G ´eom´etrie 2
R. Taillefer
Universit´e Jean Monnet
Licence de Math´ematiques 2007-2008 Semestre 4
Table des mati`eres
Formes bilin´eaires et sesquilin´eaires
I Formes bilin´eaires sym´etriques
SoitKun corps arbitraire dans lequel 2 est inversible. SoitEun espace vectoriel surKde dimen- sion finien>1.
A G´en´eralit´es
A.1 Formes bilin´eaires sym´etriques
D´efinition A.1. Une forme bilin´eaire sym´etrique sur E est une application f :E×E→Ktelle que : (i) f(λu+µv,w) =λf(u,w) +µf(v,w)pour tous u,v,w ∈ E et tousλ,µ ∈ K;cela signifie que f est
lin´eaire en la premi`ere variable.
(ii) f(v,u) = f(u,v).
Remarque A.2. Ces deux propri´et´es impliquent la propri´et´e suivante : (iii) f(u,λv+µw) =λf(u,w) +µf(u,v)
En effet, f(u,λv+µw) = f(λv+µw,u) =λf(v,u) +µf(w,u) =λf(u,v) +µf(u,w). Exemples A.3. • Soit E = R2 et f(u,v) = u1v1+u2v2 o `u u =
u1 u2
et v = v1
v2
. C’est le produit scalaire usuel surR2. On le note parfoisu·v.
• SoitE=R4et soitf(u,v) =u1v1+u2v2+u3v3−c2u4v4o `ucest une constante,u=t(u1,u2,u3,u4) et v = t(v1,v2,v3,v4). (Si cest la vitesse de la lumi`ere, cette forme bilin´eaire sym´etrique joue un r ˆole important en th´eorie de la relativit´e).
• Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n−1, et soit f(p,q) =R1
−1p(t)q(t)dt. C’est une forme bilin´eaire sym´etrique.
D´efinition A.4. Soit f une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.On lui associe l’application lin´eaire θf : E → E∗
u 7→ f(u,·),
c’est-`a-dire que pour chaque u∈ E,θf(u)est une forme lin´eaire sur E qui associe `a v∈ E le scalaire f(u,v). On appelle rang de f le rang de l’application lin´eaireθf.
Si le rang de f est ´egal `a n, on dit que f est non d´eg´en´er´ee.
Remarque A.5. Grˆace au th´eor`eme du rang et au fait que dimE∗ = dimE, on voit que f est non d´eg´en´er´ee si et seulement siθf est injective, ce qui est ´equivalent `a dire queθf est un isomorphisme.
Fixons une baseB ={e1, . . . ,en}deE.
D´efinition A.6. Consid´erons la matrice A= (aij)16i,j6nde taille n×n d´efinie de la fa¸con suivante : aij = f(ei,ej), 16i,j6n.
On l’appelle la matrice de f dans la baseB.
Remarque A.7. Notons que la matrice de f dans la baseBest ´egale `a la matrice deθf dans les bases BetB∗, o `uB∗est la base duale deB. En effet,θf(ej) =∑ni=1θf(ej)(ei)e∗i =∑ni=1 f(ei,ej)e∗i.
En particulier, le rang de f est ´egal au rang de sa matrice.
Propri´et´es A.8. On constate les propri´et´es imm´ediates suivantes :
(i) La matrice A est sym´etrique, c’est-`a-dire que la transpos´ee tA est ´egale `a A. Nous noterons Symn(K)l’espace vectoriel des matrices sym´etriquesn×n `a coefficients dansK.
(ii) Fixons une base B = {e1, . . . ,en}de E. Soientu = ∑in=1xiei et v = ∑ni=1yiei. Alors f(u,v) =
∑16i,j6naijxiyj. Autrement dit, se donner f ´equivaut `a se donner une fonction polyn ˆome sym´etrique homog`ene de degr´e 2 en lesxietyj.
On peut r´e´ecrire cela matriciellement sous la forme :
f(u,v) =tXAY (A.1)
o `uX=
x1
... xn
etY=
y1
... yn
.
(iii) SoitA∈ Symn(K). AlorsAd´efinit une forme bilin´eaire surKn(ou surEen fixant une base de E) par la formule (??).
Finalement, se donner une forme bilin´eaire sym´etrique revient `a se donner une matrice sym´etrique.
Que se passe-t-il si nous changeons de base ? SoitB0 ={e01, . . . ,e0n}une autre base deE, et posons : a0ij = f(e0i,e0j). Soit A0 la matrice dont les coefficients sont les a0ij, et notons u = ∑ni=1xi0e0i et v =
∑ni=1y0ie0i. Ces vecteurs ont maintenant pour vecteurs colonne X0 =
x01
... x0n
etY0 =
y01
... y0n
. On a donc
f(u,v) =tX0A0Y0. (A.2)
SoitPla matrice de passage de la baseB `a la baseB0, doncPest une matricen×ninversible telle queX= PX0etY = PY0. En reportant dans (??), on obtient f(u,v) = tX0tPAPY0, et en comparant `a (??) on obtient
A0 = tPAP.
D´efinition A.9. Soient A et A0 appartenant `a Symn(K). On dit que A0 est congruente `a A s’il existe une matrice inversible P telle que A0 =tPAP.
Remarque A.10. La relation de congruence est une relation d’´equivalence dansSymn(K): (i) Aest congruente `a elle-mˆeme : prendreP= In.
(ii) Si A0 est congruente `a A, alors A est congruente `a A0, car si A0 = tPAP, on a bien A = t(P−1)A0P−1.
(iii) SiA0 est congruente `a Aet si A00 est congruente `a A0, alors A00 est congruente `a A; en effet, si A0 =tPAPet siA00 =tQA0Q, alorsA00 =t(PQ)A(PQ).
Remarque A.11. Si A et A0 sont congruentes, alors elles ont le mˆeme rang. Le rang est donc un invariant pour la relation de congruence.
Le rang suffit-il `a d´ecrire l’ensemble des classes de congruence ? On verra plus tard que la r´eponse est OUI siK=Cet NON siK=R.
A.2 Formes quadratiques, forme quadratique associ´ee `a une forme bilin´eaire sym´etrique D´efinition A.12. Une forme quadratique sur E est une application q:E→Kv´erifiant :
(i) ∀λ∈K,∀u∈E,q(λu) =λ2q(u), (ii) l’application
fq:E×E → K
(u,v) 7→ 12(q(u+v)−q(u)−q(v)) est une forme bilin´eaire sym´etrique.
fqs’appelle la forme polaire de q.
Exemple A.13. On pose E= R2etq(u) = u21+u22pour toutu = u1
u2
∈ E; alorsqest une forme quadratique.
D´efinition-Proposition A.14. Soit f une forme bilin´eaire sym´etrique surE. L’applicationqf :E → Kd´efinie par
∀u∈E, qf(u) = f(u,u)
est une forme quadratique, qui s’appelle laforme quadratique associ´ee `a f.
D´emonstration. Soientλ∈ Ketu∈ E. Alorsq(λu) = f(λu,λu) =λ2f(u,u) =λ2q(u). D’autre part, calculons la forme polaire deq:
2fq(u,v) = f(u+v,u+v)− f(u,u)− f(v,v)
= f(u,u) + f(u,v) + f(v,u) + f(v,v)− f(u,u)− f(v,v)
=2f(u,v)
donc fq = f est une forme bilin´eaire sym´etrique.
Proposition A.15. Se donner une forme quadratique ´equivaut `a se donner une forme bilin´eaire sym´etrique, c’est-`a-dire que l’on a une bijection :
{formes bilin´eaires sym´etriques} ←→ {formes quadratiques}
f 7→ qf
fq ←[ q
Comment s’exprime une forme quadratique si l’on fixe une base ?
SoitB ={e1, . . . ,en}une base deE, et soitAla matrice de f dans la baseB. Siu=∑ni=1xiei, alors q(u) = f(u,u) =
∑
i,j
aijxixj =
∑
n i=1aiix2i +2
∑
i<j
aijxixj.
On remarque que si A est diagonale, alors q(u) = ∑in=1aiix2i est une combinaison lin´eaire de carr´es, d’o `u le nom de forme quadratique. Nous allons voir (th´eor`eme??et les remarques qui suivent) que, moyennant un changement de base, on peut toujours se ramener `a ce cas.
A.3 Formes quadratiques et orthogonalit´e
D´efinition A.16. Soit q une forme quadratique associ´ee `a une forme bilin´eaire sym´etrique f sur E.On appelle noyau de q le noyau de l’applicationθf.Il s’agit donc de l’ensemble
E⊥q :={x∈E | ∀y∈ E, f(x,y) =0}. On le note E⊥lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e.
On remarque que q est non d´eg´en´er´ee si et seulement si son noyau est{0}(th´eor`eme du rang).
D´efinition A.17. Soit f une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.On dit que deux ´el´ements x et y de E sont orthogonaux (pour f ) si f(x,y) =0.
Si H est une partie de E,l’orthogonal de H (pour f ) est le sous-ensemble H⊥f := {x∈ E | ∀y∈ H, f(x,y) =0}. On le note H⊥lorsqu’il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e.
Remarque A.18. Supposons queHsoit un sous-espace vectoriel. Consid´erons l’application lin´eaire θHf :E → H∗
u 7→ θf(u)|H.
L’orthogonal deHest le noyau deθHf . En effet, identifions le noyau deθHf : un vecteuru∈Eest dans KerθHf si et seulement siθf(u)(v) =0 pour toutv∈ H. Doncu∈Kerθf si et seulement si f(u,v) =0 pour toutv∈ H. Par d´efinition, c’est ´equivalent `a dire queuappartient `aH⊥. Donc KerθHf =H⊥. Remarque A.19. SoitHun sous-espace vectoriel deEet soit{e1, . . . ,er}une base deH. Alors
H⊥={x∈ E | ∀i=1, . . .r, f(x,ei) =0}.
Proposition A.20. Soit f une forme bilin´eaire sym´etrique surEet soitHune partie deE. Alors : (i) H⊥est un sous-espace vectoriel deE.
(ii) SiH ⊆K, alorsK⊥⊆ H⊥.
(iii) SiHest unsous-espace vectorieldeE, et si f est non d´eg´en´er´ee, alors dimH+dimH⊥ =dimE et(H⊥)⊥= H.
D´emonstration. (TD)
Remarque A.21. H⊥ =vect(H)⊥. (TD).
D´efinition A.22. Soit f une forme bilin´eaire sym´etrique sur E.On dit qu’une famille {e1, . . . ,er}de E est orthogonale pour f (ou pour la forme quadratique associ´ee q) si f(ei,ej) =0d`es que i6=j.
On dit que la famille {e1, . . . ,er}est orthonormale pour f (ou pour q) si elle est orthogonale pour f et si f(ei,ei) =1pour tout i=1, . . . ,r.
Remarque A.23. Si B est une base orthogonale pour f, alors la matrice de f dans la base B est diagonale.
SiBest orthonormale pour f, alors la matrice de f dans la baseBestIn.
Th´eor`eme A.24. SoitEun espace vectoriel de dimension finie surK. Alors il existe des bases or- thogonales pour toute forme bilin´eaire sym´etrique surE.
Matriciellement, cela signifie que pourA∈ Symn(K), il existeP∈GLn(K)telle quetPAP= Dest diagonale de la forme
D=
α1
. .. 0
αr 0
0 . ..
0
avecα16=0, . . . ,αr 6=0. N´ecessairement,rest ´egal au rang deA.
Remarque A.25. Il n’existe pas n´ecessairement de base orthonormale pour f.
D´emonstration. Soitfune forme bilin´eaire sym´etrique surE. On veut trouver une baseB ={e1, . . . ,en} telle que f(ei,ej) =0 sii6= j. On raisonne par r´ecurrence surn.
Sin =1, il n’y a rien a d´emontrer, puisque toute base est orthogonale et tout vecteur non nul est un vecteur propre.
Supposons donc que pour tout espace vectoriel de dimension inf´erieure ou ´egale `an−1 et pour toute forme bilin´eaire sym´etrique sur cet espace vectoriel il existe une base orthogonale.
SoitEun espace vectoriel de dimensionnet soit f une forme bilin´eaire sym´etrique surE.
Si f =0, alors toute base est orthogonale.
Si f 6= 0, alors il existe e1 ∈ E tel que f(e1,e1) 6= 0 (en effet, si f(x,x) = 0 pour tout x ∈ E, alors f(x,y) = 12(f(x+y,x+y)− f(x,x)− f(y,y)) =0 pour toutx,y ∈ E, et donc f = 0). Posons H=vect(e1), et montrons queE= H⊕H⊥ :
• H∩H⊥ ={0}: en effet, soitu∈ H∩H⊥;u=λe1pour unλ∈K, donc f(u,u) =λ2f(e1,e1); mais aussi f(u,u) =0 puisqueu∈ H⊥, ce qui implique queλ=0 et doncu=0.
• dimH+dimH⊥= dimE: consid´eronsθHf :E→ H∗. On sait que H⊥ =KerθHf . Donc dimH⊥= dimE−dim ImθHf par le th´eor`eme du rang. D´eterminons donc dim ImθHf : on sait d´ej`a que dim ImθHf 6 dimH∗ = dimH = 1. De plus, θHf (e1)(e1) = f(e1,e1) 6= 0, donc θHf n’est pas l’ap- plication lin´eaire nulle. Donc dim ImθHf > 1. On en d´eduit donc que dimH⊥ = dimE−1 = dimE−dimH.
On a donc dimH⊥ =n−1.
On d´efinit une forme bilin´eaire sym´etriquegsurH⊥en posantg(u,v) = f(u,v)pour tousu,v∈ H⊥.
Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une base orthogonale{e2, . . . ,en}deH⊥orthogonale pour g. Il est clair que{e1,e2, . . . ,en}est une base deE. Il reste a v´erifier qu’elle est bien orthogonale pour f :
• Si 26i6n, on aei ∈ H⊥, donc f(e1,ei) =0= f(ei,e1).
• Si 26i6= j6n, on a f(ei,ej) =g(ei,ej) =0 par construction.
Remarque A.26. Pour la forme quadratiqueqassoci´ee `a f, le th´eor`eme se traduit par le fait queq(u) est une combinaison lin´eaire de carr´es.
Comment fait-on dans la pratique pour exprimerq(u)comme une combinaison lin´eaire de carr´es ? Une m´ethode algorithmique est donn´ee par lam´ethode de Gausssuivante : soit `a r´eduire la forme qua- dratiqueqd´efinie surEpar :
q(u) =
∑
n i=1aiix2i +2
∑
1≤i<j≤n
aijxixj. On suit alors pas `a pas l’algorithme suivant :
1 On prend un terme enx2i (avec un coefficient le plus simple possible afin d’all´eger les calculs) et on consid`ere tous les termes contenantxi que l’on ´ecrit comme le d´ebut du d´eveloppement d’un carr´e. On poursuit cette ´etape jusqu’`a ´epuisement des termes enx2i. Il y a alors deux possibilit´es : soit le probl`eme est r´esolu et c’est termin´e, soit ce n’est pas le cas et on passe `a l’´etape 2.
2 S’il n’y a pas (ou plus) de termes enx2i, on consid`ere un terme ”simple” enxixjet on ´ecrit tous les termes sous la forme :
λxixj+xiR+xjS=λ(xi+ S λ)
| {z }
a
(xj+ R λ)
| {z }
b
−RS λ
et on utilise le fait queab= 14(a+b)2−(a−b)2. Ensuite, on reprend la m´ethode `a partir de l’´etape 1.
Exemple A.27. SoitE =R4et soitq(u) =x21+x22+x24+2x1x2+2x2x3+2x4x1−x3x4. On est dans le premier cas, avec le coefficient dex21non nul. Donc
q(u) = x21+2x1(x2+x4) +x22+x24+2x2x3−x3x4
= (x1+x2+x4)2−(x2+x4)2+x22+x42+2x2x3−x3x4
= (x1+x2+x4)2+2x2x3−2x2x4−x3x4.
La forme quadratique qui reste ne contient plus de carr´es, on passe donc `a la deuxi`eme ´etape : q(u) = (x1+x2+x4)2−x3x4+x3(2x2)−x4(2x2)
= (x1+x2+x4)2+ (x3+2x2)(−x4+2x2)−4x22
= (x1+x2+x4)2+14(4x2+x3−x4)2−14(x3+x4)2−4x22.
B R´eduction sur un corps arbitraire, sur C , sur R .
On cherche `a classifier les formes bilin´eaires sym´etriques `a congruence pr`es (la congruence ´etant celle des matrices correspondantes).
Nous avons d´ej`a vu une premi`ere r´eduction dans le th´eor`eme ??. Mais lorsque l’on choisit des corps plus particuliers, on peut en dire plus.
Th´eor`eme B.1. Supposons que tout ´el´ement de K ait une racine carr´ee dans K (c’est le cas par exemple si K = C). Soit f une forme bilin´eaire sym´etrique sur E sur K. Alors il existe une base (n´ecessairement orthogonale pour f) deEdans laquelle la matrice associ´ee `a f est ´egale `a
Ir 0 0 0
.
En particulier, deux matrices Aet A0 dansSymn(K)sont congruentes si et seulement si elles ont mˆeme rang. Il y a doncn+1 classes de congruence.
D´emonstration. Soit{e1, . . . ,en}une base dans laquelle la matrice de la forme bilin´eaire sym´etrique f est de la forme
D=
α1
. .. 0
αr 0
0 . ..
0
avecα16=0, . . . ,αr 6=0 (th´eor`eme??). Pour chaqueαi, il existe par hypoth`eseβi ∈ Ktel queβ2i = αi. Posonsεi =
(
β−i 1ei sii6r ei sii>r.
Alors{ε1, . . . ,εn}est une base de E. De plus, f(εi,εj)est un multiple de f(ei,ej), donc la matrice associ´ee `a f dans cette nouvelle base est encore diagonale. De plus, sii>r, on a f(εi,εi) = f(ei,ei) = 0, et sii6ron a f(εi,εi) =β−i 2f(ei,ei) =α−i 1αi =1. Donc la matrice est bien celle requise.
Nous savons que deux matrices congruentes ont mˆeme rang. Supposons donc que AetA0 soient deux matrices sym´etriques ayant le mˆeme rang,r. AlorsAest congruente `a
Ir 0 0 0
etA0 est congruente `a
Ir 0 0 0
, donc par transitivit´e,Aest congruente `aA0.
Il y a donc autant de classes de congruence que de valeurs possibles pour le rang, 06r 6n.
Th´eor`eme B.2. (Loi d’inertie de Sylvester)Supposons queK = R. Soitqune forme quadratique de rangr. Alors il existe un entiersavec 06s6ret une base{e1, . . . ,en}tels que :
q(u) =x21+. . .+x2s−x2s+1−. . .−x2r, avecu=∑ni=1xiei, (B.1) o `u l’entiersne d´epend pas de la base{e1, . . . ,en}choisie.
Le couple(s,r−s)s’appelle lasignaturedeq(ou de f, ou de la matriceA).
Autrement dit, toute matriceA∈ Symn(R)de signature(s,t)avecs,t>0 est congruente `a
Is 0 0 0 −It 0
0 0 0
.
En particulier, deux matrices A et A0 dansSymn(R)sont congruentes si et seulement si elles ont mˆeme signature. Il y a donc (n+1)(2n+2) classes de congruence.
D´emonstration. On raisonne de mani`ere similaire au th´eor`eme pr´ec´edent.
Quitte `a r´eordonner la base, nous pouvons supposer queαi >0 pour 1 6i6 s, queαi <0 pour s <i6ret queαi =0 pouri>r. Pour touti6r, il existeβi ∈Rtel queβ2i = |αi|. La d´emonstration de l’existence d’une matrice de la forme requise se termine comme dans le cas pr´ec´edent.
Il nous faut donc montrer l’ind´ependance de s du choix de la base. Remarquons que dans la construction ci-dessus,s=#{ei | q(ei)>0}.
Supposons que l’on puisse ´ecrire q(u) = ∑si=0 1x2i −∑ri=s0+1x2i, dans une base orthogonaleB0 = {e01, . . . ,e0n}. On a alorss0 =#{e0i | q(e0i)>0}. Posons
F=vect{e1, . . . ,es}, G=vect{es+1, . . . ,en} F0 =vect
e10, . . . ,e0s , G0 =vect
e0s+1, . . . ,e0n . AlorsE= F⊕GetE=F0⊕G0.
Supposons maintenant que u ∈ F∩G0. Alors, si u 6= 0, comme u ∈ F on aq(u) > 0. D’autre part, puisque u ∈ G0, on a q(u) 6 0. Donc on obtient une contradiction, et F∩G0 = {0}. Donc F+G0 = F⊕G0, et
dim(F⊕G0) =dimF+dimG0 =s+ (n−s0) et ceci doit ˆetre inf´erieur `an, doncs6s0.
De mˆeme, en consid´erantF0 etG, on montre ques06s, et doncs0 =s.
Le nombre de classes de congruence est donc le nombre de signatures, ce qui est ´egal au cardinal de l’ensemble
(r,s)∈N2 | 06r6n, 06s 6r , qui est (n+1)(2n+2).
Remarque B.3. Apr`es avoir effectu´e la r´eduction de Gauss sur une forme quadratique, la signature de la forme quadratique est (nombre de carr´es `a coefficients strictements positifs, nombre de carr´es `a coefficients strictement n´egatifs).
D´efinition B.4. La forme bilin´eaire sym´etrique f : E×E → R(ou la forme quadratique q, ou la matrice sym´etrique A) est dite d´efinie positive si r= s=n.
Remarque B.5. Une forme quadratiqueqest d´efinie positive si et seulement siq(u) > 0 pour tout u6=0 :
• Supposons queqsoit d´efinie positive. Alors il existe une base{e1, . . . ,en}dans laquelle la matrice associ´ee `aqest In. Donc siu=∑ixiei 6=0, on aq(u) =∑iq(ei)x2i =∑ni=1x2i >0.
• R´eciproquement, soit{e1, . . . ,en}une base dans laquelle la matrice associ´ee `aqest de la forme
D=
α1
. .. 0
αr 0 . ..
αn
avecαi ∈K. Par hypoth`ese,αi =q(ei)>0 pour touti, donc on peut multiplier chaque ´el´ement de la base par un scalaire pour obtenir une base dans laquelle la matrice associ´ee `aqestIn.
Remarque B.6. Une matrice A ∈ Mn(R)est sym´etrique d´efinie positive si et seulement s’il existe P∈GLn(R)telle que A= tPP.
Remarque B.7. SiK=Q, le probl`eme est beaucoup plus compliqu´e. Il y a une infinit´e d´enombrable de classes de congruence dansSymn(Q). (c.f.[J.P. Serre, Cours d’arithm´etique]).
C Espaces vectoriels euclidiens, endomorphismes sym´etriques, orthogonaux
C.1 G´en´eralit´es sur les espaces euclidiens
D´efinition C.1. Soit E un espace vectoriel surR. Un produit scalaire sur E est une forme bilin´eaire sym´etrique dont la forme quadratique associ´ee est d´efinie positive sur E.
Autrement dit, f : E×E→Rv´erifie : (i) f(u+λv,w) = f(u,w) +λf(v,w) (ii) f(v,u) = f(u,v)
(iii) f(u,u)>0si u6=0
pour tous u,v,w∈ E et toutλ∈R.
On notera le produit scalaire de la fa¸con suivante : f(u,v) =hu,vi.
D´efinition C.2. Un espace euclidien est un couple(E,f)o `u E est unR-espace vectoriel de dimension finie n>1et o `u f est un produit scalaire sur E.
Remarque C.3. On ahu,ui=0 ⇐⇒ u =0.
Exemples C.4. • SurRn, on a le produit scalaire usuel oucanonique:hu,vi=u·v =∑ni=1uivi. C’est l’unique produit scalaire d´efini surRnpour lequel la base canonique est orthonormale. L’espace Rnmuni de ce produit scalaire est appel´eespace euclidien canonique.(Laiss´e en exercice).
• Sur l’espace vectoriel des matricesn×nsym´etriques,hA,Bi=tr(AB)est un produit scalaire. (TD)
• Sur l’espace vectoriel des polyn ˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur `an−1,hp,qi= R1
0 p(t)q(t)dt est un produit scalaire. (c.f.TD)
D´efinition-Proposition C.5. On posekuk=phu,uipour toutu ∈E.
L’applicationk·k:E→Rest alors unenormesurE, c’est-`a-dire qu’elle v´erifie, pour tousu,v∈ E: (i) kuk>0
(ii) kuk=0 ⇐⇒ u =0 (iii) kλuk= |λ| · kuk
(iv) ku+vk6kuk+kvk(in´egalit´e triangulaire).
k·kest appel´ee lanorme euclidiennedeE.
D´emonstration. Les trois premi`eres propri´et´es sont faciles `a v´erifier. Pour l’in´egalit´e triangulaire, on utilise l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz qui suit.
Proposition C.6. (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz)Soit(E,h,i)un espace euclidien. Alors, pour tous u,v∈E, on a
|hu,vi|6kuk kvk.
De plus, cette in´egalit´e devient une ´egalit´e si et seulement siuetvsont colin´eaires.
D´emonstration. Soitλ∈R. Alors :
06hu+λv,u+λvi
=kuk2+λhu,vi+λhv,ui+λ2kvk2
=kuk2+2hu,viλ+kvk2λ2. (C.1) Il s’agit d’un polyn ˆome enλdu second degr´e qui est toujours positif, donc son discriminant doit ˆetre n´egatif (pas de changement de signe, donc pas de racines distinctes). Ainsihu,vi2− kuk2kvk260 et le r´esultat suit.
Maintenant supposons que l’on ait ´egalit´e dans l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz. Alors le discri- minant est nul, c’est-`a-dire que le polyn ˆome (??) poss`ede une racine, disons λ0. En remontant les
´egalit´es, on voit queku+λ0vk=0, ce qui implique queu+λ0v=0 et doncuetvsont colin´eaires.
Siuetvsont colin´eaires, il est clair que l’on a ´egalit´e.
D´emonstration de l’in´egalit´e triangulaire :On applique l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour obtenir : ku+vk2 =kuk2+2hu,vi+kvk2 6kuk2+2kuk kvk+kvk2= (kuk+kvk)2.
Exemples C.7. En appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a des produits scalaires classiques, nous pouvons obtenir des in´egalit´es int´eressantes :
(i) SiE=Rnmuni du produit scalaire usuel,u∈ Eetv=t(1, . . . , 1), alors
∑
n i=1xi
!2
6n
∑
n i=1x2i.
(ii) Si E est l’espace des polyn ˆomes de degr´e au plus n−1 muni du produit scalaire d´efini par hp,qi=R1
−1p(t)q(t)dt, sip ∈Eet siq≡1, alors Z 1
−1p(t)dt 2
62
Z 1
−1p(t)2dt.
On v´erifie facilement :
Propri´et´es C.8. (i) hu,vi= 12[ku+vk2− kuk2− kvk2](polarisation)
(ii) ku+vk2+ku−vk2=2(kuk2+kvk2)(identit´e du parall´elogramme) D´emonstration. (i)
ku+vk2− kuk2− kvk2 =hu+v,u+vi − hu,ui − hv,vi
=hu,ui+hu,vi+hv,ui+hv,vi − hu,ui − hv,vi
=2hu,vi
Un produit scalaire permet aussi de d´efinir des angles : si u et v sont des ´el´ements non nuls d’un espace euclidien, alors on sait d’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz que− kuk kvk6hu,vi6 kuk kvk. Commeuetvsont non nuls, on sait que leurs normes sont non nulles, et on a donc
−16 hu,vi kuk kvk 61.
Il existe donc un uniqueθ ∈[0,π]tel que khuu,vkkvik =cosθ.
Cela d´efinit donc une notion d’angle, non orient´e, en g´eom´etrie euclidienne (notons que l’angle entreuetvest ´egal `a l’angle entrevetu).
C.2 Compl´ements sur les bases orthogonales
Proposition C.9. (Th´eor`eme de Pythagore) Soient u et v deux ´el´ements d’un espace euclidien (E,h,i). Alorsuetvsont orthogonaux (pourh,i) si et seulement siku+vk2 =kuk2+kvk2.
D´emonstration. Claire
Remarque C.10. Si{e1, . . . ,er}est une famille orthogonale de vecteursnon nuls,alors elle est libre.
En effet, supposons qu’il existe une combinaison lin´eaire triviale∑ni=1λiei = 0 avecλi ∈ R. Fixons un indicejet prenons le produit scalaire avecej :
0=h0,eji=h
∑
n i=1λiei,eji=
∑
n i=1λihei,eji=λj ej
2.
Commeejest non nul, sa norme est non nulle, doncλj =0. Ceci est vrai pour toutj, donc les vecteurs sont lin´eairement ind´ependants.
Ainsi, pour affirmer qu’une famille orthogonale de vecteurs non nuls est une base orthogonale deE, il suffit qu’elle aitn=dimE´el´ements.
Remarque C.11. Si{e1, . . . ,er}est une famille orthogonale de vecteursnon nuls,alorsn
e1
ke1k, . . . ,keer
rk
o est une famille orthonormale.
En particulier, il existe toujours des bases orthonormales dans un espace euclidien.
Remarque C.12. Si{e1, . . . ,en}est une base orthonormale deE, alors pour toutu∈Eon a : u =
∑
n i=1hu,eiiei.
En effet, posonsv = u−∑ni=1hu,eiiei. Alors pour tout javec 1 6 j 6 n, on a hv,eji = hu,eji −
∑ni=1hu,eiihei,eji = hu,eji − hu,eji = 0. On en d´eduit donc que hv,wi = 0 pour tout w ∈ E, et en particulier quehv,vi=0, donc quev=0.
C.3 Adjoint d’un endomorphisme
Soit(E,h,i)un espace euclidien. Nous avons rencontr´e l’application lin´eaire θ: E → E∗
u 7→ θ(u) =hu,·i
(dans le cas d’une forme bilin´eaire sym´etrique g´en´erale). De plus, dans le cas pr´esent o `u la forme bilin´eaire sym´etrique est non d´eg´en´er´ee,θest un isomorphisme.
En particulier, pour toute forme lin´eaire ϕdans E∗, il existe un uniqueu ∈ Etel que ϕ = θ(u), c’est-`a-dire tel queϕ(v) =hu,vipour toutv∈ E.
Soit maintenantψun endomorphisme deE. Alors l’applicationhu,ψ(·)iest une forme lin´eaire. Il existe donc pour chaqueu∈ Eun uniqueuψ ∈Etel quehu,ψ(v)i=huψ,vipour toutv∈E. Notons uψ = ψ∗(u). Nous allons montrer que ψ∗ est un endomorphisme lin´eaire de E, et que c’est le seul endomorphisme lin´eaire deEv´erifiant
∀u,v∈ E, hu,ψ(v)i=hψ∗(u),vi. (C.2) Montrons d’abord la lin´earit´e. Soientu,v∈Eet soitλ∈R. Alors, pour toutw∈ E, nous avons
hψ∗(u+λv),wi=hu+λv,ψ(w)i
=hu,ψ(w)i+λhv,ψ(w)i
=hψ∗(u),wi+λhψ∗(v),wi
=hψ∗(u) +λψ∗(v),wi
On en d´eduit que le vecteur ψ∗(u+λv)−[ψ∗(u) +λψ∗(v)] est dans le noyauE⊥ = Kerθ, qui est nul. Doncψ∗(u+λv) =ψ∗(u) +λψ∗(v).
Pour l’unicit´e, supposons qu’il existe une application lin´eaire ψe : E → E telle que ∀u,v ∈ E, hu,ψ(v)i= hψe(u),vi. Nous savons d´ej`a queψ∗satisfait `a (??).
Alors, pour tousu,v∈ E, nous avons :
hψ∗(u)−ψe(u),vi=hψ∗(u),vi − hψe(u),vi
=hu,ψ(v)i − hu,ψ(v)i
=0
Ainsiψ∗(u)−ψe(u)est dans le noyauE⊥ pour toutu, doncψ∗(u)−ψe(u) = 0 pour toutu ∈ E, et finalementψe=ψ∗.
D´efinition-Proposition C.13. Soit(E,h,i)un espace euclidien et soitψun endomorphisme de E.
Alors il existe un unique endomorphismeψ∗deEtel que
∀u,v∈ E, hu,ψ(v)i= hψ∗(u),vi. L’endomorphismeψ∗est appel´eendomorphisme adjointdeψ.
Propri´et´es C.14. Soit(E,h,i)un espace euclidien et soitψun endomorphisme deE. Alors :
(i) SiB est une base orthonormale deE, alors la matrice deψ∗dans la baseB est ´egale `a la trans- pos´ee de la matrice deψdans la baseB.
(ii) (λψ+µχ)∗ =λψ∗+µχ∗pour des endomorphismesψetχet des scalairesλ,µ.
(iii) (ψ∗)∗ =ψ.
(iv) (ψ◦χ)∗ =χ∗◦ψ∗.
(v) ∀u,v∈ E, hψ(u),vi=hu,ψ∗(v)i. D´emonstration. Exercice (TD)
C.4 Isom´etries d’un espace euclidien
D´efinition C.15. Soient (E,h,iE) et (E0,h,iE0) deux espaces euclidiens. Une isom´etrie de (E,h,iE) dans (E0,h,iE0)est une application lin´eaireΦ: E→E0 v´erifiant :
∀u∈ E, kΦ(u)kE0 =kukE Si E= E0,on appelle aussiΦun endomorphisme orthogonal de E.
Remarque C.16. Par d´efinition, une isom´etrie est une application lin´eaire qui pr´eserve les distances (normes). C’est ´egalement une application lin´eaire qui pr´eserve les angles : une application lin´eaire Φ:E→ E0est une isom´etrie si et seulement sihΦ(u),Φ(v)iE0 =hu,viE pour tousu,v ∈E.
En effet, supposons queΦpr´eserve les angles. Alors kΦ(u)k=
q
hΦ(u),Φ(u)i= q
hu,ui=kuk pour toutu∈ E.
R´eciproquement, supposons queΦpr´eserve les normes. Alors
2hΦ(u),Φ(v)i= kΦ(u+v)k2− kΦ(u)k2− kΦ(v)k2=ku+vk2− kuk2− kvk2 =2hu,vi. Proposition C.17. SoitΦune isom´etrie de(E,h,iE)dans(E0,h,iE0). AlorsΦest injective. En parti- culier, siΦest une isom´etrie de(E,h,iE)dans(E,h,iE)(on dit queΦest une isom´etrie deE), alors elle est bijective.
D´emonstration. Si u ∈ Eest tel queΦ(u) = 0, alorskuk = kΦ(u)k= k0k= 0, doncu = 0. Ainsi le noyau deΦest nul.
La fin d´ecoule du th´eor`eme du rang.
Th´eor`eme C.18. Tout espace euclidien de dimension nest isom´etrique `a l’espace euclidien cano- niqueRn(c’est-`a-dire qu’il existe une isom´etrie (bijective) entre les deux).
D´emonstration. Soit (E,h,i)un espace euclidien, et soit B = {e1, . . . ,en}une base orthonormale de E. Soit{ε1, . . . ,εn}la base canonique deRn(o `uεi est le vecteur colonne qui a un 1 `a lai`emeplace et des 0 ailleurs). On d´efinit un isomorphismeΦ: E →Rnen posantΦ(ei) =εiet en prolongeant par lin´earit´e. Il faut montrer que c’est une isom´etrie. Soit doncu= ∑ni=1xiei; on a
kΦ(u)k2Rn =hΦ(u),Φ(u)iRn = h
∑
n i=1xiεi,
∑
n j=1xjεjiRn =
∑
n i=1∑
n j=1xixjhεi,εjiRn =
∑
n i=1x2i
d’une part, et
kuk2E =hu,uiE =h
∑
n i=1xiei,
∑
n j=1xjejiE =
∑
n i=1∑
n j=1xixjhei,ejiE =
∑
n i=1x2i d’autre part, d’o `u l’´egalit´ekΦ(u)kRn =kukE.
Propri´et´es C.19. Soit(E,h,i)un espace euclidien.
(i) SoitΦune isom´etrie deE. AlorsΦ−1est une isom´etrie deE.
(ii) SiΦetΨsont des isom´etries deEalorsΨ◦Φest une isom´etrie deE.
(iii) idEest une isom´etrie deE.
D´emonstration. Exercice (TD).
Nous avons donc :
D´efinition-Proposition C.20. L’ensemble des isom´etries de l’espace euclidien(E,h,iE)est un sous- groupe de GL(E). On l’appelle legroupe orthogonalet on le note O(E).
L’ensemble des isom´etries de Edont le d´eterminant est positif est ´egalement un sous-groupe de GL(E). On l’appelle legroupe sp´ecial orthogonalet on le note SO(E).
SiE = Rnmuni de sa structure canonique d’espace euclidien, on note O(E) = On(R)et SO(E) = SOn(R).
D´emonstration. Pour terminer la d´emonstration, il suffit de remarquer que le d´eterminant est multi- plicatif (c’est-`a-dire que det(Ψ◦Φ) =detΨdetΦ) et on en d´eduit facilement que la propri´et´e d’avoir un d´eterminant positif est conserv´ee par toutes les op´erations dans un sous-groupe de GL(E).
Proposition C.21. Soit(E,h,i)un espace euclidien et soitΦ:E→Eune application lin´eaire. Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) Φest une isom´etrie.
(ii) Φ∗ =Φ−1.
(iii) SiBest une base orthonormale deEet siM est la matrice deΦdans la baseB, alorstMM = In = MtM.
(iv) Si B est une base orthonormale de Eet si M est la matrice deΦdans la base B, alors M est inversible etM−1 =tM.
(v) Si B est une base orthonormale de E et si M est la matrice de Φ dans la base B, alors les vecteurs colonne de M forment une base orthonormale deRn avec sa structure euclidienne canonique.
(vi) SiBest une base orthonormale deE, alorsΦ(B)est une base orthonormale deE.
Lorsque les conditions ´equivalentes (iii)-(v) ci-dessus sont v´erifi´ees pour une matriceM, on dit que Mest unematrice orthogonale.
D´emonstration. (TD)
Corollaire C.22. (a) SoitΦune isom´etrie deE. Alors (i) |detΦ|=1
(ii) siλest valeur propre deΦalors|λ|=1.
(b) Soit M une matrice. Alors M est orthogonale si et seulement si M est la matrice de passage d’une base orthonormale `a une autre.
D´emonstration. (a) (i) D’apr`es le (iii) de la proposition pr´ec´edente, si M est la matrice deΦdans une base orthonormale,
1=detIn=det(tMM) =det(tM)det(M) =det(M)2 donc det(Φ) =det(M) =±1.
(ii) Soitλune valeur propre deΦ, et soituun vecteur propre associ´e. Alors kuk=kΦ(u)k= kλuk=|λ| kuk
donc|λ|=1 etλ=±1.
(b) Soit M une matrice orthogonale. Fixons une base orthonormaleB deE. Alors M est la matrice d’une transformation Φdans la baseB, et d’apr`es la proposition pr´ec´edente (vi),Φ(B)est une base orthonormale, c’est-`a-dire que Mest la matrice de passage d’une base orthonormale `a une autre.
Maintenant, siPest la matrice de passage d’une base orthonormaleB = {e1, . . . ,en} `a une base orthonormale B0 = {e1, . . . ,en}, d´efinissons Φ : E → E en posantΦ(ei) = e0i et en prolongeant par lin´earit´e. AlorsB0 = Φ(B)doncΦest une isom´etrie de Ed’apr`es le (vi) de la proposition pr´ec´edente. De plus,Pest la matrice deΦdans la baseB(puisque chaque colonne est obtenue en
´ecrivante0i =Φ(ei)dans la baseB), donc d’apr`es la proposition pr´ec´edente,Pest orthogonale.
Remarque C.23. SoientBetB0deux bases orthonormales, et soientMetM0les matrices d’un endo- morphisme deEdans les basesBetB0respectivement. SoitPla matrice de passage deB `aB0. Alors M0 =P−1MP =tPMP.
C.5 Isom´etries deR2
Nous consid´eronsR2muni de sa structure canonique d’espace euclidien. SoitΦ ∈ O2(R). Dans la base canonique, la matrice deΦs’ecritM =
a c b d
. Les vecteurs a
b
et c
d
forment une base orthonormale, et nous avons vu que detM =±1, donc nous obtenons les ´equations :
a2+b2 =1 c2+d2=1 ac+bd=0
ad−bc=εavecε= ±1.
Supposons d’abord que a 6= 0. Alors la troisi`eme ´equation donne c = −bda . De la quatri`eme
´equation on d´eduit que d = aε, doncc = −bda = −bε. La deuxi`eme ´equation est automatiquement satisfaite. Ainsi,
M=
a −bε b aε
. Supposons maintenant quea=0. Le syst`eme devient donc :
b2=1 c2+d2 =1 bd=0
−bc= εavecε=±1.
Commeb=±1, la derni`ere ´equation donnec=−εb. La troisi`eme donned=0=εa. Ainsi la matrice Mest encore de la forme ci-dessus.
Commea2+b2 =1, il existeα∈Rtel quea=cosαetb=sinα. DoncM=
cosα −εsinα sinα εcosα
. Si le d´eterminant deMest ´egal `a 1, c’est-`a-dire si M∈ SO2(R), alorsε =1 etΦest la rotation de centreOet d’angleα(l’expression en nombres complexes de la transformation estz7→ eiαz).
Si le d´eterminant de M est ´egal `a−1, alors ε = −1 et le polyn ˆome caract´eristique deΦest ´egal
`a x2−1 = (x−1)(x+1). Donc Φ admet deux valeurs propres r´eelles, les sous-espaces propres sont n´ecessairement de dimension 1, et
cosα2 sinα2
;
−sinα2 cosα2
est une base orthonormale deR2 form´ee de vecteurs propres pourΦ. Dans cette base, la matrice deΦs’´ecrit
1 0 0 −1
, doncΦest la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite engendr´ee par
cosα2 sinα2
.
R´esumons tout cela :
Proposition C.24. SoitΦune isom´etrie deR2. Alors sa matrice dans la base canonique deR2est de la forme
cosα −εsinα sinα εcosα
pour unα∈R, avecε=±1.
Φest dans SO(R2)si et seulement siΦest la rotation de centreOet d’angleα.
Φest dans O(R2)\SO(R2)si et seulement siΦest la sym´etrie orthogonale par rapport `a la droite engendr´ee par
cosα2 sinα2
.
C.6 Isom´etries deR3
Proposition C.25. Si Φ ∈ O3(R), il s’agit d’une rotation de R3 ´eventuellement suivie d’une sym´etrie orthogonale. Il existe une base orthonormale de R3 dans laquelle sa matrice est de la forme
cosα −sinα 0 sinα cosα 0
0 0 ±1
.
D´emonstration. en TD.
Remarque C.26. Afin de d´eterminerαau signe pr`es, remarquons que trΦ=
(1+2 cosα si detΦ=1
−1+2 cosα si detΦ=−1.
D Le th´eor`eme spectral des endomorphismes sym´etriques ; application aux coniques et quadriques
D´efinition D.1. Un endomorphismeψde E est dit sym´etrique ou auto-adjoint siψ∗ =ψ.
Remarque D.2. Un endomorphisme est sym´etrique si et seulement si sa matrice dans une (ou dans toute) baseorthonormaleest sym´etrique (c’est-`a-dire ´egale `a sa transpos´ee).
Proposition D.3. Soitψun endomorphisme sym´etrique, et soientλetµdes valeurs propres deψ avecλ6=µ. Soituun vecteur propre associ´e `a la valeur propreλet soitvun vecteur propre associ´e
`a la valeur propreµ. Alorsuetvsont orthogonaux.
D´emonstration. (λ−µ)hu,vi=hλu,vi − hu,µvi=hψ(u),vi − hu,ψ(v)i=hψ(u),vi − hψ(u),vi= 0 puisqueψest sym´etrique. Commeλ−µ6=0, on a bienhu,vi=0.
Th´eor`eme D.4. (Th´eoreme spectral des endomorphismes sym´etriques) Soit (E,h,i) un espace euclidien et soitψun endomorphisme sym´etrique. Alorsψest diagonalisable dans une baseortho- normale. Autrement dit, il existe une base orthonormale deEform´ee de vecteurs propres deψ.
D´emonstration. Nous la verrons `a la fin du Chapitre II.
Du th´eor`eme pr´ec´edent, on d´eduit :
Corollaire D.5. (Th´eoreme spectral pour les matrices sym´etriques)SoitA∈ Mn(R)une matrice sym´etrique. Alors il existe une matrice orthogonalePtelle quetPAPsoit diagonale.
D´emonstration. La matrice Arepr´esente un endomorphisme sym´etrique dans la base canonique (or- thonormale) de Rn. Donc d’apr`es le th´eor`eme spectral ci-dessus, il existe une matriceP ∈ Mn(R) inversible telle que P−1APsoit diagonale. De plus, toujours d’apr`es le th´eor`eme spectral, cette ma- trice est la matrice de passage d’une base orthonormale `a une autre base orthonormale. Elle est donc bien orthogonale, etP−1= tP.
D.1 Application : ´etude des hypersurfaces du second degr´e
D´efinition D.6. On se place dans un espace euclidien de dimension n, et on fixe une base orthonormale. On peut donc supposer qu’il s’agit deRnavec sa base canonique.
On appelle hypersurface du second degr´e l’ensembleHdes points u∈Rnv´erifiant : F(u):=q(u) +`(u) +c=0
o `u q est une forme quadratique non nulle,`est une forme lin´eaire, et c est une constante (r´eelle).
Lorsque n = 2, une hypersurface de degr´e2s’appelle une conique ; lorsque n = 3une hypersurface de degr´e2s’appelle une quadrique.
On cherche `a d´eterminer la forme de l’hypersurface. Nous commencerons dans le cas g´en´eral, puis d´eterminerons la classification compl`ete dans le cas des coniques et des quadriques.
1 La premi`ere ´etape est de r´eduire la forme quadratiqueqdans une base orthonormale.
Soit Ala matrice associ´ee `a q, et soitψ l’endomorphisme deRn dont la matrice dans la base canonique estA. La matriceAest sym´etrique.
Siu∈Rn, soitUle vecteur colonne associ´e ; alors
q(u) =tU AU =t(AU)U=hψ(u),ui.
Commeψest sym´etrique, on peut lui appliquer le th´eor`eme spectral : il existe donc une base orthonormale{ε1, . . . ,εn}form´ee de vecteurs propres pourψ. Soitλila valeur propre associ´ee au vecteur propreεi.
Notonsu=∑ni=1xiεi. Alorsq(u) =hψ(u),ui=∑ni=1λix2i, doncF(u) =∑ni=1λix2i −∑ni=1τixi+
c.
2 La deuxi`eme ´etape est de r´eduire F. Pour cela on “compl`ete les carr´es”, c’est-`a-dire que l’on
´ecrit, lorsqueλi 6=0,
λix2i −τixi =λi(x2i − τi
λixi) =λi
xi− τi 2λi
2
− τ
i2
4λi.
Ceci revient `a faire un changement d’origine (siλ1, . . . ,λrsont non nuls etλr+1=· · · =λn =0, la nouvelle origine estΩ=2λτ1
1, . . . ,2λτr
r, 0, . . . , 0
). L’´equation devient donc
∑
r i=1λix0i2=
∑
n r+1τixi+c0. (D.1)
Notons que si l’un desτi est non nul, par exempleτn, alors on peut faire un nouveau change- ment d’origine pour que l’´equation ne contienne plus de constante (Ω0 =Ω+ (0, . . . , 0,−τc0
n)).
3 Pour ´etudier l’hypersurfaceH, on se placera dans le rep`ere orthonormal privil´egi´e(Ω | ε1, . . . ,εn) dans lequel l’´equation a l’expression r´eduite (??).
