I128. Une traversée nocturne
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée entières toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont
respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution de Daniel Collignon
La traversée de a avec b a pour durée max(a,b) : nous avons alors tout intérêt à faire passer les 2 plus mauvais ensemble.
Lorsque c revient au retour, de durée c, nous avons tout intérêt à ce que c soit le plus petit possible.
Si le 2ème temps est >=3, alors la meilleure stratégie conduirait à 4 fois la traversée de 1 avec 3, 4 retours de 1, 4 retours de 3 (8 retours pour ramener la lampe), et 1 traversée finale de 1 avec 3.
Soit un temps de 5*3+4*1+4*3=31
Pour les autres, le minimum serait de 20+15+9+6=50.
En tout 81>76, donc le 2ème temps est nécessairement 2.
Avec 1,2,t=3..5,6,7,9,11,15,17,20, nous aurions 5*2+4*1+4*2+20+15+9+6=72 Avec 1,2,6,7,t=8,9,11,15,17,20, nous aurions 5*2+4*1+4*2+20+15+9+7=73 Avec 1,2,6,7,9,t=10,11,15,17,20, nous aurions 5*2+4*1+4*2+20+15+10+7=74 Avec 1,2,6,7,9,11,t=12..14,15,17,20, nous aurions 5*2+4*1+4*2+20+15+11+7=75 Avec 1,2,6,7,9,11,15,t=16,17,20, nous aurions 5*2+4*1+4*2+20+16+11+7=76 Avec 1,2,6,7,9,11,15,17,t=18..19, 20, nous aurions 5*2+4*1+4*2+20+17+11+7=77 Avec 1,2,6,7,9,11,15,17,20,t>=21 nous aurions 5*2+4*1+4*2+t+17+11+7>=78 Conclusion : les 2 autres randonneurs ont pour durées de traversée 2 et 16.
