I128. Une traversée nocturne
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Une façon de faire traverser le pont est de faire accompagner chaque randonneur du guide, celui-ci revenant chercher le randonneur suivant.
Une autre façon est de faire traverser le guide et le plus rapide des randonneurs, le guide revenant (avec la torche), deux autres randonneurs traversent et le plus rapide des randonneurs ramène la torche.
Soit D1 et D2 les durées de traversée (D1>=D2) des deux randonneurs et 1 et Dmin les durées du guide et du plus rapide des randonneurs.
La stratégie 1 nécessite D1+D2+2 pour faire traverser les deux randonneurs, tandis que la stratégie 2 nécessite 2Dmin +1 +D1. Il faut la choisir quand Dmin <= (D2+1)/2
On vérifie que pour obtenir la durée minimale de 76, il faut nécessairement que l’un des deux randonneurs ait une durée de traversée inférieure à 6.
On trouve que la seule solution possible pour respecter toutes les contraintes (y compris la nécessité d’avoir des temps de traversée tous distincts) est 2 et 16 pour les deux derniers randonneurs.
Les traversées s’effectuent dans l’ordre suivant (R retour) : (2,1) ,( R 1), (20,17), (R 2) ; (2,1),(
R1), (16,15), (R 2) ; (2,1) , (R 1), (11,9),( R 2) ; (2,1) ,( R 1), (7,6), (R 2) ; (2,1).
.
