I128 – Une traversée nocturne [*** à la main]
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont
respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux radonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution proposée par Raymond Bloch.
Si les dix durées de traversée sont 1<a2<a3<…<a9<a10 , la stratégie consiste à faire traverser les gens en groupant par deux ceux ayant les durées les plus proches, en commençant par les plus lents a9 et a10 si on désigne les gens par la durée de leur traversée. Les deux plus rapides, dont les durées sont 1 et a2 , sont affectés au transport aller et retour de la lampe.
Avant chacun des transports des paires « lourdes », 1 et a2 traversent, a2 reste de l’autre côté, 1 revient seul avec la lampe. Une des paires lourdes fait la traversée, et a2 ramène la lampe.
Ainsi 1 et a2 , qui feront ensemble la dernière traversée, auront un temps total de traversée de 4(1+2a2) + a2 = 9a2+4. Si a2≥3, le temps total dépasse 76, donc a2=2. Le temps total des traversées de 1 et 2 est donc 18+4=22 : les 4 durées de traversée des paires lourdes totalisent donc 76-22=54. La seule durée possible pour le randonneur restant est 16, ce qui donne les durées 1,2,6,7,9,11,15,16,17,20. Les paires lourdes 6/7,9/11,15/16 et17/20 traverseront dans le temps 7+11+16+20=54, qui ajouté au temps de 22 consommé par 1 et 2, donne bien le total de 76.
Les deux autres randonneurs ont donc des durées de 2 et 16.
