I128. Une traversée nocturne
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui- même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques
différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées(2)de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées(2) de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux radonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
(2) Toutes les durées de traversée s'expriment en nombres entiers de minutes.
Solution proposée par Florian Quillot :
Je propose comme vitesse respective pour les randonneurs 1,2,6 ,7,9,11,15 ,16,17 et 20. En effet si la traversée s’organise comme ci-dessous, le temps mis pour traverser vaut bien 76 minutes.
(1+2) > 2 > (17+20) > 1 > (1+2) > 2 > (15+16) > 1 > (1+2) > 2 > (9+11) > 1 > (1+2) > 2 >
(6+7) > 1 > (1+2)
Un couple de chiffres indique la traversée simultanée de deux personnes et les chiffres seuls indiquent le retour d’une personne depuis l’autre rive vers la rive de départ et un « > » indique une étape.
Ainsi le temps total mis est : 2+2+20+1+2+2+16+1+2+2+11+1+2+2+7+1+2=76.
Pour arriver à ce résultat j’ai d’abord essayé de calculer le temps (minimal) mit par les randonneurs à traverser si x et y sont compris entre 1 et 6, cela n’aboutit qu’à des systèmes ne pouvant pas donner un temps final de 76 minutes pour les valeurs de x et y. J’ai donc étudié le cas ou x est compris entre 1 et 6 et où y est situé au-dessus de 17 et en dessous de 20, j’obtiens l’équation suivante 59+9x=76 (je ne m’étale pas sur le calcul), même si l’on choisit x=2, on est au-dessus des 76 minutes imposées, j’ai donc tenter de prendre y entre 11 et 15, j’arrive cette fois à l’équation : 57+9x=76 en remplaçant x par 2 on obtiens 75=76, pour rajouter 1 à la durée totale de la traversée, il suffit de prendre y juste supérieur à 15 soit y=16 ce qui donne la traversée si dessus.
