Problème proposé par Michel Lafond
On lance une balle de rayon 1 cm au hasard sur un grillage plan périodique (supposé infini) dont l’épaisseur du fil est supposée négligeable, et dont tous les segments mesurent 4 cm.
Les carrés, hexagones et dodécagones sont réguliers. (Schéma ci-dessous).
Quelle est la probabilité que la balle traverse le grillage ?
!
La maille élémentaire est constituée d’un dodécagone, de deux hexagones et de trois carrés : en fonction du coté c, les apothèmes et les aires respectives d’un dodécagone, d’un hexagone et d’un carré sont c(1+√3/2) et 3(2+√3)c2 , c√3/2 et 3√3c2/2 , c/2 et c2 .
Puisque c=4, la surface d’une maille est donc (3(2+√3)+3√3+3)c2=48(2√3+3)=310,28 cm2 .
La balle traversera le grillage, si son centre est situé dans une zone de passage, à une distance du fil supérieure à son rayon, c’est à dire, pour chaque polygone, à l’intérieur d’un polygone homothétique d’apothème égal à l’apothème initial diminué du rayon. La surface de la zone de passage est donc :
48(2+√3)*(3+2√3)2/(4+2√3)2 +48√3*(2√3-1)2/12+48/4=188,42 cm2 , soit 60,72% de la surface de la maille
