La traversée du grillage
Problème G165 de Diophante, proposé par Michel Lafond On lance une balle de rayon 1 cm, au hasard,
perpendiculairement à un grillage plan périodique (supposé infini), dont l'épaisseur du fil est supposée négligeable, et dont tous les segments mesurent 4 cm.
Les carrés, hexagones et dodécagones sont réguliers.
(Schéma ci-contre)
Quelle est la probabilité que la balle traverse le grillage ? Solution
Soit un demi triangle équilatéral, sur lequel on a tracé les trois rayons du cercle inscrit perpendiculaires aux cotés, comme pavé de base. En arrangeant des pavés identiques de telle sorte que deux pavés adjacents soient symétriques l'un de l'autre par rapport à leur côté commun, on engendre le grillage proposé.
Ici le rayon du cercle inscrit mesure 2 cm. Les côtés de l'angle droit du triangle mesurent 2 + 2 3 et 6 + 2 3. Sa surface mesure 12 + 8 3.
Notons C le point du plan du grillage sur la trajectoire du centre de la balle.
La balle traverse le grillage lorsque C se situe à plus de 1 cm des fils ; lorsque, ci-dessous, C est dans la partie verte.
On fait l'hypothèse que la probabilité de C est uniforme dans le pavé de base.
Ainsi la probabilité cherchée p correspond au rapport V/S de la surface verte à celle du pavé.
D'une part, on a S = 12 +8 3 = 25,8564... et, d'autre part, S - V = 10, 1547...
On a calculé la surface S-V comme celle d'un rectangle de largeur 2, dont la longueur est la somme des longueurs des traits bleus.
D'où p = 0,607...
