Problème : Etude d’un combat à 3
On considère un combat entre trois tireurs A, B et C, qui se déroule en une suite d’épreuves de la façon suivante, jusqu’à élimination d’au moins deux des trois tireurs :
— Lorsque A tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut 23.
— Lorsque B tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut 12.
— Lorsque C tire, la probabilité pour qu’il atteigne son adversaire vaut 13.
— Lorsqu’un des tireurs est atteint, il est définitivement éliminé des épreuves suivantes.
— À chacune des épreuves, les tireurs non éliminés tirent simultanément et chacun d’eux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés. Ainsi, à la première épreuve, A vise B, tandis que B et C visent A.
Lors d’une épreuve donnée, les tirs des adversaires restants sont mutuellement indépendants.
Pour tout nombre entier n>1, on considère les événements suivants :
– ABCn : « à l’issue de lan-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés » – ABn : « à l’issue de la n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés » – An : « à l’issue de la n-ième épreuve, seul A n’est pas encore éliminé »
– ∅n : « à l’issue de lan-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés »
On définit de manière similaire les événementsBCn etACn, ainsi que Bn etCn.
Enfin, l’événement ABC0 est l’événement certain, tandis que AB0, AC0,BC0,A0,B0,C0 et∅0 sont égaux à l’événement impossible.
Partie No1 : Calcul de probabilités
1. Exprimer, si U etV désignent deux événements quelconques d’un espace probabilisé donné, la probabilitéP(U∪V) de l’événement U∪V en fonction deP(U),P(V) etP(U ∩V).
2. En déduire la probabilité pour qu’à une épreuve à laquelle participent A, B et C, l’événement suivant se produise :
« (A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir) ».
3. En déduire la probabilité pour qu’à une épreuve à laquelle participent A, B et C, l’événement suivant se produise :
« (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir) ».
Partie No2 : Détermination de probabilités conditionnelles 1. Montrer que l’événement ABn est impossible pour tout entier natureln.
Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn,BCn,CAn,An,Bn,Cn,∅n. 2. Expliciter la probabilité conditionnelleP(ABCn+1|ABCn).
3. Expliciter P(BCn+1|ABCn), puis donner P(ACn+1|ABCn) 4. Expliciter P(An+1|ABCn),P(Bn+1|ABCn) etP(Cn+1|ABCn).
5. Expliciter P(An+1|ACn),P(Bn+1|BCn),P(Cn+1|ACn) etP(Cn+1|BCn).
6. Expliciter P(∅n+1|ABCn),P(∅n+1|ACn) etP(∅n+1|BCn).
7. Expliciter enfinP(ACn+1|ACn)etP(BCn+1|BCn).
Partie No3 : Nombre moyen d’épreuves à l’issue desquelles le combat s’achève On note T la variable aléatoire indiquant le nombre d’épreuves à l’issue duquel cesse le combat, c’est-à-dire au delà duquel il ne reste qu’un tireur au plus.
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1. A quoi est égalT(Ω)?
2. Quelle est la probabilité de l’événement{T = 1}?
3. Soitn>2. Calculer la probabilité de l’événementABC1∩ABC2∩ · · · ∩ABCn. Quelle probabilité avons-nous calculé en réalité ?
4. Soitn>2. Calculer la probabilité de la réunion des événementsRksuivants, pourk∈[[0, n−1]], Rk =ABC1∩ · · · ∩ABCk∩ACk+1∩ · · ·ACn.
Quelle probabilité avons-nous calculé en réalité ?
5. Soitn>2. Calculer la probabilité de la réunion des événementsSk suivants, pourk∈[[0, n−1]], Sk=ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · ·BCn.
Quelle probabilité avons-nous calculé en réalité ?
6. Soitn>2. Calculer la probabilitéP(T > n) pour que le combat ne soit pas terminé à l’issue de lan-ième épreuve, et en déduire la probabilitéP(T =n).
7. Soitq ∈]−1,1[.
Calculer lim
p→+∞
p
X
n=0
qn puis lim
p→+∞
p
X
n=1
nqn−1.
8. Calculer lim
p→+∞
p
X
n=0
nP(T =n) sous forme de fraction irréductible Comment interprétez-vous ce résultat ?
Partie No4 : Probabilités pour que A, B et C respectivement remportent le combat 1. Pourn>2, à l’aide d’un système complet faisant intervenir toutes les issues possibles au(n−1)-
ième tour, calculer la probabilité pour que A remporte le combat à l’issue de lan-ième épreuve.
On admet que si(An)est une suite d’évènements deux à deux incompatibles alors
P [
n∈N?
An
!
= lim
p→+∞
p
X
n=1
P(An).
2. En déduire la probabilité pour que A remporte le combat.
3. Déterminer de même la probabilité pour que B remporte le combat ? 4. Déterminer de même la probabilité pour que C remporte le combat.
5. Finalement, vaut-il mieux savoir tirer ou pas ?
6. Déterminer la probabilité que le combat ne s’arrête pas.
7. Déterminer la probabilité que le combat s’arrête sans vainqueur
* * * FIN DU SUJET * * *
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