I128. Une traversée nocturne
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps
total(1)pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées(2)de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées(2) de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux radonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
(2) Toutes les durées de traversée s'expriment en nombres entiers de minutes.
Solution proposée par Bernard Grosjean Observation préliminaire :
Pour minimiser le temps total de traversée, en respectant les contraintes (une seule lampe, pas plus de 2 randonneurs sur le pont), il convient de procéder de la façon suivante :
1°) Les 2 randonneurs les plus rapides traversent le pont, avec la lampe 2°) Le plus rapide retourne au point de départ, avec la lampe
3°) Les 2 randonneurs les plus lents traversent le pont, avec la lampe 4°) Le randonneur (deuxième plus rapide) rejoint le départ, avec la lampe
A l’issue de ces 4 traversées, on est revenu à la situation d’origine, avec les 2 randonneurs les plus lents ayant traversé. Il reste 8 randonneurs à faire traverser.
En répétant 4 fois la même manœuvre, il ne restera plus que les 2 randonneurs les plus rapides qui traverseront alors.
17 traversées sont donc nécessaires.
En classant les randonneurs par ordre de rapidité (du plus rapide au plus lent), soit : r1 ; r2 ; r3 ; r4 ; r5 ; r6 ; r7 ; r8 ; r9 : r10, (r étant exprimé en minutes),
le temps total de traversée sera : T = 4r1 + 9r2 + r10 + r8 + r6 + r4 (ce qui fait bien 17 traversées)
Solution :
Nous connaissons 8 temps de traversée et le total minimum de 76 minutes pour faire traverser le groupe.
Nous avons r1 = 1 minute (temps de Zig)
Si r2 = 6, le temps total minimum ne pourrait être inférieur à : T = 4 + 9x6 + 20 + 15 + 9 = 102 minutes
Si r2 = 3, le temps total minimum sera encore supérieur à : T = 4 + 9x3 + 20 + 15 + 9 + >4 soit T > 79 minutes On a donc r2 = x = 2 minutes
Reste à déterminer y, qui fait partie des 4 randonneurs r10, r8, r6 ou r4, dont le temps total de traversée est 76 – (4+9x2) = 76 – 22 = 54 minutes
Si y > 20, on aurait r10 + r8 + r6 + r4 = y + 17 + 11 + 7 = y + 35 = 54, y = 19 impossible Donc r10 = 20 et r8 + r6 + r4 = 54 – 20 = 34 minutes
Si y = r8, y est compris entre 15 et 17, donc r8 = 16 minutes On a alors r10 + r8 + r6 + r4 = 20 + 16 + 11 + 7 = 54 qui convient
