un corrigé plus détaillé

Epreuve 1. Problème 1 : nombres irrationnels

Vous trouverez l’énoncé complet sur le site du CAPES : http://capes-math.org/data/uploads/EP1_2013.pdf

1. Exemple de nombres irrationnels

1. Supposons n rationnel. Il existe deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que :

q n = p et dans ce cas : p² =nq². Or, si p et q sont premiers entre eux, les entiers p² et q² le sont aussi¹… D’après le théorème de Gauss, p² divise n : il existe un entier naturel u tel que : n= p²u.

Ou bien n=u =0 auquel cas n est entier, de même que sa racine carrée, ou bien les entiers u et q vérifient la relation : 1=uq² qui n’est réalisée que si 1=u=q², ce qui implique que q=1 et p² =n . L’entier n est un carré. Ainsi, n rationnel implique n entier naturel. Par contraposition, n non entier naturel implique n irrationnel.

2. Un nombre premier n’a pas de diviseur strict, ce n’est donc pas un carré. Sa racine n’est pas un entier donc est irrationnelle.

3. Supposons 3 ln

2

ln rationnel. Il existerait deux entiers naturels p et q premiers entre eux, tels que :

q

= p 3 ln

2 ln donc tels que : 2^q =3^p. Les entiers2 et 3 étant premiers entre eux, cette égalité ne pourrait avoir lieu que si les exposants sont nuls, ce qui contredirait l’hypothèse « p et q premiers entre eux ».

4. Question classique

2. Preuve de l’irrationalité de ππππ 1. 1. ^P'n

( ) (

^x = ^a−2^bx

) ( )

^Pn₋1 ^x

1.2. Au rang 1 : ^P'1

( ) (

^x = ^a−^2bx

) ( )

^P0 ^x =^a−^2bx. Cette dérivée est > 0 pour

2 0_{< <} 2 ₌π

b

x a et < 0 pour

π _{= < < =}π b x a b a 2

2 . La fonction P1 s’annule en zéro et en π, est strictement croissante sur 

 





; 2

0 π

et

strictement décroissante sur 

 



π π

2 ; . Elle admet un maximum en

b a 2 2 =

π . Si on suppose que P_n−1 a ces

trois propriétés, au rang suivant n, la fonction Pn s’annule aussi en zéro et en π, et d’après l’expression de 1.1, sa dérivée est du signe de a−2bx. Celle-ci est strictement positive pour

2 0_{< <}2 ₌π

b

x a et strictement

1 Si a est premier avec b, d’après la relation de Bézout , il existe deux entiers relatifs u et v : au+bv=1 et par élévation au carré : ^a

(

^{au2 +2buv}

)

^{+b2v2 =1}, relation qui prouve que a est premier avec b². En appliquant cette

négative pour π _{= < < =}π b x a b a 2

2 . Donc Pn est aussi strictement croissante sur 

 





; 2

0 π

et strictement

décroissante sur 

 



π _;π

2 . Elle admet aussi un maximum en

b a 2 2 =

π . Pour tout entier n > 0, toutes les

fonctions Pn présentent ce même type de variations.

[ ]

( )

! 4 sup 2

2

;

0 n

b a

b P a x P

n

n n













=



 



= 

π

1.4. In est l’intégrale d’une fonction positive sur

[

^0;π

]

, c’est un nombre positif ou nul. De plus la fonction à intégrer est une fonction continue sur

[

^0;π

]

et qui prend une valeur strictement positive en

2

π qui est un

point de cet intervalle. L’intégrale In est donc strictement positive (démo plus précise dans un autre sujet posé en 2013)..

1.5. Le quotient de deux termes consécutifs de cette suite est :

n b a

b P a

b P a

n

n 











=



 







 





−

4 2

2

2

1

. Pour tout entier n

supérieur au nombre b a 2

2

, ce quotient est plus petit que 2

1, nombre strictement plus petit que 1. C’est un critère de convergence vers zéro de la suite.

Puisque 



 



= 



 



≤ 

<^In

∫

^Pn ₂^a_b ^{dx Pn} ₂^a_b

0 0^π π , la suite

( )

In est minorée par la suite nulle et majorée par une suite convergeant vers zéro. D’après le théorème des gendarmes, cette suite converge elle aussi vers zéro.

2.1. Pour 0≤k≤n−1, Pn se présentant sous forme de produit, on peut considérer la formule de dérivation d’un produit de Leibniz ^{( ) ( ) (j k j)}

k j

j

k u v

j

f k ⁻

=

=

∑









= 

0

avec u=xⁿ et ^v=

(

^a−bx

)

ⁿ. On peut écrire : ( )^j

( ) ( )

^{x nn j xn j}

u ⁻

= −

!

! et ^{(k j)}

( ) ( ) ( ) (

^{b k j a bx}

)

^{n k j}

j k n x n

v ⁻ − ⁻ − ^{− +}

+

= −

!

! pour des ordres de dérivation

convenables.

Elle donne ici : ^{( )}

( ) ∑ ( ) ( ) ( )

=

+

−

−

− × − −

+

−

 −







= ^k 

j

j k n j

j k k n

n x b a bx

j k n j n

n j

x k P

0 ( )! !

! ce qui est licite car pour

tout j≤k, les entiers n− j et n−k+ j sont tous les deux strictement positifs. Il s’ensuit qu’en zéro aussi bien qu’en a

, chacun des termes de la somme s’annule puisque il s’y présente à la fois un terme en x et un

2.2. Pour n≤k≤2n, la formule de Leibniz peut être reconduite à condition de convenir que lorsque l’ordre de dérivation d’un terme du produit dépasse n, la dérivée correspondante est nulle.

En zéro, il y a un seul terme de la somme qui ne s’annule pas, celui où on a dérivé n fois exactement la fonction u (c'est-à-dire celui tel que j=n) : n^{( )k}

( ) ( ) ( )

a ^{n k}

( )

b ^{k n}

n k k n

P k ⁻ − ⁻

−

= − ²

!

! 2

0 !

Si l’on pose k=n+i (avec 0≤i≤npar conséquent) :

( ) ( ) ( )

( ) ( )





 + 

− =

= +

−

− i

n n

i n i i n

i n n k k n

k

!

!

!

!

!

!

! 2

! , nombre qui

est manifestement un nombre entier naturel. Pn^{( )k}

( )

⁰ est donc un entier relatif.

En b

a , il y a un seul terme de la somme qui ne s’annule pas, celui où on a dérivé n fois exactement la fonction v (c'est-à-dire celui tel que k− j=n). On obtient : ^{( )}

( ) ( )

^{n k}

( )

^{n k n}

k

n a b

k n n k

k b

P a ⁻ − ⁻

−

= −



 



 1

! 2

!

! ₂

et on conclut de la même manière qu’en zéro.

2.3. Pn est un polynôme de degré 2n. Ses dérivées d’ordre ≥2n+1 sont nulles. Dans ces cas-là : ( )

( )

^{0 ( ) =0}



 



= 

b P a P_n^k _n^k

3.1. On ne perd pas de vue que Pn et ses dérivées successives prennent des valeurs entières relatives aussi bien en zéro qu’en =π

b a .

Par une première i.p.p. : ^{In =}

∫

^{a bPn}

( )

^{x xdx=}

[

^−Pn

( )

^{x x}

]

^a0^{/b +}

∫

₀^a/bPn

( )

^{x xdx}

/

0 sin cos ' cos .

Le crochet est un nombre entier d’après la question précédente. Reste à s’occuper de l’intégrale restante :

( ) [ ( ) ] ∫

^{( )}

( )

∫

^{a bPn x xdx= Pn x x a}0^{/b −} ₀^{a/bPn2 x xdx} /

0 ' cos ' sin sin . Le crochet est nul puisque le sinus prend la

valeur zéro aussi bien en zéro qu’en =π b

a . Reste à s’occuper de l’intégrale restante.

( )

( ) [

^{( )}

( ) ] ∫

^{( )}

^{( )}

∫

^{= − + a b} n

b a n

b a

n x xdx P x x P x xdx

P ^/

0 / 3 0 / 2

0

2 sin cos cos

Le crochet est un nombre entier relatif d’après la question précédente. Reste à s’occuper de l’intégrale restante.

On va continuer comme ça, en obtenant un coup un crochet nul, un coup un crochet entier relatif, et en augmentant à chaque fois d’un rang l’ordre de dérivation. Au bout d’une succession de 2n+1 i.p.p il n’y aura plus à « s’occuper de l’intégrale restante » car on sera arrivé à devoir intégrer la fonction nulle. In sera la somme de nombres tous entiers relatifs. (Vu qu’on a démontré I_n >0, cette somme d’entiers relatifs doit être au bout du compte un nombre entier strictement positif)

3.2. En supposant que π est rationnel, on a donc démontré d’une part que In est une suite de nombres réels strictement positifs convergeant vers zéro et d’autre part que tous les In sont des nombres entiers. Ces deux propositions sont contradictoires, une suite d’entiers strictement positifs ne peut converger que si elle stationne sur un entier strictement positif. Notre hypothèse de rationalité de π doit être abandonnée.

3. Développement en série de Engel

1. La série de termes positifs

( )

Sn est majorée terme à terme par la série géométrique de premier terme

0

1

a et de raison

0

1

a qui est une série convergente de limite

0 0

0 1

1 1 1

1 1

a a

a = −

 −







 . Elle est donc elle-même

convergente vers une limite inférieure ou égale à 1 0

1

−a . On peut ajouter que cette limite est strictement supérieure à

0

1

a , qui est le premier terme de la somme.

2.1 à 2.3. La suite

( )

xn est définie par la formule de récurrence : 1 1

1 1

1 1 −





 + 

=

 −

















 + 

+ =

n n n n

n

n x x x E x

E x x

Le premier terme de cette suite est par hypothèse un nombre réel strictement positif.

Or pour tout nombre réel strictement positif ,

x E x

x

1 1 1

1 ≤



 



< 

− et par conséquent : 1 1

1 ≤



 



< 

−x xE x . Supposons que pour un rang n xn soit un réel strictement positif. Alors : _n

n n n

n x

E x x x

x − ≤





 + 

=

< ₊ 1 1

0 ₁ .

La stricte positivité des termes de la suite

( )

xn est héréditaire.

La suite

( )

xn est bien définie et il s’agit d’une suite de réels strictement positifs. En prime, on obtient la décroissance de la suite

( )

xn . Cette suite est de ce fait majorée par 1.

La suite 







 xn

1 est une suite croissante et minorée par 1, et vu que la fonction partie entière est une fonction

croissante, la suite 





 + 

xn

E 1

1 est une suite croissante et minorée par 2.

Au passage, on peut noter que puisque x₁=a₀x₀ −1 et que : ^{1 1}

[

1^, 2^,...

]

0 0

a a a

x=a + , le nombre x1 admet lui- même un développement en série de Engel qui est : x1=

[

a1^,a2^,...

]

.

2.4. Considérons la suite : 







 +

− −

1 0

1 ... _n

n

n a a

S x . Si on compare deux termes consécutifs, ils sont égaux :

1 0 1 0

0 1 0

1

...

...

1 ...

1

... ^{− −} ₋

+ − = +

+ +

= +

n n n

n n n n n

n n

n a a

S x a a

x a a S a

a a

S x . Il s’agit là d’une suite constante, tous ses

termes sont égaux à son premier terme, lequel vaut :

( )

_x

a x a a

x a

S x + − =

+ =

= +

0 0 0

1 0

1 0

1 1

1

Du fait que la suite

( )

xn est majorée par 1, la limite quand n tend vers l’infini de la suite 







 ₊

n n

a a

x

0...

1 est nulle,

( )

3.1. De manière générale : 









 + +

+

=

− −

n n n

n n

n S a a a a a

S ...

... 1 1 ...

1

0 0

0 0

1 0

1 . En passant à la limite :

[ ] [

^,...

]

...

,... 1

0 0 0

1 0 1

0 n

n

n a

a S a

a

− + −

= . Si une autre suite de Engel coïncide avec celle-ci pour ses n0 premiers

termes _{0 0 1 1}

0

...; 0

. ₋ = ₋

=a bn an

b , on a aussi :

[

^,...

]

_...¹

[

0^,...

]

0 0

1 0 1

0 n

n

n b

a S a

b

− + −

= . L’égalité des deux limites

à gauche des signes égale équivaut à l’égalité des deux limites à droite des signes égale.

3.2. Vu la question 1, on peut dire que :

1 1 1

0 0 < ≤ −

x a

a . D’où on déduit d’une part que 1 ₀

x <a et d’autre part que 1 1

0 ≤ +

a x . Par conséquent, a0 est l’unique entier se trouvant dans l’intervalle 

 



 1+1

1 ; x

x . Quant à

lui, 



 



 E 1x

est par définition de la partie entière l’unique entier se trouvant dans l’intervalle 

 



 −

x x

;1 1 1

. Ces deux entiers diffèrent exactement d’une unité.

3.3. La question 3.2 montre que

[

a0,a1,...

] [

= b0,b1,...

]

⇒a0 =b0 et si on y adjoint le résultat de la question

3.1, on obtient :

[ ] [ ] [ ] [ ]





=

⇒ =

=

0 0

2 1 2 1 1

0 1

0

...

, ...

,... , , ,...

, a b

b b a

b a b a

a . Dès lors, il suffit d’itérer cette implication,

l’égalité

[

a0^,a1^,...

] [

= b0^,b1^,...

]

implique de proche en proche que a_n =b_n pour tout entier naturel n. Tout réel de

] ]

^0;1 admet un et un seul développement en série de Engel.

4.1.

[ ]

1 1 ,... 1

, 1 1

0 =

∑

= −

≥ c + c a

a

n n

4.2.

[

^{, ,...}

]

0

(

¹²

)

^{! 2}

1

0 =e-

=

∑

+

≥

n n

a a

4.3.

[ ]

( )

( )

^cosh

( )

^{1 1}

! 1 2

1

! ...

6 1

! 4 1

! 2 ,... 1 ,

0 1 0

− + =

=

+ + +

=

∑

≥

n n

a a

Le logiciel nSpire trouve 4.2 mais non pas 4.3.

Cependant, la comparaison de la limite présumée avec un terme de rang élevé est très encourageante.

5.

( ) ^∑ _{( )}

≥ +

= + + + +

=

−

0 2 4

3 2

! 4 2 ... 2

! 8 2

! 6 2

! 4 2 2 2 cosh

n n

n

. On est amené à poser :

3 4

2

! 4 2²

0 = = ×

a et de

manière plus générale :

(

² +⁴

) (

²× ² +³

)

= n n

a_n .

Les résultats affichés ci-contre sont encourageants quant à l’exactitude de notre résultat.

6. Sens réciproque : Supposons que la suite

( )

an stationne à partir d’un certain rang n0 : a_n =c pour n0

n≥ . Alors :

1 1 ...

1

1 1 0 1

0

0 + × −

=S − a a a − c x

n

n , qui est un rationnel.

Sens direct : Supposons que : q

x= p⁰ (avec p0 et q non nécessairement premiers entre eux, de toute façon cette propriété va se perdre après itération).

Soit : q= p₀u₀+r₀ la division euclidienne du dénominateur par le numérateur, avec 0≤r₀ < p₀. Ou bien r₀=0, auquel cas x est l’inverse d’un entier

( )

∑

≥ + +

=

=

0 1

0 0 1

1 1

n n

u u

x , la suite associée est une suite

constante.

Ou bien r₀>0, auquel cas,

p r u q

p E q

E x ₀ ⁰

0

1 = = −







= 



 



 . Le nombre a0 est :

p r q p E x

a₀ 1 ⁰

1 = + −



 

 + 

= et le nombre x1 est :

[ ]

q r p q

a p a

a

x₁= ₁, ₂,... = ₀ ⁰ −1= ⁰− ⁰ . On itère le raisonnement avec maintenant :

q p q

r

x₁ = p⁰ − ⁰ = ¹.

Soit q= p₁u₁+r₁ la division euclidienne du dénominateur par le numérateur, avec 0≤r₁ < p₁< p₀. Ou bien r₁=0 auquel cas x1 est l’inverse d’un entier

( )

∑

≥ + +

=

=

0 1

1 1

1 1

1 1

n n

u u

x , la suite

[

a1^,a2^,...

]

associée est constante et la suite

[

a0^,a1^,...

]

stationne à partir du rang 1.

Ou bien r₁>0, auquel cas le nombre x2 est :

[ ]

q p q

r p q

a p a

a

x₂ = ₂, ₃,... = ₁ ¹ −1= ¹− ¹ = ² …

Soit q= p₂u₂+r₂ la division euclidienne du dénominateur par le numérateur, avec 0≤r₂ < p₂ < p₁ < p₀. Ou bien r₂=0 auquel cas x2 est l’inverse d’un entier

( )

∑

₊

= +

= ₁

2 1

1 1

u n

x u , la suite

[

a2^,a3^,...

]

associée

suite décroissante d’entiers positifs étant nécessairement stationnaire, au bout d’un nombre fini d’itérations cette circonstance va se produire. La suite

( )

an est stationnaire à partir d’un certain rang.

Exemple :

200

= 61

x . Successivement : 200=3×61+17,

50 11 200

; 44

4 ₁

0 = x = =

a puis 50=4×11+6,

10 1 50

; 5

5 ₂

0 = x = =

a qui est l’inverse d’un entier et finalement :

n

n

∑

≥



 



 + ×

+ ×

=

1 11 1 5 4

1 5 4

1 4 1 200

61