I 128. Une traversée nocturne. ***
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total (1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées (2) respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1, 6, 7, 9, 11, 15, 17, 20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
(2) Toutes les durées de traversée s'expriment en nombres entiers de minutes.
Solution proposée par Michel Lafond.
Soient M = [a, b, c, d, e, f, g, h, i, j] les durées en minutes classées par ordre croissant, associées aux randonneurs A, B, C, D, E, F, G, H, I, J.
Admettons que la méthode optimale soit celle-ci :
AB traversent, A revient. CD traversent, B revient.
AB traversent, A revient. EF traversent, B revient.
AB traversent, A revient. GH traversent, B revient.
AB traversent, A revient. IJ traversent, B revient.
AB traversent.
Le temps total est alors de T = 4 a + 9 b + d + f + h + j.
Faisons intervenir X (durée x) et Y (durée y) de toutes les façons possibles.
Les possibilités pour M et T sont :
M T équation
1 x y 6 7 9 11 15 17 20 4 + 9 x + 6 + 9 + 15 + 20 = 76 9 x = 22 1 x 6 7 y 9 11 15 17 20 4 + 9 x + 7 + 9 + 15 + 20 = 76 9 x = 21 1 x 6 7 9 y 11 15 17 20 4 + 9 x + 7 + y + 15 + 20 = 76 y = 10 9 x = 20 1 x 6 7 9 11 y 15 17 20 4 + 9 x + 7 + 11 + 15 + 20 = 76 9 x = 19 1 x 6 7 9 11 15 y 17 20 4 + 9 x + 7 + 11 + y + 20 = 76 y = 16 9 x = 18 1 x 6 7 9 11 15 17 y 20 4 + 9 x + 7 + 11 + 17 + 20 = 76 9 x = 17 1 x 6 7 9 11 15 17 20 y 4 + 9 x + 7 + 11 + 17 + y = 76 9 x + y = 37 1 6 7 x 9 y 11 15 17 20 4 + 54 + x + y + 15 + 20 = 76 impossible
etc.
9 x + y = 37 avec implique x = 1 ce qui est impossible.
À partir de la huitième possibilité, le temps total dépasse nécessairement 76.
Donc la seule possibilité est x = 2 y = 16
