I128. Une traversée nocturne

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I128. Une traversée nocturne

Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total⁽¹⁾ pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.

Sachant que les durées⁽²⁾de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées⁽²⁾ de traversée des deux autres randonneurs.

(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.

(2) Toutes les durées de traversée s'expriment en nombres entiers de minutes.

Chaque aller-retour permet à une personne d'accéder à l'autre rive. On prévoit donc 8 aller-retours et un aller simple pour les deux derniers randonneurs. Une durée supérieure à 2 pour le plus rapide des deux autres randonneurs conduit à un temps total supérieur à 76 minutes. Adoptons cette durée de 2 pour l'une des deux inconnues. En essayant une durée de 3, 8, 12 minutes pour la deuxième inconnue, on obtient une durée totale de traversée inférieure à 76 minutes.

L'unique solution est obtenue avec les durées 2 et 16 minutes, avec le schéma suivant :

Aller 1+2 Retour 2 Aller 20+17 Retour 1

Aller 1+2

Les 8 aller-retours durent 4+21+ 4+17+ 4+12+ 4+8 = 74 minutes, on ajoute 2 minutes pour la dernière traversée, et le temps total est bien de 76 minutes.