I128 - La traversée nocturne

Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total⁽¹⁾ pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.

Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.

(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.

Soit a et b avec a<b les temps de traversée des deux derniers randonneurs.

Puisque la lampe doit retourner, le nombre de randonneurs arrivés n’augmente que de 1 à chaque aller-retour (sauf au dernier aller simple) : il y a 9 allers et 8 retours.

Pour minimiser la durée, il faut faire passer ensemble les deux randonneurs les plus lents, puis les trois autres couples rangés par temps de traversée.

Zig et le plus rapide font 5 allers ensemble, dont le premier, et ramèneront alternativement la lampe (4 fois chacun)

La somme des temps des allers des paires les plus lentes est s ≥20+15+9+6=50.

Le temps de traversée du randonneur le plus rapide est obligatoirement a, et les 5 allers et 8 retours que Zig et lui effectuent durent 9a+4 ; alors 54+9a≤76, soit a≤2 Comme a≠1, a=2 et s= 54.

Si b>17 s≥ 55 (soit 20+17+11+7) ; si b<15 s≤ 53 (=20+15+11+7) : seul b=16 donne un temps de 54 (=20+16+11+7).

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