I128. Une traversée nocturne
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution proposée par Claudio Baiocchi Les temps manquants sont 2 et 16.
On va noter 1, 3, 6, … le randonneur dont la traversée demande 1, 6, 7, … minutes ; et on rajoutera les randonneurs X, Y dont les temps X, Y (différents de 1, 6, 7, 9, 11, 15, 17, 20 ; et avec 0<X<Y) sont à établir.
La solution évidente (tout randonneur autre que 1 voyage en couple avec 1, ce dernier ramenant ensuite la lampe de l’autre côté) n’est pas optimale ; par exemple pour la traversée de 17 et 20, au lieu des 17+1+21+1=40 minutes demandées par cette stratégie, on pourrait effectuer les traversées
pour une durée totale de 6+6+20+1=33 minutes. En général on choisira X<6 et on créera quatre couples avec les éléments plus grands que X, pour effectuer les traversées :
On voit tout de suite que le choix X=2 est forcé : déjà avec X=3 le seul aller-retour des éléments 1 et X prendrait une partie trop grande des 76 minutes prévus.
Une fois fixé la valeur X=2, la construction des quatre couples dépendra de la valeur de Y ; naturellement choix différents peuvent mener à couplage différents.
Compte tenu du fait que les manœuvres du couple (1,2) coutent 22 minutes (quatre fois l’aller- retour qui coute 2+2+1, plus l’aller final qui coute 2) il faut trouver une valeur de Y qui, insérée en 6,7,9,11,15,17,20 dans la position correcte, donne lieu à un couplage optimal qui demande 54 minutes.
Si Y vaut 3,4 ou 5 on aboutit aux couples (Y,6), (7,9), (11,15) et (17,20), pour un total de 6+9+15+20=50, trop petit.
Si Y vaut 8 on aboutit aux couples (6,7), (8,9), (11,15) et (17,20), pour un total de 7+9+15+20=51, trop petit.
Si Y vaut 10 on aboutit aux couples (6,7), (9,10), (11,15) et (17,20), pour un total de 7+10+15+20=52, trop petit
Si Y vaut 12,13 ou 14 on aboutit aux couples (6,7), (9,11), (Y,15) et (17,20), pour un total de 7+11+15+20=53, encore trop petit.
Si Y vaut 16 on aboutit aux couples (6,7), (9,11), (15,16) et (17,20), pour un total de 7+11+16+20=54, qui est la bonne valeur.
Si Y vaut 18 ou 19 ou si Y>20 on aboutit aux couples (6,7),(9,11), (15,17) et (Y,20) ou (20,Y), pour un total de au moins 7+11+17+20=55, trop grand.
La bonne valeur correspond donc à Y=16, la traversée toute entière étant donnée par :
Remarque Faisant confiance à Diophante, on pouvait se borner à chercher pour Y une des valeurs 8, 10 et 16, car toute autre valeur donnerait lieu à un problème avec solution non unique.
