I128. Une traversée nocturne
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée entières toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont
respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution de Paul Voyer
On suppose que les durées sont toutes entières.
Les retours sont tous effectués par le plus rapide de ceux qui sont sur la second rive.
Les deux plus lents de ceux qui n'ont pas traversé feront l'aller ensemble.
Il faudra 17 traversées, 9 allers et 8 retours.
aller R1R2 (rapide 1 et rapide 2) retour R1 (rapide 1)
aller L1L2 (lent 1 et lent 2) retour R2 (rapide 2)
aller R1R2 retour R1 aller L3L4 retour R2
aller R1R2 retour R1 aller L5L6 retour R2
aller R1R2 retour R1 aller L7L8 retour R2 aller R1R2
Les traversées par les rapides seuls (R1 et R2) prennent 5*(R1R2)+4*R1+4*R2.
Il faut R2 = 2, les rapides prennent 9*2+4*1 = 22.
Reste 76-22 = 54 pour les 8 lents, nombre pair, répartis en :
6+7 7
9+11 11 15+16 16 19+20 20
Total 22+7+11+16+20 = 76
Les deux autres randonneurs ont des durées de traversée de 2 et 16 minutes .
