R 1. La commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque la tensiondiérentielle de l'AOpasse par 0, autrement dit, lorsque

signaux

6.1 Introduction

Lecomparateur est un amplicateur opérationnel à très haut gain et extrêmement

rapidecar iln'a pas de compensationen fréquence. Il n'est en eet pas prévu pour

travailler dans un circuit à réaction négative, mais uniquement en boucle ouverte,

ou dans un circuit à réaction positive. Il est donc conçu et utilisé pour basculer

rapidement d'un niveau de saturation vers l'autre.

L'utilisationd'unAOen tantquecomparateursevoitimmédiatementen observant

que la réactionse fait sur la borne non inverseuse. La sortie n'a alors que deux

étatspossibles,

V H

^{(niveauhaut)et}

V L

^{(niveaubas)etleursvaleursabsoluesne sont}

pas nécessairement opposées. Ces deux niveaux peuvent en particulier être choisis

pour être compatibles avec l'entrée d'une famille de circuits logiques. Idéalement,

ils sont indépendants des tensions d'alimentation de l'AO. L'application la plus

courantedu comparateurest la détection de niveau.

6.2 Comparateurs à hystérèse

6.2.1 Comparateurs à seuils symétriques

Pour réaliser des comparateurs à seuils symétriques, on utilise un AO alimentésy-

métriquement avec l'une de ses deux bornes d'entrée mise àla masse.

Comparateur non inverseur symétrique

Danscecas(gure6.1),lesignald'entrée

u 1 (t)

^{estbranchésurl'entréenoninverseuse}

via la résistance

R 1

^{. La} commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque la tensiondiérentielle de l'AOpasse par 0, autrement dit, lorsque

U + = U ⁻

En appliquant lethéorème de superposition, la condition de commutation s'écrit

U + = u 1

R 2

R 1 + R 2

+ u 2

R 1

R 1 + R 2

= U ⁻ = 0

R ₁ R ₂

u ₁ (t)

u ₂ (t)

U2

U1 +Vsat

- Vsat VT1 VT2

VT0

Fig.6.1: Comparateur non inverseur

d'où,au moment de la commutation,

u 1 = −u 2

R 1

R 2

Considérant que la tension

u 1 (t)

^{appliquée au} comparateur est variable et que la tensiondesortie

u 2 (t)

^{de l'AOne peut peut prendre quedeux états}

±V sat

^,lesseuils

de commutationcommandéspar latension d'entrée

u 1 (t)

^valent

u 1 (t) =







V T 1

V T 2





 = ±V _sat R 1

R 2

(6.1)

Lecycle d'hystérèse est alors centré autour de l'origine

V T 0 = 0

^{et salargeur vaut}

∆V T ≡ V T 1 − V T 2 = 2 V sat

R 1

R 2

(6.2)

Comparateur inverseur symétrique

Dansce cas (gure6.2), lesignal d'entrée

u 1 (t)

^{est branché sur l'entrée} inverseuse.

La commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque la tension

U +

^{égale la}

tension

U ⁻

^avec

U + = u 2

R 1

R 1 + R 2

= U ⁻ = u 1

d'où,au moment de la commutation,

u 1 = u 2

R 1

R 1 + R 2

Considérant que la tension

u 1 (t)

^{appliquée au} comparateur est variable et que la tensiondesortie

u 2 (t)

^{de l'AOne peut peut prendre quedeux états}

±V sat

^,lesseuils

de commutationcommandéspar latension d'entrée

u 1 (t)

^s'écrivent

u 1 (t) =







V T 1

V _T 2





 = ±V sat

R 1

R 1 + R 2

(6.3)

R ₁ R ₂

u ₁ (t) u ₂ (t)

U2

U1 +Vsat

- Vsat VT1

VT2

VT0

Fig. 6.2: Comparateur inverseur

Lecycle d'hystérèse est alors centré autour de l'origine

V T 0 = 0

^{et salargeur vaut}

∆V _T ≡ V _T 1 − V _T 2 = 2 V _sat R 1

R 1 + R 2

(6.4)

Exemple Considérant un comparateur non inverseur réaliséavec

R 1 = 10 kΩ R 2 = {60 kΩ, 20 kΩ, 10 kΩ} V sat = ±12 V

1. calculez les tensions de seuil et dessinez le cycle d'hystérèse pour les trois

valeurs de

R 2

^;

2. dessinez lessignaux

u 1 (t) = 10 V sin(2πf 0 t)

^et

u 2 (t)

^lorsque

f 0 = 50 Hz

^.

Solution :

.

6.2.2 Comparateurs à seuils variables

Pratiquement, il est fréquent de devoir situer le centre du cycle ailleurs qu'en 0

commenous venons de le voir.Pour ce faire, onutilise une tension supplémentaire

V _ref

^{; les calculs qui s'en suivent sont similaires à ceux que nous avons eectués ci-}

dessus.Cependant,pour une plus grandegénéralité,onconsidéreradans ce quisuit

que les tensions de saturation de l'AO ne sont pas nécessairement symétriques et

qu'elles valent

V _sat =







V H

V L







^(6.5)

Comparateur non inverseur

Dans ce cas, le signal d'entrée

u 1 (t)

^{est branché sur l'entrée non inverseuse via la}

résistance

R 1

^{et latension}

V _ref

^{est reliée} directement à laborne inverseuse.

R ₁ R ₂

u ₁ (t)

u ₂ (t)

U2

U1 VH

VL VT1 VT2

VT0

V _ref

Fig. 6.3: Comparateurnon inverseurà seuils variables

La commutation d'un état saturé à l'autre se fait lorsque

U + = U ⁻

^{. Enappliquant}

lethéorème de superposition, lacondition de commutation s'écrit

U + = u 1

R 2

R 1 + R 2

+ u 2

R 1

R 1 + R 2

= U ⁻ = V ref

d'où,au moment de la commutation,

u 1 = V ref

R 1 + R 2

R 2

− u 2

R 1

R 2

Lesseuils de commutationcommandés par la tensiond'entrée

u 1 (t)

^{s'écrivent donc}

u 1 (t) =







V T 1

V _T 2





 = V ref

R 1 + R 2

R 2

−







V L

V _H







R 1

R 2

(6.6)

Lecentre du cycle d'hystérèse se trouve cette fois ci en

V T 0 = V _T 1 + V _T 2

2

^(6.7)

etsa largeurvaut

∆V _T ≡ V _T 1 − V _T 2 = (V _H − V _L ) R 1

R 2

(6.8)

Dansle cas particulier d'une tension de sortie symétrique, on a

V H = +V sat V L = −V sat

Lecentre du cycle d'hystérèse se situe alors en

V T 0 = V ref

R 1 + R 2

R 2

(6.9)

etsa largeurvaut

∆V T ≡ V T 1 − V T 2 = 2 V sat

R 1

R 2

(6.10)

Comparateur inverseur

Dansce cas, le signald'entrée

u 1 (t)

^{est branché sur l'entrée inverseuse etla tension}

V ref

^{est reliée à laborne non inverseuse via larésistance}

R 1

^.

R ₁ R ₂

u ₁ (t) u ₂ (t)

U2

U1 VH

VL VT1

VT2 V _ref VT0

Fig. 6.4: Comparateur inverseur à seuils variables

Lacommutationd'unétat saturéàl'autresefait lorsquelestensions

U +

^et

U ⁻

^sont

égales. En appliquant le théorème de superposition, la condition de commutation

s'écrit

U + = V ref

R 2

R 1 + R 2

+ u 2

R 1

R 1 + R 2

= U ⁻ = u 1

d'où,au moment de la commutation,

u 1 = V ref

R 2

R 1 + R 2

+ u 2

R 1

R 1 + R 2

Considérant que la tension

u 1 (t)

^{appliquée au} comparateur est variable et que la tensionde sortie de l'AO

u 2 (t)

^{ne peut peut prendre quedeux valeurs}

V H

^et

V L

^{, les}

seuils de commutationcommandéspar latension d'entrée

u 1 (t)

^s'écrivent

u 1 (t) =







V T 1

V _T 2





 = V ref

R 2

R 1 + R 2

+







V H

V _L







R 1

R 1 + R 2

(6.11)

Lecentre du cycle d'hystérèse se trouve cette fois ci en

V T 0 = V _T 1 + V _T 2

2

^(6.12)

etsa largeurvaut

∆V T ≡ V T 1 − V T 2 = (V H − V L ) R 1

R 1 + R 2

(6.13)

Dansle cas particulier d'une tension de sortie symétrique, on a

V H = +V sat V L = −V sat

Lecentre du cycle d'hystérèse se situe alors en

V T 0 = V ref

R 2

R 1 + R 2

(6.14)

etsa largeurvaut

∆V T ≡ V T 1 − V T 2 = 2 V sat

R 1

R 1 + R 2

(6.15)

6.3 Exemples

6.3.1 Comparateur à collecteur ouvert

Un comparateur (unipolaire) à collecteur ouvert permet de commuter une charge

alimentée par une tension DC diérente de celle du comparateur.

Pourl'exemplequisuit,onconsidèrelecomparateurinverseurdelagure6.5réalisé

avec un circuitLM139 à collecteur ouvert et

V CC = +5 V R 1 = 10 kΩ R 2 = 10 kΩ V _DC = +12 V R 5 = 1 kΩ

1. calculezlestensions de seuil et lesniveaux

V L

^et

V H

^{de latension de sortie;}

2. dessinezlacaractéristiquedetransfert

U 2 (U 1 )

^etlessignaux

u 1 (t) = A sin(2πf 0 t)

et

u 2 (t)

^lorsque

A = 15 V

^et

f 0 = 50 Hz

^;

3. calculezlerapport cyclique du signal de sortie.

Solution :

1. Avant de se lancer dans le calcul des seuils de commutation,il est important

de relever que la sortie à collecteur ouvert est réalisée avec un transistor qui

est bloquéou saturé suivantle niveau de latension d'entrée.

u ₂ (t) u ₁ (t)

R ₁ R ₂

R ₅ V _CC

V _DC V _CC

Fig. 6.5: Comparateurà collecteur ouvert

−15 0 −10 −5 0 5 10 15

2 4 6 8 10 12

Signaux d’un comparateur inverseur

U in [V]

U out [V]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

−15

−10

−5 0 5 10 15

t [ms]}

u in (t), u out (t)

Fig. 6.6: Caractéristique de transfert etsignaux temporels

a) Dans lecas où letransistor est saturé, lasortie du comparateurest mise

à la masse. La tension de sortie

u 2

^{est alors nulle et la tension}

U +

^ne

dépend que de

V _CC

^{. On a doncau moment de la}commutation

U + = V CC

R 2

R 1 + R 2

= U ⁻ = u 1

On en déduit

V L = u 2 = 0 V T 2 = U + = V CC

R 2

R 1 + R 2

= 5V 10

10 + 10 = 2.5 V

b) Dans le cas où le transistor est bloqué, la sortie du comparateur est

ouverte etla tension

U +

^{dépend de}

V CC

^et

V DC

^{. Au moment de la com-}

mutation, ona donc

U + = V CC

R 2 + R 5

R 1 + R 2 + R 5

+ V DC

R 1

R 1 + R 2 + R 5

= U ⁻ = u 1

On en déduit

V T 1 = U + = V CC

R 2 + R 5

R 1 + R 2 + R 5

+ V DC

R 1

R 1 + R 2 + R 5

= 5 10 + 1

10 + 10 + 1 + 12 10

10 + 10 + 1 = 8.33 V V _H = u 2 = V _CC R 5

R 1 + R 2 + R 5

+ V _DC R 1 + R 2

R 1 + R 2 + R 5

= 5 1

10 + 10 + 1 + 12 10 + 10

10 + 10 + 1 = 11.67 V

2. Lacaractéristique de transfert etles signaux temporels sont représentés dans

lagure 6.6.

3. Lerapportcyclique est dénipar

η = t H

T 0

avec, dans notre cas,

t H = t 1 + T 0

2 + t 2 T 0 = 20 ms t 1 = T 0

2π arcsin

V T 2

A

= 20 ms

2π arcsin

2.5 V 15 V

= 0.53 ms t 2 = T 0

2π arcsin

V _T 1

A

= 20 ms

2π arcsin

8.33 V 15 V

= 1.87 ms

d'où

t H = t 1 + T 0

2 + t 2 ' 12.4 ms η = t H

T 0

' 12.4 ms

20 ms = 62 %

6.3.2 Réglage de température à l'aide d'un comparateur

Onconsidère iciune enceintethermiquedontonaimeraitréglerlatempératureaux

environs de 75

0

C. Pour ce faire,onutilise un capteur de température dont lasortie

analogiquevarie entre 0 et 5 [V] lorsque la température de l'enceinte varie entre 0

et100

0

C.

1. Sachant que la puissance thermique est fournie par un corps de chaue élec-

triquequel'oncommandeàl'aided'unrelais,proposezunschémapermettant

de maintenir latempératureà plus oumoins 5 degrés de la températuresou-

haitée.

2. Sachant qu'en l'absence de réglage, la température de l'enceinte passe de la

température ambiante 20

0

C au 95% de sa valeur maximum de 100

0

C en 15

minutesenviron :

a) calculezla constantede temps de l'enceinte;

b) esquissez l'évolution de températureaucours du temps;

c) calculezlesdurées d'enclenchement etde déclenchement de lapuissance.

Solution :

6.4 Bascules ou circuits astables

Ces circuitssont simplementdes comparateursinverseurs symétriques qui génèrent

eux-mêmes lesignal d'entrée

u 1 (t)

^{en chargeantune capacité}

C

^.

6.4.1 Bascule à cycle symétrique

R ₁ R ₂

u _C (t) u ₂ (t)

R C

Fig. 6.7: Bascule àcycle symétrique

Commetoujours, lacommutationa lieulorsque

U + = U ⁻

^{avec dans lecas présent}

U + = ±V sat

R 1

R 1 + R 2

U ⁻ = u C (t) ≡ u 1 (t)

Ce qui donneles niveaux de commutationsuivants

V T 1 , 2 = ±V sat

R 1

R 1 + R 2

(6.16)

Comme le condensateur

C

^{va se charger à la tension de sortie du} comparateur au travers de la résistance

R

^{, onobtientle graphereprésenté àla gure 6.8.}

Onsesouvientquel'évolutiondelatensionauxbornesd'uncondensateurestdécrite

par

u(t) = u ^∞ − (u ^∞ − u 0 ) ·

^exp

− t τ

(6.17)

etque letemps nécessaire pour atteindre latension

u(t)

^vaut

t = τ ln u ^∞ − u 0

u ^∞ − u(t)

!

τ = RC

^(6.18)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

−15

−10

−5 0 5 10 15

Signaux d’un comparateur symétrique

u C (t), u 2 (t)

t [ms]

Fig. 6.8: Évolution de latension

u C (t)

Utilisantcetteexpression, onpeut calculerla duréede la charge

t H

^{avec lesvaleurs}

particulièressuivantes

u ^∞ = +V sat

u 0 = V T 2 = −V sat

R 1

R 1 + R 2

u(t H ) = V T 1 = +V sat

R 1

R 1 + R 2

En plaçant l'origine du temps

t = 0

^{à l'instant de la transition positive, on a en}

eet:

t H = τ ln u ^∞ − u 0

u ^∞ − u(t H )

!

= RC ln





+V sat − −V sat R ₁ R 1 + R 2

+V sat − +V sat R ₁ R 1 + R 2





= RC ln

R 1 + R 2 + R 1

R 1 + R 2 − R 1

D'où

t H = RC ln

2 R 1 + R 2

R 2

(6.19)

Les niveaux de commutation étant symétriques, les temps de charge

t H

^{et de dé-}

charge

t L

^{sont lesmêmes etl'on a}

T = t H + t L = 2 t H = 2RC ln

2R 1 + R 2

R 2

(6.20)

Danslecas fréquentoùl'on choisit

R 1 = R 2 = R

^{, lapériode} d'oscillationvaut alors

T = 2 ln(3) RC ' 2.2 RC

^(6.21)

6.4.2 Bascule à cycle non symétrique

La gure 6.9 présente le schéma d'une bascule non symétrique réalisée avec des

diodes an d'obtenir des temps diérentsde charge etdécharge.

C R _B R _A

R ₂ R ₁

u ₂ (t) u ₁ (t)

Fig. 6.9: Bascule àcycle non symétrique

Dans un but de simplication, on considérera ici des valeurs égales pour les résis-

tances

R 1

^et

R 2

^{qui xent lesseuils de} commutation. On obtient alors

U + = ±V _sat R 1

R 1 + R 2

= ± 1

2 V _sat U ⁻ = u _C (t) ≡ u 1 (t)

D'où

V T 1 , 2 = ± 1 2 V sat

Commelesdiodespossèdentunetensiondeseuil

V j

^,lecondensateur

C

^vasecharger

vers la tension de sortie

+V _sat − V _j

^{au travers de la résistance}

R _A

^{et se décharger}

vers la tension

−V sat + V j

^{au travers de la résistance}

R B

^. L'évolution de la tension auxbornesde lacapacité est illustréepar legraphe de la gure6.10.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−15

−10

−5 0 5 10 15

Signaux d’un comparateur asymétrique

u C (t), u 2 (t)

t [ms]

Fig. 6.10: Évolution de la tension

u C (t)

Se souvenantque le tempsde charge d'un condensateur est décritpar

t = τ ln u ^∞ − u 0

u ^∞ − u(t)

!

τ = RC

etconsidérantque letempsde charge

t H

^est caractérisépar lesvaleurs particulières suivantes

τ 1 = R A C u ^∞ = +V sat − V j

u 0 = V T 2 = − 1 2 V sat

u(t H ) = V T 1 = + 1 2 V sat

onpeutcalculerladuréede lachargeen plaçantl'originedu temps

t = 0

^àl'instant

de latransition positive

t H = τ ln u ^∞ − u 0

u ^∞ − u(t H )

!

= R A C ln





(+V sat − V j ) − − ¹ ₂ V sat

(+V sat − V j ) − + ¹ ₂ V sat





= R A C ln

3

2 V _sat − V _j

1

2 V sat − V j

!

d'où

t _H = R _A C ln 3 V _sat − 2 V _j V sat − 2 V j

!

(6.22)

Lecalcul de la durée de décharge

t L

^{se fait avec lesvaleurs} particulièressuivantes

τ 2 = R B C u ^∞ = −V _sat + V _j u 0 = V T 1 = + 1

2 V sat

u(t L ) = V T 2 = − 1 2 V sat

Enplaçant l'originedu temps

t = 0

^{àl'instantde la transitionnégative, celadonne}

t L = τ ln u ^∞ − u 0

u ^∞ − u(t L )

!

= R B C ln





(−V sat + V j ) − + ¹ ₂ V sat

(−V sat + V j ) − − ¹ ₂ V sat





= R B C ln − ³ ₂ V _sat + V _j

− ¹ ₂ V sat + V j

!

d'où

t L = R B C ln 3 V sat − 2 V j

V sat − 2 V j

!

(6.23)

Lapériode d'oscillationvaut alors

T = t H + t L = (R A + R B ) C ln 3 V sat − 2 V j

V sat − 2 V j

!

(6.24)

etonconstatequelerapportcycliquedépenduniquementdu diviseurrésistifconsti-

tué par lesrésistances

R A

^et

R B

η ≡ t _H

T = R _A R A + R B

(6.25)

6.4.3 Bascule unipolaire

La gure 6.11 présente le schéma d'une bascule unipolaire qui possède l'avantage

dene nécessiterqu'une seulealimentation.De plus,lesrésistances

R 1 , 2 , 3

^permettent

d'adapterlerapportcyclique àlavaleurdésirée.Pource quisuit, considéronslecas

particulier où les trois résistances sont égales et où les tensions de saturation sont

V H = V CC

^et

V L = 0

^.

On saitque lecomparateur commute lorsque

U + = V CC

R 12

R 3 + R 12

+ u 2

R 13

R 13 + R 2

= U ⁻ = u 1

^(6.26)

R ₁ R ₂

u ₁ (t)

u ₂ (t) R ₃

V _CC

V _CC

R C

Fig. 6.11: Bascule unipolaire

avec dans ce cas particulier

R 12 = R 1 R 2

R 1 + R 2

= R

2 , R 13 = R 1 R 3

R 1 + R 3

= R

2 , u 2 =







V _CC 0







(6.27)

Lestensions de seuil se situent donc en

u 1 = V T 1 , 2 =





 V CC +







V CC

0













R/2

R/2 + R = 1 3







2V CC

V CC





 =







2 3 V CC 1 3 V CC







V T 1 , 2 =







2 3 V _CC

1 3 V CC







^(6.28)

La capacité

C

^{va se charger avec la constante de temps}

τ = RC

^{entre les tensions}

1

3 V _CC

^et

² ₃ V _CC

^{. Les tempsde charge}

t _H

^{et de décharge}

t _L

^{vaudrontalors}

t H = τ ln u ^∞ − u 0

u ^∞ − u(t H )

!

= RC ln V _CC − ¹ ₃ V _CC V CC − ² ₃ V CC

!

= RC ln 2

t L = τ ln u ^∞ − u 0

u ^∞ − u(t L )

!

= RC ln 0 − ² ₃ V CC

0 − ¹ ₃ V CC

!

= RC ln 2

On voit ainsi que, lorsque les résistances

R 1 , 2 , 3

^{sont égales, le rapport cyclique est}

de 50% car on a

t H = t L = RC ln 2

^(6.29)

Lapériode d'oscillationde labascule vaut alors

T = t _H + t _L = 2RC ln 2 ' 1.4 RC

^(6.30)

6.5 Générateurs de signaux

Lesgénérateursdesignauxsontbaséssurleprincipedesbascules.Laseulediérence

consisteàremplacerlecircuitRCparunintégrateurand'obtenirunsignaltriangu-

laireplutôt qu'une suite d'arcsd'exponentielles. Comme l'intégrateurest inverseur,

onutiliseradans ce cas un comparateurnon inverseur.

6.5.1 Signaux carrés et triangulaires

u ₃ (t) u ₂ (t)

R

C

u ₁ (t) = u ₃ (t)

R ₁

R ₂

Fig. 6.12: Générateur de signaux carrés ettriangulaires

On admetici que lesignal de sortie du comparateurest symétrique et qu'ilvaut

u 3 (t) = ±V _sat

^(6.31)

Considérant quele signal

u 1 (t)

^appliquéà l'intégrateur est la tensionfournie par le comparateur,onvoitque la sortiede l'intégrateur vaudra

u 2 (t) = −

1 RC

Z t 0

u 1 (t) dt + u C 0

= ∓ V sat

RC t + u 2 (0)

^(6.32)

u ₂ (t) u ₁ (t) = u ₃ (t)

VT1

VT2 +Vsat

- Vsat

t

Fig. 6.13: Évolution des tensions

Ce signal est donc constitué de segmentsde droite dont la pentevaut

p 1 = ± V sat

RC

^(6.33)

Commelesignaldesortiedel'intégrateurestappliquéaucomparateurnoninverseur,

celui-cibasculera chaque foisque

u 2 (t)

^{atteintun des deux seuils de} commutation

V T 1 , 2 = ±V sat

R 1

R 2

(6.34)

Le temps nécessaire pour aller d'un seuil à l'autre est égal à la demi-période du

signal.On voit ainsi quela pente du trianglevaut

p 2 = ± V T 1 − V T 2

T /2 = ± 2 V sat R ₁ R ₂

T /2 = ± 4 V sat

T R 1

R 2

(6.35)

Enégalantla pentegénérée

p 1

^{àla pente}

p 2

^{du triangle,}

p 1 = V sat

RC = p 2 = 4 V sat

T R 1

R 2

onvoitque lapériode des signaux carrés ettriangulaires vaut

T = 4 RC R 1

R 2

(6.36)

Lesamplitudes de ces 2signaux valent

A car = V sat A tri = V sat

R 1

R 2

(6.37)

6.5.2 Oscillateur à fréquence variable (VCO)

Le principe d'un VCO (Voltage Controled Oscillator) est le même que celui d'un

générateur de signaux carrés et triangulaires sauf que, dans ce cas, l'amplitude du

signal d'entrée de l'intégrateur doit être modiée en fonction de la fréquence sou-

haitée.De plus, sa polarité doit être changée aubon moment.

Pour réalisercesopérations,onutilisedeux AOpermettantd'avoiràdispositionles

tensions

+u 1 (t)

^et

−u 1 (t)

^ainsiquedeuxtransistors(saturésoubloqués)commandés par lecomparateur pour choisir la polarité du signal d'entrée (gure6.14.a).

Commeonl'avuplus haut,lecomparateurgénèrelesignalcarré d'amplitude

±V sat

etl'intégrateur fournit le signaltriangulaire d'amplitude

V T 1 , 2 = ±V sat

R 1

R 2

(6.38)

Par contre, la pente du signal triangulaire dépend de la tension d'entrée

u 1 (t)

^ap-

pliquée à l'intégrateur. En eet, pour une valeur constante de

u 1 (t) = −U 1

^{, on}

a

u 3 (t) = −

1 RC

Z t

0 u 1 (t) dt + u C 0

= U 1

RC t + u 3 (0)

^(6.39)

dont la pentevaut

p 1 = U 1

RC

^(6.40)

Enégalantcette pente

p 1

^{àla pente}

p 2

^{générée par lecircuit}

p 2 = V T 1 − V T 2

T /2 = 2 V sat R 1

R ₂

T /2 = 4 V sat

T R 1

R 2

(6.41)

onvoitque lapériode des signaux carrés ettriangulaires vaut cette fois-ci

T = 4 RC R 1

R 2

V sat

U 1

etque lafréquence

f = 1/T

^dépend linéairementde latension d'entrée

u 1 (t) f(u 1 ) ≡ 1

T = 1 4 RC

R 2

R 1

1 V sat

u 1

^(6.42)

Uneillustrationdelacommandede lafréquence parun signalsinusoïdalest donnée

dans lagure 6.14.b.On peut y relever lesfréquences minimum etmaximum

f min = 1 T max

= 1

0.365 ms = 2.74 [kHz] f max = 1

T min = 1

0.126 ms = 7.94 [kHz]

On voit donc que pour une variation de la tensiond'entrée

∆U = U max − U min = 6 V − 2 V = 4 [V ]

R ₁ R ₂

u ₃ (t) u ₄ (t) = ±V _sat

R C

u ₁ (t)

R ₃ R ₃

R ₄

u ₂ (t) = ±u ₁ (t) +u ₁ (t)

- u ₁ (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6

u 1 (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−5 0 5

u 3 (t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−10

−5 0 5 10

u 4 (t)

temps [ms]

Fig.6.14: a) Schéma d'un oscillateur àfréquence variable(VCO)

b) Signaux d'unVCO commandé par une tensionsinusoïdale

lavariation de fréquence vaut

∆f = f max − f min = 7.94 [kHz] − 2.74 [kHz] = 5.2 [kHz]

On en déduit legain du VCO

K _{V CO} ≡ ∆f

∆U ' 1.3

"

kHz V

#

etla fréquence centrale (ou de repos)obtenue lorsque

u 1 (t) = 4 [V ] f 0 = f min + f max

2 = 5.34 [kHz] @ U 1 = 4 [V ]

On notera que le circuit VCO n'est rien d'autre qu'un modulateur de fréquence

permettantde remplacer un signald'amplitudevariable(

u 1 (t)

^{)par un signald'am-}

plitude constante mais de fréquence variable (

u 3 (t)

^ou

u 4 (t)

^). L'information ne se trouve plus dans l'amplitude instantanée mais dans la fréquence; c'est le principe

utiliséen radio FMpour transmettre les signaux en modulationde fréquence.

6.5.3 Signaux sinusoïdaux

Signaux et caractéristiques de transfert

À ce stade, il est important de réaliser que les circuits étudiés dans ce chapitre

sont des circuits non linéaires. Le fonctionnement de tels circuits ne peut pas être

représenté par une fonction de transfert

H(jω)

^{comme on le fait pour les circuits}

linéaires. On doit donc décrire la relation entrée-sortie par une caractéristique de

transfert

U 2 (U 1 )

^{qui n'est pas linéaire.}

Trois exemples de caractéristiques sont présentés dans la gure 6.15. On y trouve

les caractéristiques de transfert d'un amplicateur linéaire, d'un comparateur non

inverseur et d'un conformateurmodiantla formedu signalappliqué en entrée.

U ₂ (U ₁ )

U ₁

U ₂ (U ₁ )

U ₁

U ₂ (U ₁ )

U ₁ V _T1

V _T2 V _H

V _L

Fig. 6.15: Troiscaractéristiques de transfert

Amplicateurs Latensiondesortied'unamplicateuridéal(sansdéphasage)est

simplement décritepar larelation

U 2 = A U U 1

etsareprésentationdans leplan

U 2 (U 1 )

^{donne une simpledroitequi n'apporte rien}

d'autreque legain de l'amplicateur.

Dans le cas d'un amplicateur dont la bande passante est limitée, cette droite se

transforme petit à petit en une ellipse dont la largeur augmente progressivement

avec la fréquence (eet du déphasage).

Comparateur Un comparateur fournit un signal de sortie à deux états dépen-

dants du niveau et de l'histoire du signal d'entrée. Par exemple, dans le cas d'un

comparateurnon inverseur, lecycle d'hystérèse est décrit par

U 2 =



 

 

V H

^si

U 1 % > V T 1

V L

^si

U 1 & < V T 2

Conformateur sinusoïdal Un conformateur est un circuit utilisé pour modier

la forme du signal d'entrée selon une loi connue. Il est souvent réalisé à l'aide de

diodes qui permettent d'approcher une fonction non linéaire par des segments de

droite.Danslecas d'unconformateursinusoïdal,laloiquel'on souhaiteréaliserest

lasuivante

U 2 = B sin

π 2

U 1

A

Conformateur à diodes

Enutilisantleszones deconductionetblocagede plusieursdiodes,ilest possiblede

créerdesfonctionsnonlinéaires.Onréaliseainsice quel'onappelleunconformateur

àdiodes. Un exemple de circuit avec sacaractéristique de transfert est donné dans

lagure 6.16.

Selon l'état de conduction des diodes

D 1 , 2 , 3

^{, on parcourt l'un ou l'autre des trois}

segments de droite. Dans la réalité, le passage d'un segment à l'autre se fera de

manièreplus douce etl'approximationd'unesinusoïde seratout àfait satisfaisante.

Lesdiodesplacéesdemanièreinversepermettentde parcourirletroisièmequadrant

(

u 1 < 0, u 2 <

^{0) etobtenir ainsi latotalité de la sinusoïde.}

L'analyse du circuit montre immédiatement que trois situations doivent être envi-

sagées:

1. Aucune diode ne conduit si

u 1 (t) < V j

^{. Le signal de sortie est alors égal au}

signald'entrée et lapente de la caractéristiquevaudra

p 0 = 1

V V

(6.43)

u ₁ (t) u ₂ (t) R ₁

R ₂ D ₁

D ₂

D ₃

0

D _1,2,3 bloquées, p ₀ = 1

D _1,2,3 conductrices, p ₂ = 0

U ₂ (U ₁ )

U ₁ V _j

V _j 2 V _j

V _j +V _j ^{R 1} _R ^{+R 2}

2

D ₁ conductrice, R ₂ R ₁ + R ₂ p ₁ =

Fig. 6.16:Schéma et caractéristiqued'un conformateurà diodes

2. Lesdiodes

D 1

^et

D 2

^{conduisent etlesautres sontbloquées.Le signald'entrée}

sera alors atténué par lediviseur {

R 1 , R 2

^{}et lapentevaudra}

p 1 = R 2

R 1 + R 2

V V

(6.44)

3. Toutes les diodes conduisent et la sortie est limitée à

2 V j

^{. La pente est alors}

nulle

p 2 = 0

V V

(6.45)

Calcul des amplitudes

Onsepropose dansce quisuit de calculerl'amplitude

A

^{du signal}triangulaireainsi quelesrésistancespermettantderéaliseraussibienquepossibleunsignalsinusoïdal.

L'approche utilisée consiste à faire en sorte que les pentes des segments de droite

coïncident au mieux avec celles de la sinusoïde. Pour les calculs, on admettra que

lesdiodes ont une tension de seuil de 0.6[V].

L'amplitude du signal sinusoïdal est maximum quand toutes les diodes conduisent

etl'on alors

B = 2 V j ' 1.2 [V ]

^(6.46)

Considérant que, pour

t

^{compris entre}

−T /4

^et

+T /4

^{, les tensions d'entrée et de}

sortiesont décrites respectivement par

u 1 (t) = A t

T /4 = 4A

T t ⇒ t = T

4A u 1 (t)

^(6.47)

u 2 (t) = B sin

2π t T

(6.48)

onen déduit lacaractéristique de transfert qui relie ces deux tensions

u 2 (t) = B sin

2π T t

= B sin

2π T

T 4A u 1 (t)

u 2 (t) = B sin

π 2A u 1 (t)

(6.49)

Endérivant

u 2

^{par rapportà}

u 1

^{, onobtientla pente de cette} caractéristique

du 2

du 1

= B π 2A cos

π 2A u 1 (t)

= π 2

B A cos

π 2A u 1 (t)

On avu plus haut qu'autourde l'origine, cettepentevaut 1; ona donc

du 2

du 1

u ₁ =0

= 1 = π 2

B

A

^(6.50)

On en déduit quel'amplitude

A

^{du signal} triangulaire doit valoir

A = π

2 B = π

2 2V j = π V j ' 1.88 [V ]

^(6.51)

Danslazonede conductiondes diodes

D 1

^et

D 2

^{,onchoisitde seplacer en unpoint}

particulier,parexempleàmi-cheminde l'amplitudedusignaltriangulaire.Lapente

théoriquevaudra alors

du 2

du 1

u 1 = A/ 2

= B π 2A cos

π 2A

A 2

= π 2

B A cos

π 4

= cos

π 4

= 0.707

^(6.52)

Commelapentegénéréeparlediviseurrésistifdoitêtreégaleàcettepentethéorique,

onen déduit que

R 2

R 1 + R 2

= 0.707 ⇒ R 2 = 2.414 R 1

^(6.53)

Exemple

An d'illustrer ce qui vient d'être dit, considérons un signal original triangulaire

d'amplitude

A 0 = 5 V

^{et leschéma avec adaptation de} l'amplitude du signal trian- gulaire(gure 6.18).

Commeonl'avu plus haut,l'amplitudedu signaltriangulaire doitvaloir,àl'entrée

duconformateur,

A = π V j = 1.88 V

^{.Celapeutsefairesimplementavec undiviseur}

de tension telque

A = A 0

R 12

R 11 + R 12

⇒ R 11

R 12

= A 0

A − 1 = 5 V

1.88 V − 1 = 1.66

Unebonne approximationde ce rapportest obtenu avec

R 11 = 2 kΩ

^et

R 12 = 1.2 kΩ

t T/2 0 T/4

π V _j = A

2 V _j = B

u ₁ (t), u ₂ (t)

0 U ₂

A/2 p ₁

= R ₁ + R ₂ R ₂

p ₀ = 1

p ₂ = 0

U ₁ A = π V _j 2 V _j = B

Fig. 6.17: Passage d'un triangle ausinus

u ₁ (t) u ₂ (t)

R ₁₁

R ₂ D ₁

D ₂

D ₃ R ₁₂

Fig. 6.18: Conformateur avec adaptation d'amplitude

Vu du conformateur à diodes, ces deux résistances mises en parallèle sont équiva-

lentes à larésistance

R 1 = R 11 k R 12 = 2 · 1.2

2 + 1.2 = 0.75 [kΩ]

On en déduit donc

R 2 = 2.414 R 1 = 1.8 [kΩ]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

−5 0 5

u 1 (t) [V]

Signaux d’un conformateur

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

−1 0 1

u 2 (t), u sin (t) [V]

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

−0.02

−0.01 0 0.01 0.02

u 2 (t) − u sin (t) [V]

temps [ms]

Fig. 6.19: Signaux d'un conformateur àdiodes

Lasimulationdececircuitaconduitauxrésultatsprésentésdanslagure6.19.D'un

point de vue purement visuel, lesignal de sortie ressemblefort à une sinusoïde. Le

calcul de la diérence entre ce signal et une sinusoïde idéale de même amplitude

montre que l'écart est très faible (

< 20 mV

^{) par rapport à} l'amplitude (

' 1.2 V

^).

Onnotera cependantquel'analyse visuellede laqualité d'unsignal est insusante.

Un moyen simple et ecace de chirer la qualité d'une sinusoïde réelle consiste

à mesurer son spectre d'amplitudes (

A 1 , A 2 , A 3 , · · ·

^{) et d'en calculer le taux de}

distorsionharmonique (TDH) dénicomme suit

T DH ≡ X ef f, k> 1

X ef f, k =1

=

v u u

t A ² 2 + A ² 3 + A ² 4 + · · · A ² 1

Celui-cimesurelavaleurecacedesharmoniques

A 2 , A 3 , · · ·

^{parrapportàlavaleur}

ecace de lafondamentale

A 1

^{.Unesinusoïde parfaitepossède un TDHnul.Avec le}

conformateursimple proposé ci-dessus, onpeut espérer atteindre un TDH inférieur

à5% environ.

6.6 Exercices

Comp 1 Considérantle circuit Comp1 avec

u 1 (t) = 6 sin(2π 100 t), V _sat = ±12

^V

R 1 = 20

^k

Ω, R 2 = 40

^k

Ω

dessinez lacaractéristiquede transfert du circuit;calculezlittéralementpuis numé-

riquementses niveaux de seuil; dessinez latension de sortie

u 2 (t)

^.

R ₁ R ₂

u ₁ (t)

R ₁

R ₁

R ₂ R ₂

U ₀ u ₂ (t)

u ₁ (t)

u ₂ (t)

Comp 1 Comp 2

Fig. 6.20: Exercices Comp1 Comp2

Comp 2 Considérantle circuit Comp2 avec

u 1 (t) = 6 sin(2π 100 t), V _sat = ±12

^V

, U 0 = +2

^V

R 1 = 10

^k

Ω, R 2 = 60

^k

Ω

1. Dessinez lacaractéristique de transfert du circuit.

2. Calculez littéralement puis numériquement ses niveaux de seuil.

3. Dessinez latension de sortie

u 2 (t)

^{et calculezlerapportcyclique du signal de}

sortie.(Rép :

η = 1/2 −

^asin

(2/3)/(2π)

⁾

Comp 3 Admettant

V CC = ±12

^V

= V sat

^{, proposez deux} comparateurs à seuils permettant de réaliser les deux caractéristiques de transfert Comp 3 de la gure

6.21.

Comp 4 Admettant

V sat = V CC = ±12

^{V et}

R 1 , 2 , 3 = R

^{, calculez puis dessinez la}

caractéristiquede transfertdu circuitComp 4. Rép. :

V T 1 , 2 = (8

^V

; 0

^V

)

Comp5 Considérantlabasculeastablede lagure6.22etadmettantdesniveaux

de saturation diérents

V H , V L

^,

1. calculezlestemps

t H , t L

^;

2. faitesl'applicationnumériqueavec

R 1 = R 2

^et

V _H = +12 V

^,

V _L = −6

^V;

3. calculez

R

^et

C

^{pour quela période} d'oscillation soitde 1ms.

R ₃

R ₁ R ₂

u ₁ (t) u ₂ (t)

Comp 4 V _CC

U ₂

U ₁ +12

-12

4 6

U ₂

U ₁ +12

-12

4 6

Comp 3

Fig. 6.21: Exercices Comp3 Comp4

R ₁ R ₂

u _C (t) u ₂ (t)

R C

Fig. 6.22: Exercice Comp5

Comp6 Pourmesureretréglerlatempératured'unepièceentre+18

o

Cet+20

o

C,

on utilise une résistance NTC placée sur une branche d'un pont de Wheatstone.

L'amplicateur diérentiel branché sur la diagonale du pont fournit une tension

proportionnelle à la température variant entre 0 V et 5 V pour des températures

comprises entre 10

o

C et 30

o

C.

1. Dessinezleschémaetlacaractéristiqueducapteur;quellesserontlestensions

de seuil du comparateur?

2. Dessinez le schéma fonctionnel de l'ensemble et proposez un schéma électro-

niquepermettantderéglerlatempératuredelapièce;calculezsescomposants.

3. Souhaitant évaluer les temps d'enclenchement et de déclenchement du chauf-

fage, on a observé que sans chauage, la température se stabilise à +10

o

C

et que, lorsque le chauage est enclenché en permanence, la température at-

teint +25

o

C avec une constante de temps d'environ 1heure. Étant donné ces

valeurs,calculez lestemps

t on

^et

t of f

^{du chauage.}

Comp 7 Pour lesdeux circuitde lagure 6.23 tels que

V sat = ±V CC = ±12

^V,

1. déterminezles tensionsde commutation;

2. esquissez

u 2 (t)

^et

u C (t)

^lorsque

R = 1

^k

Ω

^et

C = 1 µ

^F;

3. calculezlestemps

t _H

^et

t _L

^{,la période}

T

^{etle rapport cyclique}

η

^.

R R

u _C (t) u ₂ (t)

R C C

2R R

R 2R

u ₂ (t) u _C (t)

R V _CC

Fig. 6.23: Exercice Comp7

Comp 8 Considérant le générateur de signaux (gure 6.24) esquissez les signaux

u 2 (t)

^et

u 3 (t)

^{puis, sachantque}

R 1 = 10

^k

Ω, R 2 = 20

^k

Ω, R = 10

^k

Ω, C = 100

^nF

, V sat = ±12

^V

calculezlesvaleursde crête etla période des tensions

u 2 (t)

^et

u 3 (t)

^.

R ₁

R ₂

u ₃ (t) u ₂ (t)

R

C

u ₁ (t) = u ₃ (t)

Fig. 6.24: Exercice 8

Comp 9 Considérantla basculeunipolaire de la gure6.25 avec

V CC = 12

^V

, R 1 = 10

^k

Ω, R 2 = 20

^k

Ω, R 3 = 30

^k

Ω, R = 10

^k

Ω, C = 10

^nF

calculezses tensions de seuil, son rapport cyclique etsa période d'oscillation. Des-

sinez lestensions

u 1 (t)

^et

u 2 (t)

^.

R ₁ R ₂

u ₁ (t)

u ₂ (t) R ₃

V _CC

V _CC

R C

Fig. 6.25: Exercice Comp9

Comp10 Onveutréaliserungénérateurd'impulsionsrectangulairesd'amplitude0

et10V,de période1msetdelargeur0.2ms. Proposezun schéma(sansdiode, avec

un seul AO)et calculezlesvaleursdes composants.

Comp 11 Réalisez un générateur fournissant un signal triangulaire d'amplitude

±

^{5 V et de fréquence variable entre 100 Hz et 1kHz.}

Comp 12 Réalisez un VCO fournissant des signaux triangulaire etcarré d'ampli-

tudes respectives

±

^{6 V et}

±

^{12 V à la fréquence 1 kHz lorsque}

U in = 5

^{V. Jusqu'à}

quelle valeur de

U in

^leVCO fonctionnera-t-ilcomme prévu?

Comp13 Onconsidèreunebasculeunipolairesimilaireàcelledel'exerciceComp9

dans laquelle

R 1 = R 2 = R 3 = 10

^k

Ω, RC = 1 µ

^s

, V CC = 5

^V

Sachantquel'AOestremplacéparun comparateuràcollecteurouvert reliéà

V DC = 24

^{V à travers une résistance}

R L = 10

^k

Ω

^:

1. Dessinezleschémadelabasculeaveclecomparateuretsontransistordesortie.

2. Calculez lesniveaux

V _H

^et

V _L

^{de la tension de sortie.}

3. Calculez lestensions de seuil

V _T 1 , 2

^.

4. Calculez lerapportcyclique de labascule ainsi que sapériode d'oscillation.