G165- La traversée du grillage Problème proposé par Michel Lafond
On lance une balle de rayon 1 cm au hasard perpendiculairement à un grillage plan périodique (supposé infini) dont l’épaisseur du fil est supposée négligeable, et dont tous les segments mesurent 4 cm.
Les carrés, hexagones et dodécagones sont réguliers. (Schéma ci-dessous).
Quelle est la probabilité que la balle traverse le grillage ?
Solution proposée par Patrick Gordon
Le grillage étant périodique et supposé infini, il faut raisonner sur un "motif minimal"
susceptible d'engendrer le grillage par sa répétition à l'infini.
On remarque que chaque dodécagone est entouré :
- de 6 hexagones, mais dont chacun est adjacent à 3 dodécagones, - de 6 carrés, mais dont chacun est adjacent à 2 dodécagones.
Le "motif minimal" sera donc composé de : 1 dodécagone
2 hexagones 3 carrés.
Nous raisonnerons comme pour les problèmes de probabilité continue (du type aiguille de Buffon, en plus simple) et considérerons donc que la probabilité que la balle traverse la figure F constituée par ce "motif minimal" est le rapport de l'aire de l'ensemble A où doit se trouver le centre de la balle pour qu'elle ne soit pas arrêtée par le grillage à l'aire de l'ensemble de la figure F.
Or, dans chacun des polygones (carrés, hexagones, dodécagone), A se déduit de F en traçant les parallèles aux côtés du polygone, à 1 cm à l'intérieur de celui-ci (1 cm étant le rayon de la balle). Dans chaque forme de polygone, le polygone intérieur est homothétique du polygone extérieur dans le rapport des apothèmes (l'apothème intérieur se déduisant de l'extérieur par soustraction de 1 cm).
Les aires sont donc, pour chaque forme de polygone, dans le carré du rapport des apothèmes.
Il suffit donc de calculer les aires et les apothèmes extérieurs (pour le carré, c'est plus simple encore) et de pondérer in fine par le nombre de chaque polygone dans le "motif minimal" F.
En additionnant, on aura ainsi l'aire de F et celle de A. La probabilité est leur rapport.
On trouve :
côtés apothème extérieur
aire extérieure
apothème intérieur
aire
intérieure nombre
aire extérieure
pondérée
aire intérieure pondérée
ratio des aires
carré 4 2 16 1 4 3 48 12
hexagone 6 3,464 41,569 2,464 21,033 2 83,138 42,067
dodécagone 12 7,464 179,138 6,464 134,354 1 179,138 134,354
310,277 188,420 0,607
Soit une probabilité de 0,607.
