I128. Une traversée nocturne ***
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle
qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une
seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un
sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-
ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-
même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des
aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le
temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76
minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont
respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée
des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent
des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution proposée par Jean Nicot
Notons x et y les durées de traversée inconnues et Rn le randonneur de rapidité n
Pour réduire le temps total, il faut que les plus lents traversent ensemble et que les plus rapides gèrent le retour de la lampe. La traversée des deux plus lents est précédée de celle des deux plus rapides dont un ramène la lampe et l’autre la rapportant après la traversée des deux plus lents.
Pour la traversée de R17 et R20, précédée de R1 et Rx, cette manœuvre a duré x+1+20+x.
Les trois paires les plus lentes connues ont besoin de (20+1+2x)+ (15+1+2x)+(9+1+2x) = 47+6x et il faut y ajouter au moins 6+1+2x soit 54+8x, donc x est inférieur à 3. Comme il est différent de 1, x=2
Les plus rapides sont R1 et R2 et la traversée de Rn et Rm avec n>m nécessite n+5 minutes.
En oubliant Ry, il faut (20+5)+(15+5)+(9+5)+(6+5)+2=72.
y pourrait être égal à 10 avec une traversée R6 et R10. On peut réordonner les départs avec les durées (20+5)+(15+5)+(10+5)+(7+5)+2=74
On peut donc remplacer R10 par R12.
On réordonne les départs (20+5)+(15+5)+(11+5)+(7+5)+2=75. R12 peut bénéficier de minutes supplémentaires et devenir R16.
On réordonne une fois encore les départs c’est-à-dire
(2 et 1) (1) ( 20 et 17) (2) (2 et 1) (1) (16 et 15) (2) (2 et 1) (1)(11 et 9) (2)(2 et 1)(1) (7 et 6)(2)(2 et 1).
Soit en durée : (2+1+20+2)+(2+1+16+2)+(2+1+11+2)+(2+1+7+2)+2=76 avec y=16.
Les durées de traversée des deux autres randonneurs sont 2 et 16 minutes
