% 8%

2 500 10% 2%

100% 20%

100% 100%

Unités vendues

(X) Probabilité

1 500 18%

2 000 52%

2 500 30%

2 060 100%

( )

341 060 2

= σ =

X

X E

Prix (Y) Probabilité

48 $ 30%

50 $ 50%

53 $ 20%

50 $ 100%

( )

$ 73 1

$ 50 . Y E

X=

σ

=

Variables d

Variables dé épendantes pendantes

À partir des probabilités conjointes, on peut, comme précédemment, calculer la distribution de la PE:

( 15 % )

=

3

.

3522 (

.

6

XY−

9

X

)

−

100 330

PE

( )

% 65

% 8

% 13

% 32

% 12

000 20

% 3 0

207 22

202 44

= + + +

=

>

=

≤

=

PE P

PE P σ

PE E

PR

(20)

Covariance et coefficient de corr Covariance et coefficient de corré élation lation

Lorsqu'il existe un lien de dépendance entre plusieurs variables aléatoires, il peut devenir très fastidieux d'estimer les probabilités conditionnelles et conjointes.

On préfère souvent utiliser un des concepts les plus puissants de la science statistique: le coefficient de corrélation, ρ_xy. Mathématiquement, le coefficient de corrélation se définit comme:

( )

y x xy

Y , X σ

= σ

ρ Cov

La covariance,

Cov(X,Y)

est l'espérance mathématique du produit des différences entre les valeurs de Xet l'espérance de X,et les valeurs de Yet l'espérance de Y:

( X,Y ) = σ

_xy

= E { ( X − E [ ] X ) ( Y − E [ ] Y ) }

Cov

Le coefficient de corrélation ρ_xypeut prendre des valeurs entre -1 et + 1.

ρ_xy=–1 Îvariables parfaitement, mais inversement, corrélées

ρ_xy=+1 Îvariables parfaitement, et positivement, corrélées

ρ_xy= 0Îvariables non corrélées, ou indépendantes

Coefficient de corr

Coefficient de corré élation: illustration lation: illustration

X Y

ρ_xy

= +1

ρ_xy

= -1

ρ_xy

= 0

ρ_xy

= 0.7

(21)

Calcul du coefficient de corr

Calcul du coefficient de corré élation: exemple lation: exemple

Cov(X,Y) = -240

( )

( )( 341 1 73 ) ⁰ ⁴⁰⁶¹

240 Cov .

. Y

, X

y x

xy

= − = −

σ

= σ

Î

ρ

x y P(x,y) (x-E(X)) (y-E(Y))

(x-E(X)) (y-E(Y)) pondéré

1 500 48 $ 3% -560 $ -2.0 $ 33.60

1 500 50 $ 5% -560 $ 0.0 $ 0.00

1 500 53 $ 10% -560 $ 3.0 $ -168.00

2 000 48 $ 12% -60 $ -2.0 $ 14.40

2 000 50 $ 32% -60 $ 0.0 $ 0.00

2 000 53 $ 8% -60 $ 3.0 $ -14.40

2 500 48 $ 15% 440 $ -2.0 $ -132.00

2 500 50 $ 13% 440 $ 0.0 $ 0.00

2 500 53 $ 2% 440 $ 3.0 $ 26.40

100% -240.00

Dans l'exemple précédant, le coefficient de corrélation entre le volume et le prix est de -0.4061:

1 500 1 600 1 700 1 800 1 900 2 000 2 100 2 200 2 300 2 400

48 $ 49 $ 50 $ 51 $ 52 $ 53 $ Prix

Volume annualisé

Estimation du coefficient de corr

Estimation du coefficient de corré élation avec des donn lation avec des donné ées es historiques

historiques

Au lieu d'estimer des probabilités conditionnelles, l'analyse de données historiques de vente pourrait permettre au personnel du marketing de SMW de déterminer empiriquement que le coefficient de corrélation entre le prix et le volume de vente de la société SMW est de -0.4061:

ρ

_xy

= -0.4061

F4, Regressions

-80

(22)

Distribution de la

Distribution de la PE PE lié li ée e à à des variables dé des variables d épendantes: pendantes:

Simulation Monte Carlo Simulation Monte Carlo

La solution analytique d'une distribution de PE liée à des variables d'entrée dépendantes peut rapidement devenir très difficile à calculer, surtout lorsque la fonction de PE comprend une combinaison non linéaire de variables comme le produit du volume et du prix, comme dans notre exemple:

( 15 % )

=

3

.

3522 (

.

6

XY−

9

X

)

−

100 330

PE

L'espérance de cette fonction de PE est facile à calculer – l'espérance d'un produit est le produit des espérances.

Par contre, le calcul de la variance de la fonction de PE ci-dessus fait intervenir un niveau de mathématiques statistiques avancé.

On préfère alors procéder par simulation sur ordinateur.

En plus de nous laisser spécifier la forme et les paramètres de la distribution des variables d'entrée du modèle, les logiciels de simulation nous permettent de spécifier le coefficient de corrélation désiré entre elles.

Qu'est

Qu'est- -ce qu'une simulation Monte Carlo? ce qu'une simulation Monte Carlo?

Prix (Y) Volume (X)

48$

50$

53$

30%

50%

20%

y P(y)

1 500 2 000 2 500

18%

52%

30%

x P(x)

Une simulation Monte Carlo est une expériencequi vise à déterminer la distribution statistique d'une variable dont les valeurs dépendent de la valeur de variables aléatoires.

ρ = -0.4061

Chaque urne contient des boules dont la distribution des couleurs correspond aux probabilités d'observer une valeur donnée de la variable aléatoire.

Le logiciel de simulation comprend un algorithme qui peut générer des nombres aléatoires corrélés selon le coefficient de corrélation désiré

L'expérience consisterait ici à tirer une boule de chaque urne des milliers de fois, calculer la PEpour chaque couple x, y puis compter la distribution statisque des PE ainsi obtenues.

E(Y) =50$

σ_Y= 1.73$

E(X) =2 060 σ_X= 341

Risque et incertitude Risque et incertitude