G165. La traversée du grillage
On lance une balle de rayon 1 cm au hasard perpendiculairement à un grillage plan périodique (supposé infini) dont l’épaisseur du fil est supposée négligeable, et dont tous les segments mesurent 4 cm.
Les carrés, hexagones et dodécagones sont réguliers. (Schéma ci-contre.) Quelle est la probabilité que la balle traverse le grillage ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Le grillage pouvant être assimilé à un pavage périodique, on peut se limiter à l’étude d’un seul de ses motifs (figure ci-contre).
La probabilité recherchée est le rapport entre l’aire « intérieure » du motif (en couleur claire sur la figure), définie comme l’ensemble des points situés à plus de 1 cm de ses arrêtes, et l’aire totale du motif.
On utilise les formules suivantes pour calculer ces différentes aires.
Considérons un polygône régulier à côtés de longueur .
Son apothème mesure , et son aire vaut .
Il y a 60,73% de chances que la balle traverse le grillage.
h
6h
121
4