Une façon de vérifier la fidélité de l’acquisition des données par un SLM est de comparer la valeur de l’écart-type des observations acquises par le MX2. Étant donné que le MX2 a relevé plusieurs fois le même point sur la façade du bâtiment (Tableau 6.1), le calcul d’écart-type (Équation5.3) est possible de même que la vérification de la fidélité de la prise de mesure du MX2. Étant donné que les valeurs d’incertitude de pointage sont différentes pour les points géoréférencés avec l’incertitude-type fournie par les spécifications et celle fournie par POSPac MMS, les coordonnées moyennes sont par conséquent différentes et un calcul d’écart-type pour chaque jeu (A, B et C) est nécessaire en considérant les coordonnées des Tableaux 6.2 et 6.3.
Les valeurs des écarts-types des points levés et géoréférencés en considérant l’incertitude-type des données de navigation fournies par le fabricant sont données au Tableau6.7.
Jeu A Jeu B Jeu C
Point ˆσxn (m) ˆσyn (m) ˆσzn(m) ˆσxn (m) ˆσyn (m) ˆσzn(m) ˆσxn (m) ˆσyn (m) ˆσzn(m) 1 0.0093 0.0293 0.0154 0.0063 0.0089 0.0114 0.0088 0.0094 0.0108 2 0.0085 0.0155 0.0083 0.0052 0.0081 0.0117 0.0090 0.0098 0.0112 3 0.0102 0.0361 0.0202 0.0046 0.0079 0.0133 0.0086 0.0096 0.0112 4 0.0100 0.0375 0.0219 0.0050 0.0073 0.0094 0.0084 0.0087 0.0113 5 0.0114 0.0382 0.0228 0.0043 0.0077 0.0126 0.0091 0.0095 0.0122 6 0.0084 0.0153 0.0087 0.0043 0.0077 0.0129 0.0084 0.0093 0.0119 7 0.0106 0.0372 0.0224 0.0041 0.0075 0.0127 0.0087 0.0096 0.0128 8 0.0083 0.0169 0.0106 0.0041 0.0075 0.0132 0.0089 0.0094 0.0129 9 0.0096 0.0376 0.0230 0.0042 0.0074 0.0135 0.0086 0.0092 0.0130 10 0.0094 0.0377 0.0231 0.0041 0.0073 0.0138 0.0089 0.0089 0.0130 11 0.0095 0.0377 0.0235 0.0041 0.0073 0.0150 0.0087 0.0092 0.0134 12 0.0095 0.0377 0.0235 0.0041 0.0074 0.0150 0.0108 0.0107 0.0150
Tableau 6.7 – Écart-type des données réelles des points géoréférencés en utilisant l’incertitude- type fournie par le fabricant dans le modèle mathématique de géoréférencement.
Les valeurs des écarts-types présentés au Tableau6.7sont comparées aux valeurs d’incertitude- type composée présents au Tableau 6.5. Les composantes de l’écart-type de la moyenne du jeu A sont inférieures à 11mm en X, inférieures à 37mm en Y et inférieures à 24mm en Z. Ces valeurs pour les composantes X et Z sont inférieures aux valeurs des incertitudes- types calculées. Cependant, quelques valeurs de la composante Y (points 3, 4, 5 et 7) sont légèrement supérieures aux incertitudes-types composées calculées. Quant aux jeu B et C, toutes les composantes de l’écart-type (X, Y et Z) sont inférieures aux valeurs d’incertitude- type composée calculée. Pour ces jeux, les composantes X et Y de l’écart-type ne dépassent pas 1cm et la composante Z ne dépasse pas 1,5cm.
des données de navigation estimées par POSPac MMS peuvent être observées au Tableau6.8.
Jeu A Jeu B Jeu C
Point ˆσxn (m) ˆσyn (m) ˆσzn(m) ˆσxn (m) ˆσyn (m) ˆσzn(m) ˆσxn (m) ˆσyn (m) ˆσzn(m) 1 0.0097 0.0298 0.0154 0.0052 0.0081 0.0117 0.0089 0.0096 0.0108 2 0.0086 0.0158 0.0083 0.0063 0.0089 0.0114 0.0090 0.0101 0.0112 3 0.0107 0.0368 0.0205 0.0046 0.0079 0.0133 0.0087 0.0098 0.0112 4 0.0107 0.0383 0.0224 0.0050 0.0073 0.0094 0.0085 0.0089 0.0113 5 0.0121 0.0390 0.0236 0.0043 0.0077 0.0125 0.0092 0.0098 0.0123 6 0.0085 0.0156 0.0088 0.0043 0.0077 0.0129 0.0085 0.0096 0.0119 7 0.0112 0.0381 0.0236 0.0041 0.0075 0.0126 0.0088 0.0098 0.0128 8 0.0084 0.0174 0.0110 0.0041 0.0075 0.0131 0.0090 0.0097 0.0129 9 0.0105 0.0386 0.0248 0.0042 0.0074 0.0134 0.0087 0.0095 0.0130 10 0.0103 0.0387 0.0249 0.0041 0.0073 0.0137 0.0089 0.0092 0.0130 11 0.0104 0.0387 0.0258 0.0041 0.0073 0.0148 0.0087 0.0095 0.0134 12 0.0104 0.0387 0.0258 0.0041 0.0074 0.0148 0.0109 0.0110 0.0150
Tableau 6.8 – Écart-type des données réelles des points géoréférencés en utilisant l’incertitude- type fournie par POSPac MMS dans le modèle mathématique de géoréférencement .
Les valeurs des écarts-types présentées au Tableau6.8sont comparées aux valeurs d’incertitude- type composée présentées au Tableau 6.6. Toutes les valeurs des composantes de l’écart-type comparées sont inférieures à celles de l’incertitude-type composée. Pour le jeu A, les valeurs de la composante X ne dépassent pas 11mm, celles de la composante Y ne dépassent pas 39mm et celles de la composante Z ne dépassent pas 26mm. En ce qui concerne les composantes de l’écart-type pour les points du jeu B, les valeurs des composantes X et Y ne dépassent pas 9mm et celles de la composante Z ne dépassent pas 15mm. Pour le jeu C, les valeurs des composantes X et Y ne dépassent pas 11mm et celles de la composante Z ne dépassent pas 15mm.
Il est possible de représenter des ellipsoïdes d’erreurs basées sur la matrice de variance- covariance des données réelles par rapport au point moyen qui permettront d’évaluer la dis- persion des données levées. Les ellipsoïdes qui représentent la dispersion des données pour les points levés et géoréférencés en considérant l’incertitude-type fournies par les spécifications peuvent être montrées à la Figure6.4. Il est important de noter que le facteur d’échelle utilisé pour afficher ces ellipsoïdes, dont l’ordre de grandeur est relativement petit, est de 200. Les ellipsoïdes affichées à la Figure6.4permettent d’observer qu’il n’y a pas nécessairement un alignement de ces ellipsoïdes dans la direction du faisceau laser. En fait, les ellipsoïdes calculés pour les points du jeu A ne sont pas alignés à la direction du faisceau. Dans ce cas, un aligment général des ellipsoïdes est observé, mais avec une direction spécifique. En ce qui concerne les ellipsoïdes du jeu B, elles sont plus allongées dans la direction de l’axe Z. Contrairement à ce qui a été prévu par le calcul de l’incertitude-type composée des données simulées et même l’incertitude-type composée des données réelles, l’écart-type de la moyenne n’a pas une valeur
Figure 6.4 – Ellipsoïdes d’erreurs pour les écart-types des jeux A, B et C (sc=200).
plus élevée sur les points levés à partir des faisceaux rasants. Comme explication, il est possible de dire que les incertitudes-types fournies par les fabricants des capteurs ne répresente pas l’incertitude-type des mesures observées. On observe que les fabricants fournissent une valeur d’incertitude-type plus élevée afin de s’assurer que toutes les observations acquises repecteront cette incertitude. Les ellipsoïdes de ce jeu ont, approximativement, la même taille (Tableau 6.7) et la même orientation que ce soit des points levés à partir de faisceaux perpendiculaires ou rasants. Pour le jeu C, dont les données acquises sont les plus distantes du MX2 et qui ont des angles moins rasants que ceux des jeux A et B, les ellipsoïdes sont orientées dans la même direction que le faisceau. Ceci démontre que l’incertitude de pointage a une influence sur les données acquises à une distance plus élevée et pour des faisceaux plus rasants. Les ellipsoïdes calculés pour les points levés à partir de la matrice de variances-covariances des données réelles en considérant le géoréférencement des points à partir de l’incertitude-type des données de navigation estimées par POSPac MMS sont montrées à la Figure 6.5.
La même analyse effectuée pour les ellipsoïdes montrés à la Figure6.4peut être effectuée pour les ellipsoïdes montrés à la Figure 6.5, puisqu’elles ont, approximativement la même orienta- tion et les mêmes ordres de grandeur. Une analyse peut donc être effectuée en comparant les données des Tableaux6.7et6.8qui contiennent les valeurs requises pour le calcul et l’affichage
Figure 6.5 – Ellipsoïdes d’erreurs pour les écarts-types des jeux A, B et C (sc=200).
de ces ellipsoïdes. Cette comparaison permet de vérifier qu’il n’y a pas une différence supérieure à 1mm entre les écarts-types calculés pour les points géoréférencés avec les incertitudes-types fournies par les spécifications et celles fournies par POSPac MMS. Il est donc possible de conclure que le géoréférencement avec l’une ou l’autre valeur d’incertitude-type des données de navigation a un impact sur les valeurs d’écart-type des coordonnées des points. Cepen- dant, il n’est pas possible d’apporter la même conclusion pour les valeurs d’incertitude-type composée calculées montrées aux Tableaux 6.5 et 6.6, où les valeurs d’incertitude-type des données, fournies par les spécifications des capteurs ou estimées par post-traitement peuvent apporter un important changement de ces valeurs.
Chapitre 7
Analyse des résultats
Le chapitre précédent a permis de présenter les résultats obtenus à partir des données ac- quises avec le MX2. Parmi les résultats, on trouve les coordonnées des points géoréférencés, la valeur d’incertitude-type composée de chaque composante (X, Y et Z) ou coordonnées des points et les écarts-types pour les points levés avec le MX2. Une comparaison entre les diffé- rents résultats obtenus a aussi été présentée. Cependant, une analyse sur la compatibilité des valeurs de l’incertitude-type composée et d’écart-type est nécessaire pour évaluer la fidélité d’acquisition des données par le SLM (MX2). Ce chapitre fournit donc une analyse sur ces valeurs d’incertitudes-types composées et d’écarts-types calculés.
7.1
Analyse par tests statistiques sur la variance
Un des moyens de vérifier statistiquement la qualité des valeurs d’incertitude-type compo- sée calculées par rapport à celles de l’écart-type trouvé pour les points levés par le MX2 est d’effectuer un test statistique sur la variance. Dans le cadre de ce projet de recherche, l’incertitude-type composée élevée au carré représente la valeur de variance calculée (σ2) à
partir des spécifications fournies par les fabricants. La valeur d’écart-type élevée au carré est une estimation de la variance (ˆσ2) des coordonnées calculées à partir des données acquises
par le MX2. Alors, une l’estimation de la variance (σ2) des coordonnées, obtenue avec un
certain dégrée de liberté (ν), σ2 est reliée à la loi de chi deux (χ2) comme montre l’Équation
7.1 (adapté de Cocard, 2016).
ˆσ2
σ2 ∼
χ2
ν (7.1)
Le test unilatéral permettant de vérifier la valeur d’écart-type de la moyenne estimée (ˆσ) en comparaison avec l’incertitude-type composée calculée (σ) est défini par l’Équation7.2(où α est la fonction de probabilité).
P(σ2 > νˆσ
2
χ2ν;1−α) = 1 − α (7.2)
Le test de chi deux décrit aux Équations7.1et7.2permet de vérifier si le résultat obtenu pour la variance ˆσ2 est compatible avec la valeur connue σ2(adapté de Cocard, 2016). Donc ce test
statistique sur les valeurs de variance sera appliqué aux valeurs présentées aux Tableaux 6.5, 6.6, 6.7et 6.8. Les valeurs du Tableau6.7 et du Tableau 6.8 seront vérifiées avec les valeurs présentées au Tableau 6.5 et au Tableau 6.6 respectivement. Le nombre de degrés de liberté (ν) est calculé comme ν = n − 1, où n est le nombre d’observations acquises pour chaque point tel que présenté au Tableau6.1. Ce test statistique dépend donc de la redondance de la prise de mesures.
Pour procéder aux tests statistiques des variances des points, l’équation utilisée provient d’un ré-agencement des Équations 7.1et7.2formant ainsi l’Équation 7.3.
ˆσ2
σ2 ≤
χ2ν
ν (7.3)
L’hypothèse nulle est définie comme H0 : ˆσ2 = σ2 et l’hypothèse alternative comme H1 :
ˆσ2 > σ2. Pour les tests, une valeur de α = 0, 005 est utilisée, c’est-à-dire une fonction
de probabilité de 99,5%. Ce facteur α a été choisi puisque les écarts-types de la moyenne doivent être inférieurs aux valeurs d’incertitude-type composée pour valider le modèle de calcul d’incertitude-type composée développé.
Les résultats des tests statistiques sont rapportés à l’Annexe B. Une première analyse a été effectuée sur les incertitudes-types composées et les écarts-types de la moyenne des points géoréférencés en considérant, pour le calcul de l’incertitude de pointage, les incertitudes-types des données de navigation fournies par les spécifications des capteurs (Tableau 6.5et Tableau 6.7). Dans cette première analyse, les tests statistiques pour les valeurs d’incertitude-type composée des coordonnées X et Z du jeu A et pour toutes les valeurs associées aux coordon- nées X, Y et Z des jeux B et C ont rencontré l’hypothèse H0. C’est-à-dire que la valeur des
écarts-types trouvée pour ces coordonnées est compatible avec l’incertitude-type composée calculée par le modèle mathématique développé. En ce qui concerne les incertitudes-types composées de la coordonnée Y du jeu A, seulement les valeurs des points 3, 4, 5 et 7 ont rejeté H0 et, par conséquent, accepté H1. La valeur des écarts-typesest supérieure aux va-
leurs d’incertitude-type composée calculée pour ces 4 points. Une première remarque est que les incertitudes-types des données de navigation fournies par les fabricants des capteurs uti- lisées pour le calcul de l’incertitude de pointage et pour le géoréférencement de ces points ne montrent pas la qualité avec laquelle les données ont été acquises lors du levé. Cepen- dant, lorsqu’une analyse est effectuée sur les Tableaux 6.5 et 6.7 qui présentent les valeurs d’incertitude-type composée calculée pour les coordonnées des points et l’écart-type de points,
respectivement, on voit que la différence entre les valeurs mentionnées pour les 4 points en question de dépasse pas 4mm, ce qui demeure acceptable.
Une deuxième analyse est effectuée sur le test statistique par rapport aux valeurs des incertitudes- types composées et des écarts-types de la moyenne des points géoréférencés en considérant, pour le calcul de l’incertitude de pointage, les incertitudes-types des données de navigation es- timées par le logiciel de post-traitement POSPac MMS (Tableau 6.6et Tableau6.8). Comme montre les résultats des tests statistiques effectués sur ces données, également présentés à l’Annexe B, les valeurs d’incertitude-type composée des coordonnées X, Y et Z des jeux A, B et C rencontrent toutes l’hypothèse H0. C’est-à-dire, toutes les valeurs d’écart-type
de la moyenne estimées pour ces coordonnées sont inférieures aux valeurs d’incertitude-type composée calculées par le modèle développé.